Как да се упражни урокът у дома?

Прочетете обяснението и ключовите неща, после отговорете на въпросите по-долу. За повече упражнения отворете темата „Прогресии“ и изберете игра или режим „У дома“.

Математика · 10 клас · урок 4 от 9

Сбор на първите n члена на аритметична прогресия

Сборът на първите n члена на аритметична прогресия се бележи S_n. Формулата идва от идеята на Гаус: събираме членовете по двойки от двата края и всяка двойка има един и същ сбор. Има два вида формула: с първия и последния член или с първия член и разликата. Урокът учи и как да намерим n, ако е даден сборът.

Играйте само този урок:Вярно или невярно Табло Бомба Надбягване Отборен тест А/Б/В/Г Горещ стол

Работен лист за печат

Какво да запомним

S_n = (a₁ + a_n)·n/2.
S_n = (2a₁ + (n − 1)d)·n/2.
1 + 2 + ... + n = n(n + 1)/2.
a_n = S_n − S_n−1 при n ≥ 2.

Пример

2 + 4 + ... + 40 има 20 члена, затова S₂₀ = (2 + 40)·20/2 = 420.

Проверете се: 15 въпроса

Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.

В аритметична прогресия a₁ = 1 и a₁₀ = 19. Намерете S₁₀.
- 200
- 190
- 95
- 100
Отговор: 100
S₁₀ = 10·(1 + 19)/2 = 100.
Пресметнете сбора 2 + 4 + 6 + ... + 40.
- 420
- 400
- 440
- 210
Отговор: 420
Събираемите са 20: S = 20·(2 + 40)/2 = 420.
В аритметична прогресия a₁ = 5 и d = 3. Намерете S₈.
- 112
- 124
- 136
- 62
Отговор: 124
a₈ = 5 + 21 = 26, S₈ = 8·(5 + 26)/2 = 124.
Колко първи члена на прогресията 2, 5, 8, ... трябва да съберем, за да получим 155?
- 11
- 9
- 10
- 12
Отговор: 10
S_n = n(3n + 1)/2 = 155, 3n² + n − 310 = 0, n = 10.
Колко е сборът на всички двуцифрени числа, които се делят на 7?
- 735
- 686
- 784
- 728
Отговор: 728
Това са 14, 21, ..., 98, т.е. 13 числа. S = 13·(14 + 98)/2 = 728.
Колко е сборът на първите 100 естествени числа?
- 5000
- 5050
- 10100
- 4950
Отговор: 5050
S = 100·(1 + 100)/2 = 5050.
В аритметична прогресия S₅ = 40. Намерете a₃.
- 10
- 8
- 5
- 4
Отговор: 8
S₅ = 5(a₁ + a₅)/2 = 5a₃, a₃ = 8.
Пресметнете сбора 10 + 7 + 4 + ... + (−20).
- −50
- −110
- −60
- −55
Отговор: −55
d = −3, членовете са 11, S = 11·(10 − 20)/2 = −55.
Намерете разликата на аритметична прогресия с a₁ = 3 и S₆ = 63.
- 2
- 4
- 3
- 5
Отговор: 3
S₆ = 6(2·3 + 5d)/2 = 18 + 15d = 63, d = 3.
Сборът на първите n члена на редица е S_n = n² + 2n. Намерете a₁₀.
- 120
- 21
- 19
- 23
Отговор: 21
a₁₀ = S₁₀ − S₉ = 120 − 99 = 21.
Колко събираеми има сборът 3 + 6 + 9 + ... + 30?
- 30
- 10
- 9
- 11
Отговор: 10
Събираемите са 3·1, 3·2, ..., 3·10.
На колко е равен сборът на първите n нечетни числа 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1)?
- n(n + 1)
- 2n
- n(n + 1)/2
- n²
Отговор: n²
S_n = (1 + 2n − 1)·n/2 = n².
В аритметична прогресия a₁ = 4 и S₁₀ = 175. Намерете a₁₀.
- 31
- 27
- 35
- 17,5
Отговор: 31
(4 + a₁₀)·10/2 = 175, 4 + a₁₀ = 35, a₁₀ = 31.
Сборът на първите n члена на аритметична прогресия е S_n = 3n² + n. Намерете разликата d.
- 3
- 4
- 6
- 10
Отговор: 6
a₁ = S₁ = 4, S₂ = 14, a₂ = 10, d = 6.
Колко е най-големият сбор S_n на прогресията 23, 20, 17, ...?
- 92
- 99
- 100
- 115
Отговор: 100
a_n = 26 − 3n е положителен до n = 8 (a₈ = 2). S₈ = (23 + 2)·8/2 = 100.