Ирационални уравнения с два квадратни радикала
При уравнения с два квадратни радикала първо се определя допустимата област. Ако двата корена са в различни страни и са равни, подкоренните изрази се приравняват. Ако са от една страна, единият се прехвърля отдясно и се повдига на квадрат, понякога два пъти. Накрая се прави проверка.
Какво да запомним
- √f(x) = √g(x) ⇔ f(x) = g(x) и f(x) ≥ 0.
- Допустима област: всички подкоренни изрази ≥ 0.
- Ако допустимата област е празно множество, уравнението няма решение.
- При √f + √g = a често се повдига на квадрат два пъти.
Пример
√(x + 5) − √x = 1 ⇒ √(x + 5) = 1 + √x ⇒ x + 5 = 1 + 2√x + x ⇒ √x = 2 ⇒ x = 4.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Решете уравнението √(2x + 1) = √(x + 4).
- x = 5
- x = −3
- няма решение
- x = 3
Отговор: x = 3
2x + 1 = x + 4, x = 3. Проверка: √7 = √7.
Решете уравнението √(x − 5) = √(1 − x).
- няма решение
- x = 3
- x = 5
- x = 1
Отговор: няма решение
Трябва x ≥ 5 и x ≤ 1, което е невъзможно. (x = 3 от x − 5 = 1 − x не е в дефиниционната област.)
Решете уравнението √(x + 5) − √x = 1.
- x = 2
- x = 4
- x = 16
- x = 9
Отговор: x = 4
√(x + 5) = 1 + √x, x + 5 = 1 + 2√x + x, √x = 2, x = 4. Проверка: 3 − 2 = 1.
Решете уравнението √(2x + 1) + √(x − 3) = 4.
- x = 84
- x = 4 и x = 84
- x = 4
- x = 12
Отговор: x = 4
След двукратно повдигане на квадрат: x2 − 88x + 336 = 0, x = 4 или x = 84. Проверката оставя само x = 4 (3 + 1 = 4).
Решете уравнението √(x + 1) + √(4 − x) = 3.
- x = 0
- x = 3
- няма решение
- x = 0 и x = 3
Отговор: x = 0 и x = 3
5 + 2√((x + 1)(4 − x)) = 9, (x + 1)(4 − x) = 4, x2 − 3x = 0, x = 0 или x = 3. И двата корена се проверяват.
Каква е допустимата област на уравнението √(x − 1) = √(5 − x)?
- x ∈ [1; 5]
- x ≥ 1
- x ≤ 5
- x ∈ (1; 5)
Отговор: x ∈ [1; 5]
Трябва x − 1 ≥ 0 и 5 − x ≥ 0, т.е. 1 ≤ x ≤ 5.
Решете уравнението √(x − 1) = √(5 − x).
- x = 2
- x = 6
- няма решение
- x = 3
Отговор: x = 3
x − 1 = 5 − x, 2x = 6, x = 3, което е в [1; 5].
Решете уравнението √(x + 3)·√(x − 3) = 4.
- x = ±5
- x = −5
- x = 5
- x = 4
Отговор: x = 5
x2 − 9 = 16, x = ±5. Допустимата област е x ≥ 3, затова x = 5.
Решете уравнението √(2x + 1)/√(x − 1) = √3.
- x = 2
- x = −4
- няма решение
- x = 4
Отговор: x = 4
2x + 1 = 3(x − 1), x = 4, което изпълнява x > 1.
Решете уравнението √(x + 1) + √(x − 2) = √(4x + 1).
- x = −1
- x = 2
- x = 3
- няма решение
Отговор: няма решение
След повдигане в квадрат (x + 1)(x − 2) = (x + 1)2, откъдето x = −1, но допустимата област е x ≥ 2.
С какво започваме при уравнение с два квадратни радикала?
- полагаме нова променлива
- делим на единия корен
- събираме радикалите
- намираме допустимата област
Отговор: намираме допустимата област
Първо определяме при кои x всички подкоренни изрази са неотрицателни.
Решете уравнението √(x2 − 30) = √x.
- x = 6
- x = −5
- x = 6 и x = −5
- няма решение
Отговор: x = 6
x2 − x − 30 = 0 дава x = 6 или x = −5. При x = −5 √x няма смисъл, остава x = 6.
Решете уравнението √(3x + 7) = 2√x.
- x = 1
- x = 3
- x = 7
- няма решение
Отговор: x = 7
3x + 7 = 4x, откъдето x = 7. Проверка: √28 = 2√7.
Решете уравнението √(x − 3) = √(x + 4) − 1.
- x = 4
- x = 3
- x = 12
- няма решение
Отговор: x = 12
Повдигаме: x − 3 = x + 4 − 2√(x + 4) + 1, тоест √(x + 4) = 4 и x = 12. Проверка: 3 = 4 − 1.
Решете уравнението √(x + 1) + √(x − 4) = 5.
- x = 8
- x = 4
- x = 15
- няма решение
Отговор: x = 8
√(x + 1) = 5 − √(x − 4) дава x + 1 = 25 − 10√(x − 4) + x − 4, тоест √(x − 4) = 2 и x = 8. Проверка: 3 + 2 = 5.