Линейно неравенство с едно неизвестно. Еквивалентни неравенства
Линейно неравенство с едно неизвестно има вида ax + b > 0 (или с <, ≤, ≥). Да решим неравенството означава да намерим всички стойности на x, за които то е вярно. Две неравенства са еквивалентни, ако имат едни и същи решения. Решаваме, като пренасяме събираеми с обратен знак и делим на коефициента пред x, като обръщаме знака при деление на отрицателно число.
Какво да запомним
- Пренасяне на събираемо от едната страна в другата става с обратен знак.
- Деление на положително число запазва знака, на отрицателно го обръща.
- Еквивалентни неравенства имат едни и същи решения.
- Някои неравенства нямат решение (напр. 2x + 2 < 2x), а други са верни за всяко x.
Пример
4 − 2x ≥ 10 ⇒ −2x ≥ 6 ⇒ x ≤ −3 (знакът се обръща, защото делим на −2).
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Решете неравенството x + 4 < 9.
- x > 5
- x < 13
- x > 13
- x < 5
Отговор: x < 5
Изваждаме 4 от двете страни: x < 5.
Решете неравенството 4 − 2x ≥ 10.
- x ≥ −3
- x ≤ 3
- x ≥ 3
- x ≤ −3
Отговор: x ≤ −3
−2x ≥ 6. Делим на −2 и обръщаме знака: x ≤ −3.
Решете неравенството 3(x − 1) − 2(x + 2) > 0.
- x > −1
- x < 7
- x > 7
- x > 1
Отговор: x > 7
3x − 3 − 2x − 4 > 0, т.е. x − 7 > 0, x > 7.
Кое неравенство НЯМА решение?
- 2x + 1 > 2x
- x − 1 < 2x
- 3x ≤ 3x + 1
- 2(x + 1) < 2x
Отговор: 2(x + 1) < 2x
2x + 2 < 2x води до 2 < 0, което не е вярно при никое x.
Кое от числата е решение на неравенството 3x ≥ 12?
- 4
- 3
- 0
- −4
Отговор: 4
x ≥ 4, а 4 удовлетворява неравенството.
Решете неравенството −x > 3.
- x > −3
- x > 3
- x < −3
- x < 3
Отговор: x < −3
Умножаваме по −1 и обръщаме знака.
Решете неравенството 5x − 2 ≤ 3x + 6.
- x ≥ 4
- x ≤ 2
- x ≥ 2
- x ≤ 4
Отговор: x ≤ 4
5x − 3x ≤ 6 + 2, 2x ≤ 8, x ≤ 4.
Решете неравенството 2x > 10.
- x > 5
- x < 5
- x > 8
- x > 20
Отговор: x > 5
Делим двете страни на положителното число 2 и знакът се запазва: x > 5.
Решете неравенството 7 − x ≤ 2.
- x ≤ 5
- x ≥ −5
- x ≤ 9
- x ≥ 5
Отговор: x ≥ 5
−x ≤ −5. Делим на −1 и обръщаме знака: x ≥ 5.
Кои две неравенства са еквивалентни?
- −x < 3 и x < −3
- x + 1 > 0 и x > 1
- 2x < 6 и x < 3
- 3x ≥ 9 и x > 3
Отговор: 2x < 6 и x < 3
Делим 2x < 6 на 2 и получаваме x < 3, т.е. неравенствата имат едни и същи решения.
Кое неравенство е вярно за всяко x?
- 3x + 1 > 3x + 2
- 3(x + 1) > 3x
- x > −x
- 2x ≥ x
Отговор: 3(x + 1) > 3x
3(x + 1) > 3x ⇔ 3x + 3 > 3x ⇔ 3 > 0, което е вярно винаги.
Решете неравенството 2(3 − x) < x − 12.
- x > 6
- x < 6
- x > −6
- x < −6
Отговор: x > 6
6 − 2x 6 (знакът се обръща).
Кое е най-малкото цяло число, което е решение на 4x − 3 > 2x + 8?
- 5
- 7
- 11
- 6
Отговор: 6
2x > 11 ⇒ x > 5,5, а най-малкото цяло число след 5,5 е 6.
При кои x изразът 3x − 5 е с повече от 4 по-голям от израза 2x + 1?
- x > 6
- x > 2
- x > 10
- x < 10
Отговор: x > 10
(3x − 5) − (2x + 1) > 4 ⇒ x − 6 > 4 ⇒ x > 10.
Колко естествени числа са решения на неравенството 5 − 2x ≥ −11?
- 7
- 8
- 9
- 16
Отговор: 8 числа
−2x ≥ −16 ⇒ x ≤ 8. Естествените решения са 1, 2, …, 8.