Математика 9 клас: преговор втори срок

Подобни триъгълници

1. Страните на ΔA₁B₁C₁ са 3 пъти по-големи от съответните страни на ΔABC. Ако AB = 4 cm, колко сантиметра е A₁B₁?

   • 4/3 cm
   • 12 cm
   • 7 cm
   • 36 cm

   Отговор: 12 cm

   Коефициентът на подобие е 3: A₁B₁ = 3·4 = 12 cm.

2. Два триъгълника са подобни с коефициент 2. Един от ъглите на първия е 50°. Колко е съответният ъгъл на втория?

   • 100°
   • 50°
   • 25°
   • 130°

   Отговор: 50°

   При подобие съответните ъгли са равни, а страните са пропорционални.

3. ΔABC ~ ΔMNP, ∠A = 70° и ∠B = 60°. Колко е ∠P?

   • 70°
   • 50°
   • 60°
   • 40°

   Отговор: 50°

   ∠P съответства на ∠C = 180° − 70° − 60° = 50°.

4. Права, успоредна на AB, пресича страните AC и BC на ΔABC в точки M и N. CM = 4 cm, MA = 6 cm и CN = 6 cm. Колко сантиметра е NB?

   • 4 cm
   • 6 cm
   • 9 cm
   • 15 cm

   Отговор: 9 cm

   По теоремата на Талес CM : MA = CN : NB, т.е. 4 : 6 = 6 : NB, NB = 9 cm.

5. Страните на триъгълник са 4 cm, 6 cm и 8 cm. Най-малката страна на подобен на него триъгълник е 6 cm. Колко е най-голямата му страна?

   • 10 cm
   • 16 cm
   • 9 cm
   • 12 cm

   Отговор: 12 cm

   Коефициентът на подобие е 6 : 4 = 1,5, затова 8 · 1,5 = 12 cm.

6. Страна на триъгълник е 14 cm. Колко е средната отсечка, успоредна на нея?

   • 28 cm
   • 14 cm
   • 7 cm
   • 3,5 cm

   Отговор: 7 cm

   Средната отсечка е равна на половината от успоредната ѝ страна.

7. В ΔABC AC = 6 cm, BC = 9 cm и AB = 10 cm. Ъглополовящата CL (L е от AB). Колко сантиметра е AL?

   • 6 cm
   • 5 cm
   • 3 cm
   • 4 cm

   Отговор: 4 cm

   AL : LB = AC : BC = 6 : 9 = 2 : 3, затова AL = 10·2/5 = 4 cm.

8. Лицата на два подобни триъгълника се отнасят 9 : 16. Колко е отношението на периметрите им?

   • 3 : 4
   • 9 : 16
   • 81 : 256
   • 4 : 3

   Отговор: 3 : 4

   Отношението на лицата е k², откъдето k = 3/4; периметрите се отнасят като k.

9. Човек с ръст 1,8 m хвърля сянка 1,2 m. В същия момент сянката на дърво е 8 m. Колко е височината на дървото?

   • 10 m
   • 5,3 m
   • 14 m
   • 12 m

   Отговор: 12 m

   Триъгълниците са подобни: h : 8 = 1,8 : 1,2, h = 12 m.

10. Периметрите на два подобни триъгълника са 12 cm и 18 cm. Лицето на по-малкия е 8 cm². Колко е лицето на по-големия?

    • 12 cm²
    • 27 cm²
    • 16 cm²
    • 18 cm²

    Отговор: 18 cm²

    k = 18 : 12 = 3/2, а лицата се отнасят като k² = 9/4: 8·9/4 = 18 cm².

11. В правоъгълния ΔABC (∠C = 90°) CH е височина. Кои триъгълници са подобни на ΔABC?

    • само ΔACH
    • само ΔCBH
    • ΔACH и ΔCBH
    • нито един

    Отговор: ΔACH и ΔCBH

    ΔACH и ΔCBH имат по един прав ъгъл и по един общ остър ъгъл с ΔABC, затова и двата са подобни на него.

12. В правоъгълния ΔABC (∠C = 90°) CH е височина, AH = 2 cm и HB = 8 cm. Колко е AC?

    • 2√5 cm
    • 4 cm
    • 4√5 cm
    • 2√10 cm

    Отговор: 2√5 cm

    От ΔACH ~ ΔABC: AC² = AH · AB = 2 · 10 = 20, AC = 2√5 cm.

13. Отсечката MN е успоредна на AB (M е от AC, N е от BC) и разделя ΔABC на триъгълник и трапец с равни лица. Колко е MN, ако AB = 8 cm?

    • 4 cm
    • 4√2 cm
    • 2√2 cm
    • 6 cm

    Отговор: 4√2 cm

    S_MNC : S_ABC = 1 : 2 = k², затова k = 1/√2 и MN = 8/√2 = 4√2 cm.

14. Основите на трапеца ABCD са AB = 12 cm и CD = 4 cm, а диагоналите му се пресичат в точка O. Лицето на ΔABO е 27 cm². Колко е лицето на ΔCDO?

    • 9 cm²
    • 1 cm²
    • 3 cm²
    • 6 cm²

    Отговор: 3 cm²

    ΔABO и ΔCDO са подобни с коефициент 12 : 4 = 3, затова лицата им се отнасят 9 : 1 и 27 : 9 = 3 cm².

15. Точка D от страната AC на ΔABC е такава, че ∠ABD = ∠ACB. AD = 4 cm и DC = 5 cm. Колко е AB?

    • 5 cm
    • 6 cm
    • 2√5 cm
    • 4,5 cm

    Отговор: 6 cm

    ΔABD ~ ΔACB, затова AB² = AD · AC = 4 · 9 = 36, AB = 6 cm.

Рационални неравенства

1. Решете неравенството x² − 9 < 0.

   • x ∈ (−∞; −3) ∪ (3; +∞)
   • x ∈ (−∞; 3)
   • x ∈ (−3; 3)
   • x ∈ (−9; 9)

   Отговор: x ∈ (−3; 3)

   (x − 3)(x + 3) < 0 между корените: −3 < x < 3.

2. Решете неравенството 2x − 6 > 0.

   • x ∈ (3; +∞)
   • x ∈ (−∞; 3)
   • x ∈ [3; +∞)
   • x ∈ (−3; +∞)

   Отговор: x ∈ (3; +∞)

   2x > 6, откъдето x > 3.

3. Кое от числата е решение на неравенството x² − 4x < 0?

   • 0
   • 4
   • 2
   • −1

   Отговор: 2

   x(x − 4) < 0 при 0 < x < 4, а 2 е в този интервал.

4. Решете неравенството (x − 1)(x + 4) ≥ 0.

   • x ∈ [−4; 1]
   • x ∈ (−∞; −4] ∪ [1; +∞)
   • x ∈ (−∞; −1] ∪ [4; +∞)
   • x ∈ (−∞; −4) ∪ (1; +∞)

   Отговор: x ∈ (−∞; −4] ∪ [1; +∞)

   Корените са −4 и 1. Произведението е неотрицателно извън корените и в самите корени.

5. Решете неравенството x² ≥ 16.

   • x ∈ [−4; 4]
   • x ∈ [4; +∞)
   • x ∈ (−∞; −4) ∪ (4; +∞)
   • x ∈ (−∞; −4] ∪ [4; +∞)

   Отговор: x ∈ (−∞; −4] ∪ [4; +∞)

   x² − 16 ≥ 0, (x − 4)(x + 4) ≥ 0; изразът е неотрицателен извън корените, включително в тях.

6. Решете неравенството −3x + 9 ≥ 0.

   • x ∈ [3; +∞)
   • x ∈ (−∞; 3)
   • x ∈ (−∞; −3]
   • x ∈ (−∞; 3]

   Отговор: x ∈ (−∞; 3]

   −3x ≥ −9, делим на −3 и обръщаме знака: x ≤ 3.

7. Решете неравенството x² − 5x + 6 ≤ 0.

   • x ∈ (2; 3)
   • x ∈ (−∞; 2] ∪ [3; +∞)
   • x ∈ [2; 3]
   • x ∈ [−3; −2]

   Отговор: x ∈ [2; 3]

   Корените са 2 и 3, a = 1 > 0, затова тричленът е неположителен между корените, включително.

8. Кое е най-малкото цяло решение на неравенството x² − 2x − 15 < 0?

   • −3
   • −2
   • −1
   • −5

   Отговор: −2

   Корените на x² − 2x − 15 са −3 и 5, а решенията са x ∈ (−3; 5). Най-малкото цяло число там е −2.

9. Колко цели решения има неравенството x² − 7x + 10 ≤ 0?

   • 4
   • 3
   • 6
   • 5

   Отговор: 4

   (x − 2)(x − 5) ≤ 0 при x ∈ [2; 5], целите са 2, 3, 4, 5.

10. Решете неравенството (x − 2)/(x + 3) < 0.

    • x ∈ (−3; 2]
    • x ∈ (−∞; −3) ∪ (2; +∞)
    • x ∈ (−3; 2)
    • x ∈ (−2; 3)

    Отговор: x ∈ (−3; 2)

    По метода на интервалите: числителят и знаменателят са с различни знаци при −3 < x < 2.

11. Решете неравенството (x + 5)/(x − 2) ≤ 0.

    • x ∈ [−5; 2]
    • x ∈ (−5; 2)
    • x ∈ (−∞; −5] ∪ (2; +∞)
    • x ∈ [−5; 2)

    Отговор: x ∈ [−5; 2)

    Нулата на числителя −5 се включва, а x = 2 се изключва, защото там знаменателят е 0. Между −5 и 2 дробта е отрицателна.

12. Решете неравенството (x + 1)/(x − 4) ≥ 0.

    • x ∈ [−1; 4]
    • x ∈ (−∞; −1] ∪ (4; +∞)
    • x ∈ (−∞; −1] ∪ [4; +∞)
    • x ∈ (−1; 4)

    Отговор: x ∈ (−∞; −1] ∪ (4; +∞)

    Нули: −1 и 4 (x ≠ 4). Изразът е неотрицателен вън от (−1; 4), като −1 се включва, а 4 не.

13. Решете неравенството (x − 1)²(x + 2) > 0.

    • x ∈ (−2; +∞)
    • x ∈ (−2; 1) ∪ (1; +∞)
    • x ∈ (−∞; −2)
    • x ∈ (−2; 1)

    Отговор: x ∈ (−2; 1) ∪ (1; +∞)

    (x − 1)² > 0 при x ≠ 1, затова трябва x + 2 > 0 и x ≠ 1.

14. При кои стойности на m неравенството x² + 2x + m > 0 е изпълнено за всяко x?

    • m ≥ 1
    • m > 1
    • m < 1
    • m > −1

    Отговор: m > 1

    Трябва D = 4 − 4m 1.

15. При кои стойности на m уравнението x² − 2mx + 9 = 0 има два различни реални корена?

    • m > 3
    • m ∈ (−3; 3)
    • m ∈ (−∞; −3) ∪ (3; +∞)
    • m ∈ (−∞; −3] ∪ [3; +∞)

    Отговор: m ∈ (−∞; −3) ∪ (3; +∞)

    D/4 = m² − 9 > 0, т.е. (m − 3)(m + 3) > 0.

Метрични зависимости

1. Катетите на правоъгълен триъгълник са 5 cm и 12 cm. Колко сантиметра е хипотенузата?

   • 17 cm
   • 13 cm
   • 15 cm
   • 11 cm

   Отговор: 13 cm

   c = √(5² + 12²) = √169 = 13 cm.

2. Колко е диагоналът на правоъгълник със страни 6 cm и 8 cm?

   • 14 cm
   • 12 cm
   • 10 cm
   • 7 cm

   Отговор: 10 cm

   По Питагоровата теорема d² = 36 + 64 = 100, d = 10 cm.

3. Правоъгълен триъгълник има катети a и b и хипотенуза c. Кое равенство е вярно?

   • a + b = c
   • c² = a² − b²
   • ab = c²
   • a² + b² = c²

   Отговор: a² + b² = c²

   Това е Питагоровата теорема.

4. Хордите AB и CD на окръжност се пресичат в точка M. AM = 4 cm, MB = 6 cm и CM = 3 cm. Колко сантиметра е MD?

   • 8 cm
   • 4,5 cm
   • 7 cm
   • 2 cm

   Отговор: 8 cm

   AM·MB = CM·MD: 4·6 = 3·MD, MD = 8 cm.

5. Катет на правоъгълен триъгълник е 6 cm, а проекцията му върху хипотенузата е 4 cm. Колко е хипотенузата?

   • 9 cm
   • 10 cm
   • 8 cm
   • 12 cm

   Отговор: 9 cm

   Квадратът на катета е равен на произведението на хипотенузата и проекцията му: 36 = c · 4, c = 9 cm.

6. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 17 cm, а единият катет е 8 cm. Колко е другият катет?

   • 15 cm
   • 9 cm
   • 12 cm
   • 25 cm

   Отговор: 15 cm

   √(17² − 8²) = √(289 − 64) = √225 = 15 cm.

7. Височината към хипотенузата на правоъгълен триъгълник я дели на отсечки 4 cm и 9 cm. Колко сантиметра е височината?

   • 13 cm
   • 36 cm
   • 6,5 cm
   • 6 cm

   Отговор: 6 cm

   h² = 4·9 = 36, h = 6 cm.

8. Колко е височината на равностранен триъгълник със страна 6 cm?

   • 3√3 cm
   • 6√3 cm
   • 3√2 cm
   • 3 cm

   Отговор: 3√3 cm

   h² = 6² − 3² = 27, h = 3√3 cm.

9. Колко е диагоналът на квадрат със страна 5 cm?

   • 10 cm
   • 5√2 cm
   • 25 cm
   • 5√3 cm

   Отговор: 5√2 cm

   d² = 5² + 5² = 50, d = 5√2 cm.

10. Колко е разстоянието между точките A(1; 2) и B(7; 10)?

    • 10
    • 14
    • 2√7
    • 8

    Отговор: 10

    AB = √((7 − 1)² + (10 − 2)²) = √(36 + 64) = 10.

11. От точка M вън от окръжност е построена допирателна MT = 8 cm и секуща през центъра. Най-близката до M точка от окръжността е на 4 cm от M. Колко е радиусът?

    • 8 cm
    • 12 cm
    • 6 cm
    • 5 cm

    Отговор: 6 cm

    MT² = MA · MB: 64 = 4 · (4 + 2r), откъдето 4 + 2r = 16 и r = 6 cm.

12. Катетите на правоъгълен триъгълник са 6 cm и 8 cm. Колко е височината към хипотенузата?

    • 5 cm
    • 4 cm
    • 4,8 cm
    • 7 cm

    Отговор: 4,8 cm

    c = 10 cm, h = ab/c = 48/10 = 4,8 cm.

13. Равнобедрен трапец има основи 16 cm и 6 cm и бедро 13 cm. Колко сантиметра е височината му?

    • 12 cm
    • 10 cm
    • 11 cm
    • √194 cm

    Отговор: 12 cm

    Проекцията на бедрото върху голямата основа е (16 − 6)/2 = 5 cm, h = √(13² − 5²) = 12 cm.

14. Медианата към хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 5 cm, а единият катет е 6 cm. Колко е лицето на триъгълника?

    • 30 cm²
    • 24 cm²
    • 48 cm²
    • 15 cm²

    Отговор: 24 cm²

    Медианата към хипотенузата е половината от нея, т.е. c = 10 cm. Другият катет е √(100 − 36) = 8 cm, лицето е 6 · 8 : 2 = 24 cm².

15. Ромб има диагонали 12 cm и 16 cm. Колко е височината му?

    • 10 cm
    • 8 cm
    • 4,8 cm
    • 9,6 cm

    Отговор: 9,6 cm

    Страната е √(6² + 8²) = 10 cm, лицето е 12 · 16/2 = 96 cm², h = 96/10 = 9,6 cm.

Тригонометрия

1. На колко е равно sin 30°?

   • 1/2
   • √3/2
   • √2/2
   • 1

   Отговор: 1/2

   Катетът срещу ъгъл 30° е половината от хипотенузата, затова sin 30° = 1/2.

2. На колко е равно cos 45°?

   • 1/2
   • √3/2
   • 1
   • √2/2

   Отговор: √2/2

   cos 45° = √2/2 (от равнобедрения правоъгълен триъгълник).

3. На колко е равно tg 45°?

   • 1
   • 0
   • √3
   • 1/2

   Отговор: 1

   В равнобедрен правоъгълен триъгълник катетите са равни, затова tg 45° = 1.

4. В правоъгълен ΔABC (∠C = 90°) AC = 3 cm и BC = 4 cm. Намерете sin A.

   • 3/5
   • 4/5
   • 3/4
   • 4/3

   Отговор: 4/5

   AB = 5 cm, sin A = BC/AB = 4/5 (срещулежащ катет към хипотенуза).

5. В ΔABC ∠C = 90°, AB = 10 cm и BC = 6 cm. Намерете cos B.

   • 4/5
   • 3/5
   • 3/4
   • 4/3

   Отговор: 3/5

   cos B е прилежащият катет към хипотенузата: BC/AB = 6/10 = 3/5.

6. В правоъгълния ΔABC (∠C = 90°) AB = 13 cm и AC = 5 cm. Намерете cos A.

   • 12/13
   • 5/13
   • 5/12
   • 13/5

   Отговор: 5/13

   cos A = прилежащ катет / хипотенуза = AC/AB = 5/13.

7. Пресметнете tg 45° + 2cos 60°.

   • 1
   • 1 + √3
   • 3
   • 2

   Отговор: 2

   tg 45° = 1, cos 60° = 1/2: 1 + 2·1/2 = 2.

8. Пресметнете sin 60° · cos 30°.

   • 1/2
   • √3/2
   • 1
   • 3/4

   Отговор: 3/4

   sin 60° = cos 30° = √3/2, а (√3/2)² = 3/4.

9. Пресметнете sin²30° + cos²60°.

   • 1
   • 3/4
   • 1/2
   • 1/4

   Отговор: 1/2

   sin 30° = cos 60° = 1/2, затова 1/4 + 1/4 = 1/2.

10. sin α = 3/5 и α е остър ъгъл. Намерете tg α.

    • 4/3
    • 4/5
    • 12/25
    • 3/4

    Отговор: 3/4

    cos α = √(1 − 9/25) = 4/5, tg α = (3/5) : (4/5) = 3/4.

11. cos α = 0,8 и α е остър ъгъл. Намерете tg α.

    • 0,75
    • 0,6
    • 1,25
    • 0,8

    Отговор: 0,75

    sin α = √(1 − 0,64) = 0,6, tg α = 0,6 : 0,8 = 0,75.

12. sin α = 12/13 и α е остър ъгъл. Намерете cos α.

    • 5/12
    • 12/5
    • 1/13
    • 5/13

    Отговор: 5/13

    cos α = √(1 − 144/169) = √(25/169) = 5/13.

13. Бедрото на равнобедрен трапец е 10 cm и сключва с голямата основа ъгъл 60°. Малката основа е 7 cm. Колко сантиметра е голямата основа?

    • 12 cm
    • 27 cm
    • 7 + 10√3 cm
    • 17 cm

    Отговор: 17 cm

    Проекцията на бедрото е 10·cos 60° = 5 cm, голямата основа е 7 + 2·5 = 17 cm.

14. Ромб има страна 10 cm и остър ъгъл 30°. Колко е лицето му?

    • 100 cm²
    • 50√3 cm²
    • 50 cm²
    • 25 cm²

    Отговор: 50 cm²

    Височината е 10 · sin 30° = 5 cm, лицето е 10 · 5 = 50 cm².

15. Две страни на триъгълник са 8 cm и 10 cm, а ъгълът между тях е 30°. Колко е лицето му?

    • 20 cm²
    • 20√3 cm²
    • 40 cm²
    • 80 cm²

    Отговор: 20 cm²

    S = 1/2 · 8 · 10 · sin 30° = 40 · 1/2 = 20 cm².

Остър ъгъл: задачи

1. sin α = 0,4 за остър ъгъл α. На колко е равно cos(90° − α)?

   • 0,6
   • 0,84
   • 0,4
   • 1,4

   Отговор: 0,4

   cos(90° − α) = sin α = 0,4.

2. Кое равенство е вярно за всеки остър ъгъл α?

   • sin α + cos α = 1
   • tg α = cos α/sin α
   • tg α · cotg α = 1
   • sin α · cos α = 1

   Отговор: tg α · cotg α = 1

   tg α и cotg α са реципрочни числа, затова произведението им е 1.

3. Кое от числата може да е синус на остър ъгъл?

   • 1,2
   • 0,7
   • −0,5
   • 2

   Отговор: 0,7

   Синусът на остър ъгъл е число между 0 и 1.

4. Стълба с дължина 6 m е опряна на стена и сключва със земята ъгъл 60°. До каква височина стига стълбата?

   • 3√3 m
   • 3 m
   • 6√3 m
   • 2√3 m

   Отговор: 3√3 m

   h = 6·sin 60° = 6·√3/2 = 3√3 m.

5. Път се изкачва с 10 m на всеки 100 m хоризонтално разстояние. На колко е равен тангенсът на ъгъла на наклона?

   • 0,1
   • 10
   • 0,01
   • 1

   Отговор: 0,1

   tg α = вертикалното изкачване : хоризонталното разстояние = 10 : 100 = 0,1.

6. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 8 cm, а единият остър ъгъл е 30°. Колко е катетът срещу този ъгъл?

   • 4√3 cm
   • 2 cm
   • 4 cm
   • 8√3 cm

   Отговор: 4 cm

   Катетът срещу ъгъл 30° е половината от хипотенузата: 8 · sin 30° = 4 cm.

7. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 12 cm, а единият му остър ъгъл е 30°. Колко е лицето му?

   • 36√3 cm²
   • 36 cm²
   • 18√3 cm²
   • 18 cm²

   Отговор: 18√3 cm²

   Катетите са 12·sin 30° = 6 cm и 12·cos 30° = 6√3 cm. S = 6·6√3/2 = 18√3 cm².

8. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 10 cm, а единият му остър ъгъл е 45°. Колко е лицето му?

   • 50 cm²
   • 25√2 cm²
   • 12,5 cm²
   • 25 cm²

   Отговор: 25 cm²

   Триъгълникът е равнобедрен, катетите са 10 · sin 45° = 5√2 cm, лицето е (5√2)² : 2 = 25 cm².

9. Основата на равнобедрен триъгълник е 12 cm, а ъгълът при основата е 30°. Колко е височината към основата?

   • 6√3 cm
   • 4√3 cm
   • 3 cm
   • 2√3 cm

   Отговор: 2√3 cm

   h = 6 · tg 30° = 6 · √3/3 = 2√3 cm.

10. Пресметнете sin²25° + sin²65°.

    • 1
    • 0
    • 2
    • 1/2

    Отговор: 1

    sin 65° = cos 25°, затова сборът е sin²25° + cos²25° = 1.

11. Пресметнете tg 35° · tg 55°.

    • 0
    • 1
    • 2
    • 1/2

    Отговор: 1

    tg 55° = cotg 35°, а tg 35° · cotg 35° = 1.

12. Опростете израза sin α · cotg α за остър ъгъл α.

    • cos α
    • 1
    • tg α
    • sin²α

    Отговор: cos α

    cotg α = cos α / sin α, затова sin α · cotg α = cos α.

13. От точка на земята, на 30 m от основата на кула, върхът ѝ се вижда под ъгъл 60° спрямо хоризонта. Колко метра е височината на кулата?

    • 30√3 m
    • 10√3 m
    • 15 m
    • 60 m

    Отговор: 30√3 m

    h = 30·tg 60° = 30√3 m.

14. От върха на кула с височина 20 m лодка се вижда под ъгъл 30° под хоризонта. На какво разстояние от основата на кулата е лодката?

    • 20√3/3 m
    • 40 m
    • 10 m
    • 20√3 m

    Отговор: 20√3 m

    Ъгълът при лодката е 30°, затова tg 30° = 20/d и d = 20 : (√3/3) = 20√3 m.

15. От точка A върхът на кула се вижда под ъгъл 30°, а от точка B, с 20 m по-близо до кулата, под ъгъл 60°. Колко е височината на кулата?

    • 20 m
    • 10√3 m
    • 20√3 m
    • 10 m

    Отговор: 10√3 m

    Разстоянията до основата са h√3 и h/√3. Разликата им е 2h/√3 = 20, затова h = 10√3 m.

Финален въпрос