Ирационални уравнения с един квадратен радикал
Ирационално уравнение с един радикал се решава, като коренът се усамоти и двете страни се повдигнат на квадрат. Повдигането може да внесе чужди корени, затова накрая се прави проверка или предварително се поставя условието дясната страна да е неотрицателна. Полученото уравнение обикновено е линейно или квадратно.
Какво да запомним
- Усамотяваме корена: √f(x) = g(x).
- Повдигаме на квадрат: f(x) = g2(x).
- Задължителна проверка (или условие g(x) ≥ 0), защото може да има чужди корени.
- Уравнение √f(x) = a при a < 0 няма решение.
Пример
√(x + 7) = x + 1 ⇒ x + 7 = x2 + 2x + 1 ⇒ x2 + x − 6 = 0 ⇒ x = 2 или x = −3. Проверката отхвърля −3, остава x = 2.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Решете уравнението √(x − 1) = 3.
- x = 4
- x = 8
- x = 10
- x = 2
Отговор: x = 10
x − 1 = 9, x = 10. Проверка: √9 = 3.
Решете уравнението √(3x + 4) = x.
- x = 4 и x = −1
- x = −1
- няма решение
- x = 4
Отговор: x = 4
3x + 4 = x2, x = 4 или x = −1. Тъй като x ≥ 0, остава x = 4.
Решете уравнението √(x + 7) = x + 1.
- x = 2
- x = −3
- x = 2 и x = −3
- x = 3
Отговор: x = 2
x + 7 = x2 + 2x + 1, x2 + x − 6 = 0, x = 2 или x = −3. Условието x + 1 ≥ 0 оставя x = 2.
Решете уравнението √(5 − x) = x − 5.
- x = 4 и x = 5
- x = 5
- няма решение
- x = 4
Отговор: x = 5
Трябва 5 − x ≥ 0 и x − 5 ≥ 0, значи x = 5. Проверка: 0 = 0.
Решете уравнението x + √(x − 2) = 4.
- x = 6
- x = 3 и x = 6
- x = 3
- x = 2
Отговор: x = 3
√(x − 2) = 4 − x, x − 2 = 16 − 8x + x2, x2 − 9x + 18 = 0, x = 3 или x = 6. Условието x ≤ 4 оставя x = 3.
Решете уравнението √(2x) = 4.
- x = 2
- x = 16
- x = 8
- x = 4
Отговор: x = 8
2x = 16, x = 8.
Решете уравнението √(10 − x) = 3.
- x = 7
- x = 19
- x = 1
- x = −1
Отговор: x = 1
10 − x = 9, x = 1.
Решете уравнението √(x + 2) = x.
- x = −1
- x = 2
- x = 2 и x = −1
- няма решение
Отговор: x = 2
x + 2 = x2, x = 2 или x = −1. Условието x ≥ 0 оставя x = 2.
Решете уравнението 2x − √(x + 1) = 1.
- x = 0
- x = 5/4
- x = 0 и x = 5/4
- x = 1
Отговор: x = 5/4
√(x + 1) = 2x − 1, x + 1 = 4x2 − 4x + 1, 4x2 − 5x = 0. Условието 2x − 1 ≥ 0 отхвърля x = 0.
Решете уравнението √(x2 − 3x + 3) = 2x − 3.
- x = 2
- x = 1
- x = 1 и x = 2
- няма решение
Отговор: x = 2
x2 − 3x + 3 = 4x2 − 12x + 9, x2 − 3x + 2 = 0, x = 1 или 2. При x = 1 дясната страна е −1, затова остава x = 2.
Колко решения има уравнението √(x + 4) = −2?
- 1
- 2
- 0
- 4
Отговор: 0
Квадратният корен не може да е отрицателно число, затова уравнението няма решение.
Кое е първото действие при решаване на √(x + 1) + 2 = 5?
- усамотяваме корена
- повдигаме на квадрат
- правим проверка
- делим на 2
Отговор: усамотяваме корена
Първо оставяме корена сам: √(x + 1) = 3, едва след това повдигаме на квадрат.
Кое число е чужд корен за уравнението √(2x + 3) = x?
- 3
- 1
- −3
- −1
Отговор: −1
От 2x + 3 = x2 следва x = 3 или x = −1. При x = −1 дясната страна е отрицателна, затова −1 е чужд корен.
Решете уравнението √(x2 − 5) = 2.
- x = 3
- x = ±3
- x = 9
- x = ±1
Отговор: x = ±3
x2 − 5 = 4, x2 = 9, x = ±3. И двете стойности удовлетворяват уравнението.
Решете уравнението √(x + 10) = x − 2.
- x = −1
- x = 6
- x = 6 и x = −1
- няма решение
Отговор: x = 6
x + 10 = x2 − 4x + 4 дава x2 − 5x − 6 = 0, x = 6 или x = −1. При x = −1 дясната страна е −3 < 0, остава x = 6.