Как да се упражни урокът у дома?

Прочетете обяснението и ключовите неща, после отговорете на въпросите по-долу. За повече упражнения отворете темата „Преговор по възлови теми“ и изберете игра или режим „У дома“.

Коя теорема дава третата страна по две страни и ъгъла между тях?

теоремата за ъглополовящата

Математика · 10 клас · урок 8 от 9

Решаване на триъгълник

Да решим триъгълник означава по дадени три елемента (поне един от тях страна) да намерим останалите страни и ъгли. Основните инструменти са синусовата и косинусовата теорема, сборът на ъглите 180° и формулите за лице. Изборът на теорема зависи от данните: по два ъгъла и страна използваме синусовата, а по две страни и ъгъла между тях или три страни, косинусовата.

Играйте само този урок:Вярно или невярно Табло Бомба Надбягване Отборен тест А/Б/В/Г Горещ стол

Работен лист за печат

Какво да запомним

∠A + ∠B + ∠C = 180°.
Синусова теорема: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R.
Косинусова теорема: a² = b² + c² − 2bc·cos α.
R = abc/(4S), r = S/p.

Пример

При b = 8 cm, c = 5 cm и ∠A = 60°: a² = 64 + 25 − 40 = 49, значи a = 7 cm.

Проверете се: 15 въпроса

Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.

Коя теорема дава третата страна по две страни и ъгъла между тях?
- синусовата
- косинусовата
- Талесовата
- теоремата за ъглополовящата
Отговор: косинусовата
Косинусовата теорема: a² = b² + c² − 2bc·cos α.
В ΔABC a = 5 cm и ∠A = 30°. Колко е радиусът на описаната окръжност?
- 2,5 cm
- 10 cm
- 5 cm
- 5√3 cm
Отговор: 5 cm
2R = a/sin 30° = 10, значи R = 5 cm.
В ΔABC b = 8 cm, c = 5 cm и ∠A = 60°. Намерете a.
- 7 cm
- √89 cm
- √129 cm
- 6 cm
Отговор: 7 cm
a² = 64 + 25 − 2·8·5·0,5 = 49, a = 7 cm.
Два ъгъла на триъгълник са 45° и 60°, а страната срещу ъгъла 45° е 4√2 cm. Намерете страната срещу ъгъла 60°.
- 4√6 cm
- 8 cm
- 2√6 cm
- 4√3 cm
Отговор: 4√3 cm
По синусовата теорема b = 4√2·sin 60°/sin 45° = 4√2·(√3/2)/(√2/2) = 4√3 cm.
Триъгълник има страни 5 cm, 5 cm и 6 cm. Колко е радиусът на описаната окръжност?
- 3 cm
- 25/8 cm
- 3,5 cm
- 5/2 cm
Отговор: 25/8 cm
Височината към 6 cm е 4, S = 12 cm², R = 5·5·6/(4·12) = 25/8 cm.
Два ъгъла на триъгълник са 40° и 75°. Колко е третият ъгъл?
- 55°
- 65°
- 75°
- 115°
Отговор: 65°
180° − 40° − 75° = 65°.
Коя теорема използваме, когато са дадени два ъгъла и страна?
- косинусовата
- Питагоровата
- синусовата
- Талесовата
Отговор: синусовата
По два ъгъла и страна използваме синусовата теорема.
В ΔABC ∠A = 30°, а радиусът на описаната окръжност е 3 cm. Колко е страната a?
- 6 cm
- 1,5 cm
- 3√3 cm
- 3 cm
Отговор: 3 cm
a = 2R·sin α = 6·1/2 = 3 cm.
Какъв е триъгълникът със страни 3 cm, 4 cm и 5 cm?
- правоъгълен
- остроъгълен
- тъпоъгълен
- равнобедрен
Отговор: правоъгълен
3² + 4² = 5², значи ъгълът срещу 5 cm е 90°.
В ΔABC b = 4 cm, c = 6 cm и ∠A = 60°. Намерете a.
- 6 cm
- 2√7 cm
- 2√13 cm
- 5 cm
Отговор: 2√7 cm
a² = 16 + 36 − 2·4·6·1/2 = 28, a = 2√7 cm.
Колко е лицето на триъгълник със страни b = 6 cm, c = 8 cm и ъгъл между тях 30°?
- 24 cm²
- 12√3 cm²
- 12 cm²
- 48 cm²
Отговор: 12 cm²
S = bc·sin α/2 = 48·1/2/2 = 12 cm².
Триъгълник има страни 5 cm, 7 cm и 8 cm. Колко е ъгълът срещу страната 7 cm?
- 45°
- 30°
- 120°
- 60°
Отговор: 60°
cos γ = (25 + 64 − 49)/(2·5·8) = 40/80 = 1/2, γ = 60°.
Какъв по ъгли е триъгълникът със страни 4 cm, 5 cm и 7 cm?
- тъпоъгълен
- остроъгълен
- правоъгълен
- равностранен
Отговор: тъпоъгълен
7² = 49 > 4² + 5² = 41, значи ъгълът срещу 7 cm е тъп.
Триъгълник има страни 13 cm, 14 cm и 15 cm. Колко е радиусът на вписаната окръжност?
- 6 cm
- 4 cm
- 8 cm
- 65/8 cm
Отговор: 4 cm
p = 21, по Херон S = √(21·8·7·6) = 84, r = S/p = 4 cm.
Триъгълник има страни 13 cm, 14 cm и 15 cm. Колко е радиусът на описаната окръжност?
- 7 cm
- 15/2 cm
- 65/8 cm
- 21/4 cm
Отговор: 65/8 cm
S = 84 cm², R = abc/(4S) = 2730/336 = 65/8 cm.