Решаване на ирационални уравнения с теорема за еквивалентност
Вместо проверка ирационалното уравнение може да се замени с равносилна система чрез теоремата за еквивалентност. Уравнението √f(x) = g(x) е равносилно на системата f(x) = g2(x) и g(x) ≥ 0. Така всички намерени корени, които удовлетворяват условието, са решения и чужди корени не се появяват. Трябва да се внимава и с правилата √a·√b = √(ab), които важат само при a ≥ 0 и b ≥ 0.
Какво да запомним
- √f(x) = g(x) ⇔ f(x) = g2(x) и g(x) ≥ 0.
- √f(x) = √g(x) ⇔ f(x) = g(x) и g(x) ≥ 0.
- f(x)·√g(x) = 0 ⇔ g(x) = 0, или f(x) = 0 и g(x) ≥ 0.
- √(x(x − 1)) и √x·√(x − 1) имат различни дефиниционни множества.
Пример
(x + 3)√(x − 1) = 0: x = 1 е решение, а x = −3 не е, защото тогава x − 1 < 0.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Решете уравнението (x + 3)·√(x − 1) = 0.
- x = 1
- x = −3 и x = 1
- x = −3
- няма решение
Отговор: x = 1
Произведението е 0, ако x + 3 = 0 или √(x − 1) = 0, но при x = −3 коренът няма смисъл. Остава x = 1.
При какво условие √f(x) = g(x) е равносилно на f(x) = g2(x)?
- f(x) > 0
- g(x) ≥ 0
- g(x) ≤ 0
- f(x) = 0
Отговор: g(x) ≥ 0
Коренът е неотрицателен, затова трябва g(x) ≥ 0; тогава f(x) = g2(x) ≥ 0 автоматично.
Кое число е корен на √(x(x − 1)) = √6, но не е корен на √x·√(x − 1) = √6?
- 3
- −2
- −3
- 2
Отговор: −2
x(x − 1) = 6 дава x = 3 и x = −2. При x = −2 √x не е определен, затова уравненията не са равносилни.
На коя система е равносилно уравнението √(x + 2) = x?
- x + 2 = x2 и x ≥ 0
- x + 2 = x2 и x ≥ −2
- x + 2 = x
- x + 2 = x2 и x ≤ 0
Отговор: x + 2 = x2 и x ≥ 0
По теоремата √f = g ⇔ f = g2 и g ≥ 0. Тук g = x, затова условието е x ≥ 0 и решението е x = 2.
Решете уравнението √(x + 1) = x − 1.
- x = 0
- x = 3
- x = 0 и x = 3
- няма решение
Отговор: x = 3
Система: x − 1 ≥ 0 и x + 1 = x2 − 2x + 1, т.е. x2 − 3x = 0, x = 0 или x = 3. Условието x ≥ 1 оставя само x = 3.
На какво е равносилно уравнението √f(x) = √g(x)?
- f(x) = g(x)
- f(x) = g2(x)
- f(x) ≥ 0 и g(x) ≥ 0
- f(x) = g(x) и g(x) ≥ 0
Отговор: f(x) = g(x) и g(x) ≥ 0
Равенството на подкоренните изрази заедно с условието те да са неотрицателни дава равносилна система.
Решете уравнението √(x − 7) = 0.
- x = 0
- x = 7
- x = −7
- x = 49
Отговор: x = 7
Коренът е 0 точно когато подкоренният израз е 0: x − 7 = 0.
Решете уравнението x·√(x − 6) = 0.
- x = 0 и x = 6
- x = 6
- x = 0
- няма решение
Отговор: x = 6
x − 6 = 0 дава x = 6. Стойността x = 0 не е решение, защото тогава x − 6 < 0.
Какво условие поставяме по теоремата за еквивалентност за уравнението √(2x + 1) = x − 3?
- x ≥ −1/2
- x ≤ 3
- x > 0
- x ≥ 3
Отговор: x ≥ 3
Дясната страна трябва да е неотрицателна: x − 3 ≥ 0.
Равносилни ли са уравненията √x·√(x + 2) = √3 и √(x(x + 2)) = √3?
- не
- да
- само при x < 0
- само при x = 0
Отговор: не
И двете водят до x(x + 2) = 3, x = 1 или x = −3. Числото −3 е корен само на второто, защото при него √x няма смисъл.
Решете уравнението √(x + 5) = 1 − x.
- x = 4
- x = −1 и x = 4
- x = −1
- няма решение
Отговор: x = −1
Условие x ≤ 1. x + 5 = 1 − 2x + x2, x2 − 3x − 4 = 0, x = 4 или x = −1. Условието оставя x = −1.
Решете уравнението (x − 5)·√(4 − x) = 0.
- x = 5
- x = 4 и x = 5
- x = 4
- няма решение
Отговор: x = 4
x = 4 нулира корена. x = 5 не е решение, защото 4 − 5 < 0.
Решете уравнението √(3 − x) = x − 1.
- x = 2
- x = −1
- x = 2 и x = −1
- x = 1
Отговор: x = 2
Условие x ≥ 1. 3 − x = x2 − 2x + 1, x2 − x − 2 = 0, x = 2 или x = −1. Остава x = 2.
Решете уравнението √(x2 − 4x) = √(2x − 5).
- x = 1
- x = 1 и x = 5
- няма решение
- x = 5
Отговор: x = 5
x2 − 4x = 2x − 5 дава x = 1 или x = 5. Условието 2x − 5 ≥ 0 оставя x = 5.
Решете уравнението (x − 1)·√(x2 − x − 6) = 0.
- x = 1, x = −2 и x = 3
- x = −2 и x = 3
- x = 1
- x = 3
Отговор: x = −2 и x = 3
x2 − x − 6 = 0 дава x = −2 и x = 3. При x = 1 подкоренният израз е −6 < 0, затова 1 не е решение.