Височина, ъглополовяща и медиана в равнобедрен триъгълник
Височината е перпендикулярът от връх към срещуположната страна (или правата ѝ), медианата свързва връх със средата на срещуположната страна, а ъглополовящата дели ъгъла на две равни части. В произволен триъгълник това са три различни отсечки. В равнобедрения триъгълник обаче височината, медианата и ъглополовящата към основата съвпадат и лежат на симетралата на основата.
Какво да запомним
- Медиана: от връх до средата на срещуположната страна.
- Височина: перпендикуляр от връх към срещуположната страна.
- В равнобедрен триъгълник височината към основата е и медиана, и ъглополовяща.
- Височините на правоъгълен триъгълник се пресичат във върха на правия ъгъл.
Пример
В ΔABC AC = BC и CH е височина. Тя е и медиана, затова при AB = 12 cm имаме AH = 6 cm.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Височината към основата на равнобедрен триъгълник е също и:
- само медиана
- медиана и ъглополовяща
- само ъглополовяща
- симетрала на бедрото
Отговор: медиана и ъглополовяща
В равнобедрения триъгълник височината, медианата и ъглополовящата към основата съвпадат.
В ΔABC AC = BC, CH е височина и AB = 12 cm. Колко сантиметра е AH?
- 12 cm
- 6 cm
- 3 cm
- 24 cm
Отговор: 6 cm
Височината към основата е и медиана: AH = AB : 2 = 6 cm.
В ΔABC AC = BC, CM е медиана и ∠ACB = 80°. Колко градуса е ∠ACM?
- 80°
- 50°
- 40°
- 20°
Отговор: 40°
Медианата към основата е и ъглополовяща: 80° : 2 = 40°.
В ΔABC AC = BC, ∠C = 120°, а височината CH = 4 cm. Колко сантиметра е AC?
- 8 cm
- 4 cm
- 2 cm
- 12 cm
Отговор: 8 cm
∠A = 30°, а в правоъгълния ΔAHC катетът CH е срещу ъгъла от 30°: AC = 2·CH = 8 cm.
Как се нарича отсечката от връх на триъгълник до средата на срещуположната страна?
- височина
- ъглополовяща
- симетрала
- медиана
Отговор: медиана
Медианата свързва връх със средата на срещуположната страна.
В ΔABC AM е медиана и BC = 14 cm. Колко сантиметра е BM?
- 14 cm
- 28 cm
- 7 cm
- 3,5 cm
Отговор: 7 cm
M е среда на BC, значи BM = 14 : 2 = 7 cm.
Къде се пресичат височините на правоъгълен триъгълник?
- в средата на хипотенузата
- вътре в триъгълника
- във върха на правия ъгъл
- извън триъгълника
Отговор: във върха на правия ъгъл
Двата катета са височини и се пресичат във върха на правия ъгъл.
В равностранен ΔABC медианата AM и височината BH се пресичат в точка O. Колко градуса е ∠AOB?
- 120°
- 90°
- 60°
- 150°
Отговор: 120°
Медианите са и ъглополовящи: ∠OAB = ∠OBA = 30°, значи ∠AOB = 120°.
В ΔABC AB = AC, AM е медиана и ∠BAM = 25°. Колко градуса е ∠ACB?
- 50°
- 25°
- 75°
- 65°
Отговор: 65°
Медианата към основата е и ъглополовяща: ∠A = 50°, а ∠C = (180° − 50°) : 2 = 65°.
Как се нарича перпендикулярът от връх на триъгълник към правата на срещуположната страна?
- Медиана
- Височина
- Ъглополовяща
- Симетрала
Отговор: Височина
Височината е перпендикулярът от върха към срещуположната страна или нейната права.
В ΔABC AC = BC, а CM е медиана. Какъв ъгъл сключва CM с AB?
- 90°
- 45°
- 60°
- 180°
Отговор: 90°
В равнобедрения триъгълник медианата към основата е и височина, затова CM ⊥ AB.
В ΔABC AC = BC = 13 cm, AB = 10 cm, а CH е височина. Периметърът на ΔACH е 30 cm. Колко е CH?
- 7 cm
- 8 cm
- 17 cm
- 12 cm
Отговор: 12 cm
CH е и медиана, затова AH = 5 cm. CH = 30 − 13 − 5 = 12 cm.
В кой триъгълник всяка медиана е и височина?
- Равнобедрен
- Правоъгълен
- Равностранен
- Разностранен
Отговор: Равностранен
Медианата от връх е и височина само когато двете страни от този връх са равни. За трите медиани трябва всички страни да са равни.
В ΔABC AC = BC, ∠C = 90° и височината CH = 6 cm. Колко е AB?
- 6 cm
- 12 cm
- 9 cm
- 18 cm
Отговор: 12 cm
∠ACH = 45° = ∠A, затова AH = CH = 6 cm. CH е и медиана, следователно AB = 2 · 6 = 12 cm.
В ΔABC AB = AC, AM е медиана, BC = 16 cm, периметърът на ΔABC е 50 cm, а на ΔABM е 40 cm. Колко е AM?
- 15 cm
- 10 cm
- 17 cm
- 23 cm
Отговор: 15 cm
AB = (50 − 16) : 2 = 17 cm, BM = 8 cm. AM = 40 − 17 − 8 = 15 cm.