Еднакви триъгълници

Признаци за еднаквост

1. Ако AB = A₁B₁, BC = B₁C₁ и ∠B = ∠B₁, по кой признак ΔABC ≅ ΔA₁B₁C₁?

   • втори признак
   • първи признак
   • трети признак
   • не са еднакви

   Отговор: първи признак

   Две страни и ъгълът между тях са съответно равни: първи признак.

2. По кой признак са еднакви два триъгълника с три съответно равни страни?

   • първи признак
   • втори признак
   • не са еднакви
   • трети признак

   Отговор: трети признак

   Третият признак: три съответно равни страни.

3. ΔABC ≅ ΔKLM и периметърът на ΔABC е 24 cm. Колко е периметърът на ΔKLM?

   • 12 cm
   • 24 cm
   • 48 cm
   • не може да се определи

   Отговор: 24 cm

   Еднаквите триъгълници имат съответно равни страни, значи и равни периметри.

4. ΔABC ≅ ΔMNP, като AB = 5 cm, BC = 7 cm и AC = 9 cm. Колко сантиметра е NP?

   • 7 cm
   • 5 cm
   • 9 cm
   • 21 cm

   Отговор: 7 cm

   Съответните страни на еднаквите триъгълници са равни: NP съответства на BC.

5. Ако AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁, по кой признак ΔABC ≅ ΔA₁B₁C₁?

   • първи признак
   • трети признак
   • втори признак
   • не са еднакви

   Отговор: втори признак

   Вторият признак: страна и двата ъгъла към нея.

6. ΔABC ≅ ΔPQR. Кой ъгъл е равен на ∠C?

   • ∠P
   • ∠Q
   • ∠R
   • ∠A

   Отговор: ∠R

   Върховете се съответстват по реда на записа: C съответства на R.

7. Два триъгълника имат съответно равни ъгли. Следва ли, че са еднакви?

   • да, винаги
   • да, по втория признак
   • не винаги
   • да, по третия признак

   Отговор: не винаги

   Триъгълниците може да са с еднаква форма, но с различна големина. Нужна е поне една равна страна.

8. ΔABC ≅ ΔDEF, ∠A = 50° и ∠E = 70°. Колко градуса е ∠F?

   • 70°
   • 50°
   • 120°
   • 60°

   Отговор: 60°

   ∠D = ∠A = 50°, значи ∠F = 180° − 50° − 70° = 60°.

9. За ΔABC и ΔA₁B₁C₁: AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁ и ∠C = ∠C₁. Еднакви ли са триъгълниците?

   • не
   • само ако са правоъгълни
   • само ако са равнобедрени
   • да

   Отговор: да

   Третите ъгли също са равни (∠B = ∠B₁), значи са еднакви по втори признак.

10. Отсечките AB и CD се пресичат в точка O, която е среда и на двете. Ако AC = 6 cm, колко сантиметра е BD?

    • 3 cm
    • 12 cm
    • 6 cm
    • 9 cm

    Отговор: 6 cm

    AO = BO, CO = DO и ∠AOC = ∠BOD (противоположни). По първия признак ΔAOC ≅ ΔBOD, затова BD = AC.

11. Точките C и D са от различни страни на AB, като AC = AD и BC = BD. Ако ∠ACB = 75°, колко градуса е ∠ADB?

    • 105°
    • 75°
    • 150°
    • 37,5°

    Отговор: 75°

    ΔABC ≅ ΔABD по трети признак (AB е обща), значи ∠ADB = ∠ACB.

12. Отсечките AB и CD са равни и успоредни, а AD и BC се пресичат в точка O. Ако AO = 4 cm, колко е OD?

    • 4 cm
    • 8 cm
    • 2 cm
    • 6 cm

    Отговор: 4 cm

    ΔAOB ≅ ΔDOC по втори признак (AB = CD и кръстни ъгли), значи OD = OA = 4 cm.

13. За ΔABC и ΔA₁B₁C₁ е известно: AB = A₁B₁, BC = B₁C₁ и ∠A = ∠A₁. Следва ли, че триъгълниците са еднакви?

    • да, по първия признак
    • не винаги
    • да, по втория признак
    • да, по третия признак

    Отговор: не винаги

    Равният ъгъл не е между двете равни страни, затова първият признак не може да се приложи.

14. Два правоъгълни триъгълника имат равни хипотенузи и по един равен остър ъгъл. Еднакви ли са?

    • да, винаги
    • не винаги
    • само ако са равнобедрени
    • никога

    Отговор: да, винаги

    Другите остри ъгли също са равни и триъгълниците са еднакви по втори признак.

15. В ΔABC медианата AM е продължена до точка D така, че MD = AM. Ако AB = 7 cm, колко е CD?

    • 3,5 cm
    • 7 cm
    • 14 cm
    • не може да се определи

    Отговор: 7 cm

    ΔABM ≅ ΔDCM (BM = CM, AM = DM, връхни ъгли), значи CD = AB = 7 cm.

Равнобедрен триъгълник

1. Колко градуса е всеки ъгъл на равностранен триъгълник?

   • 60°
   • 90°
   • 45°
   • 180°

   Отговор: 60°

   Трите ъгъла са равни и сборът им е 180°: 180° : 3 = 60°.

2. Как се наричат равните страни на равнобедрения триъгълник?

   • основи
   • катети
   • бедра
   • хипотенузи

   Отговор: бедра

   Равните страни са бедрата, а третата страна е основата.

3. Колко оси на симетрия има равностранният триъгълник?

   • 1
   • 2
   • 3
   • 6

   Отговор: 3

   Всяка от трите височини (медиани) лежи на ос на симетрия.

4. Ъгълът при основата на равнобедрен триъгълник е 52°. Колко градуса е ъгълът при върха?

   • 52°
   • 128°
   • 38°
   • 76°

   Отговор: 76°

   180° − 2·52° = 76°.

5. Бедрото на равнобедрен триъгълник е 8 cm, а основата 5 cm. Колко сантиметра е периметърът?

   • 18 cm
   • 26 cm
   • 13 cm
   • 21 cm

   Отговор: 21 cm

   P = 8 + 8 + 5 = 21 cm.

6. В триъгълник два от ъглите са равни. Какъв е триъгълникът?

   • равнобедрен
   • правоъгълен
   • равностранен
   • тъпоъгълен

   Отговор: равнобедрен

   Срещу равни ъгли лежат равни страни, значи триъгълникът е равнобедрен.

7. Равнобедрен триъгълник има периметър 29 cm и основа 9 cm. Колко сантиметра е бедрото?

   • 20 cm
   • 9,5 cm
   • 11 cm
   • 10 cm

   Отговор: 10 cm

   Двете бедра заедно са 29 − 9 = 20 cm, а всяко е 10 cm.

8. Ъгълът при върха на равнобедрен триъгълник е 3 пъти по-голям от ъгъла при основата. Колко градуса е ъгълът при върха?

   • 108°
   • 36°
   • 72°
   • 90°

   Отговор: 108°

   x + x + 3x = 180°, x = 36°, а ъгълът при върха е 108°.

9. Бедрото на равнобедрен триъгълник е 2 пъти по-голямо от основата, а периметърът е 30 cm. Колко е основата?

   • 5 cm
   • 6 cm
   • 10 cm
   • 12 cm

   Отговор: 6 cm

   x + 2x + 2x = 30, x = 6 cm.

10. В ΔABC AC = BC и ∠C = 36°. Ъглополовящата AL (L е на BC) образува ъгъл ALC. Колко градуса е ∠ALC?

    • 108°
    • 72°
    • 36°
    • 54°

    Отговор: 108°

    ∠A = ∠B = 72°, затова ∠LAC = 36°. В ΔALC: ∠ALC = 180° − 36° − 36° = 108°.

11. В ΔABC AC = BC и ∠A = 40°. Колко градуса е външният ъгъл при върха C?

    • 100°
    • 80°
    • 140°
    • 40°

    Отговор: 80°

    ∠B = ∠A = 40°, а външният ъгъл при C е ∠A + ∠B = 80°.

12. Равнобедрен триъгълник има страни 4 cm и 9 cm. Колко е периметърът му?

    • 17 cm
    • 17 cm или 22 cm
    • 26 cm
    • 22 cm

    Отговор: 22 cm

    Страни 4, 4, 9 не образуват триъгълник (4 + 4 < 9), значи страните са 9, 9, 4 и P = 22 cm.

13. Равнобедрен триъгълник има ъгъл 50°. Колко градуса може да е ъгълът при върха му?

    • само 80°
    • само 50°
    • 50° или 80°
    • 65° или 80°

    Отговор: 50° или 80°

    Ако 50° е при основата, ъгълът при върха е 180° − 100° = 80°. Ако 50° е при върха, отговорът е 50°.

14. В ΔABC AB = AC, а точката D от AC е такава, че AD = BD = BC. Колко градуса е ∠A?

    • 45°
    • 30°
    • 36°
    • 72°

    Отговор: 36°

    Ако ∠A = x, то ∠ABD = x, ∠BDC = 2x = ∠C = ∠B, и x + 2x + 2x = 180°, x = 36°.

15. В ΔABC AC = BC и ∠C = 100°. Точката D от AB е такава, че AD = AC. Колко градуса е ∠BCD?

    • 30°
    • 40°
    • 20°
    • 70°

    Отговор: 30°

    ∠A = 40°. В ΔACD ∠ACD = (180° − 40°) : 2 = 70°, ∠BCD = 100° − 70° = 30°.

Симетрала и разстояния

1. Всяка точка от симетралата на отсечката AB е на равни разстояния от:

   • правата AB
   • средата на AB и A
   • двата края на правата
   • точките A и B

   Отговор: точките A и B

   Симетралата е множеството от точките, равноотдалечени от краищата на отсечката.

2. Как се нарича правата, която минава през средата на отсечка и е перпендикулярна на нея?

   • медиана
   • ъглополовяща
   • симетрала
   • височина

   Отговор: симетрала

   Това е определението на симетрала на отсечка.

3. Ъглополовящите на триъгълник се пресичат в точка, която е на равни разстояния от:

   • трите върха
   • трите страни
   • средите на страните
   • върховете на основата

   Отговор: трите страни

   Всяка точка от ъглополовяща е на равни разстояния от раменете на ъгъла, затова пресечната точка е равноотдалечена от трите страни.

4. Точката M лежи на симетралата на отсечката AB и MA = 7 cm. Колко сантиметра е MB?

   • 3,5 cm
   • 14 cm
   • не може да се определи
   • 7 cm

   Отговор: 7 cm

   Точките от симетралата са на равни разстояния от A и B.

5. Всяка точка от ъглополовящата на ъгъл е на равни разстояния от:

   • върха на ъгъла
   • две точки от раменете
   • средата на едно рамо
   • раменете на ъгъла

   Отговор: раменете на ъгъла

   Разстоянията от точка на ъглополовящата до двете рамена са равни.

6. Точка M е на равни разстояния от краищата на отсечката AB. Къде лежи M?

   • на правата AB
   • на перпендикуляр през A
   • на симетралата на AB
   • на окръжност с център A

   Отговор: на симетралата на AB

   Точките, равноотдалечени от краищата на отсечка, лежат на симетралата ѝ.

7. Точка P лежи на ъглополовящата на ∠AOB и е на разстояние 4 cm от рамото OA. На какво разстояние е P от рамото OB?

   • 8 cm
   • 4 cm
   • 2 cm
   • 16 cm

   Отговор: 4 cm

   Точките от ъглополовящата са на равни разстояния от раменете на ъгъла.

8. Симетралата на страната AB на ΔABC минава през върха C, а AC = 9 cm. Колко сантиметра е BC?

   • 4,5 cm
   • 9 cm
   • 18 cm
   • 3 cm

   Отговор: 9 cm

   C е на симетралата на AB, значи CA = CB.

9. Точка P е от ъглополовящата на ∠AOB, а PA ⊥ OA и PB ⊥ OB (A и B са на рамената). Ако OA = 6 cm, колко е OB?

   • 12 cm
   • 3 cm
   • не може да се определи
   • 6 cm

   Отговор: 6 cm

   ΔOAP ≅ ΔOBP (обща хипотенуза OP и равни остри ъгли), значи OB = OA = 6 cm.

10. Симетралата на страната AB на ΔABC пресича страната AC в точка D. Ако ∠A = 35°, колко градуса е ∠ADB?

    • 70°
    • 145°
    • 35°
    • 110°

    Отговор: 110°

    DA = DB, затова ∠DBA = ∠A = 35°, а ∠ADB = 180° − 70° = 110°.

11. Симетралите на страните на ΔABC се пресичат в точка O и OA = 5 cm. Колко сантиметра е OC?

    • 5 cm
    • 10 cm
    • 2,5 cm
    • не може да се определи

    Отговор: 5 cm

    O е на симетралите, значи е на равни разстояния от трите върха.

12. Симетралите на страните на ΔABC се пресичат в точка O вътре в триъгълника. ∠OAB = 20°, ∠OBC = 30°. Колко градуса е ∠OCA?

    • 40°
    • 30°
    • 50°
    • 20°

    Отговор: 40°

    OA = OB = OC, затова ∠OBA = 20°, ∠OCB = 30°, ∠OAC = ∠OCA = x. 2(20° + 30° + x) = 180°, x = 40°.

13. Симетралата на страната BC на ΔABC минава през върха A, а ∠B = 65°. Колко градуса е ∠BAC?

    • 65°
    • 50°
    • 25°
    • 115°

    Отговор: 50°

    A е от симетралата на BC, затова AB = AC и ∠C = ∠B = 65°. Тогава ∠A = 180° − 130° = 50°.

14. Симетралата на страната AC на ΔABC пресича страната BC в точка M. Периметърът на ΔABM е 20 cm, а AC = 8 cm. Колко сантиметра е периметърът на ΔABC?

    • 28 cm
    • 20 cm
    • 36 cm
    • 12 cm

    Отговор: 28 cm

    MA = MC, значи P(ABM) = AB + BM + MC = AB + BC = 20 cm, а P(ABC) = 20 + 8 = 28 cm.

15. В ΔABC ∠C = 90°. Къде лежи точката, равноотдалечена от трите върха?

    • във върха C
    • в средата на AC
    • в средата на хипотенузата
    • вътре в триъгълника

    Отговор: в средата на хипотенузата

    Медианата към хипотенузата е половината от нея, затова средата на AB е на равни разстояния от A, B и C.

Правоъгълен триъгълник

1. На какво е равен катетът срещу ъгъл 30° в правоъгълен триъгълник?

   • на другия катет
   • на удвоената хипотенуза
   • на половината от хипотенузата
   • на третината от хипотенузата

   Отговор: на половината от хипотенузата

   Това е свойство на правоъгълния триъгълник с ъгъл 30°.

2. Как се нарича страната срещу правия ъгъл в правоъгълен триъгълник?

   • катет
   • основа
   • бедро
   • хипотенуза

   Отговор: хипотенуза

   Срещу правия ъгъл лежи хипотенузата, а другите две страни са катети.

3. Как се наричат страните, които образуват правия ъгъл?

   • бедра
   • катети
   • основи
   • медиани

   Отговор: катети

   Страните до правия ъгъл са катети, а срещу него е хипотенузата.

4. Медианата към хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 6,5 cm. Колко сантиметра е хипотенузата?

   • 13 cm
   • 6,5 cm
   • 3,25 cm
   • 26 cm

   Отговор: 13 cm

   Медианата към хипотенузата е равна на половината от хипотенузата: 2·6,5 = 13 cm.

5. На какво е равна медианата към хипотенузата в правоъгълен триъгълник?

   • на хипотенузата
   • на по-малкия катет
   • на половината от хипотенузата
   • на половината от катет

   Отговор: на половината от хипотенузата

   Средата на хипотенузата е на равни разстояния от трите върха.

6. В правоъгълен триъгълник единият катет е половината от хипотенузата. Колко градуса е ъгълът срещу този катет?

   • 30°
   • 45°
   • 60°
   • 90°

   Отговор: 30°

   Обратната теорема: ако катет е половината от хипотенузата, срещулежащият му ъгъл е 30°.

7. В ΔABC ∠C = 90°, ∠B = 60° и BC = 5 cm. Колко сантиметра е AB?

   • 5 cm
   • 2,5 cm
   • 10 cm
   • 15 cm

   Отговор: 10 cm

   ∠A = 30°, а BC е срещу него: AB = 2·BC = 10 cm.

8. В ΔABC ∠C = 90°, CM е медиана и CM = AC. Колко градуса е ∠A?

   • 30°
   • 60°
   • 45°
   • 90°

   Отговор: 60°

   CM = AM = AC, значи ΔAMC е равностранен и ∠A = 60°.

9. В ΔABC ∠C = 90°, ∠A = 35°, а CM е медиана. Колко градуса е ∠BCM?

   • 35°
   • 45°
   • 55°
   • 70°

   Отговор: 55°

   CM = MB, затова ∠BCM = ∠B = 90° − 35° = 55°.

10. В ΔABC ∠C = 90°, ∠A = 40°, CM е медиана, а CH е височина. Колко градуса е ∠MCH?

    • 20°
    • 40°
    • 50°
    • 10°

    Отговор: 10°

    MC = MA, затова ∠MCA = 40°. От ΔACH: ∠ACH = 50°. Тогава ∠MCH = 50° − 40° = 10°.

11. В ΔABC ∠C = 90°, ∠A = 30°, а височината CH = 4 cm. Колко сантиметра е AC?

    • 4 cm
    • 8 cm
    • 2 cm
    • 16 cm

    Отговор: 8 cm

    В правоъгълния ΔAHC катетът CH лежи срещу ъгъл 30°, значи AC = 2·CH = 8 cm.

12. В ΔABC ∠C = 90°, ∠A = 30°, а медианата CM = 5 cm. Колко е BC?

    • 5 cm
    • 10 cm
    • 2,5 cm
    • 7,5 cm

    Отговор: 5 cm

    AB = 2CM = 10 cm, а BC е срещу ъгъл 30°, значи BC = 10 : 2 = 5 cm.

13. В ΔABC ∠C = 90°, ∠A = 30°, CH е височина и BH = 2 cm. Колко сантиметра е AB?

    • 8 cm
    • 6 cm
    • 4 cm
    • 12 cm

    Отговор: 8 cm

    ∠B = 60°, затова ∠BCH = 30° и BC = 2·BH = 4 cm. Тогава AB = 2·BC = 8 cm.

14. В ΔABC ∠C = 90°, ∠A = 30°, а ъглополовящата BL = 6 cm (L е на AC). Колко сантиметра е AC?

    • 9 cm
    • 12 cm
    • 6 cm
    • 8 cm

    Отговор: 9 cm

    ∠ABL = 30° = ∠A, значи AL = BL = 6 cm. В ΔBCL ∠CBL = 30°, значи CL = 3 cm и AC = 9 cm.

15. В ΔABC ∠C = 90°, ∠A = 15°, а медианата CM = 6 cm. Колко е височината CH?

    • 6 cm
    • 2 cm
    • 4 cm
    • 3 cm

    Отговор: 3 cm

    AM = CM, затова ∠CMB = 2 · 15° = 30°. В ΔCHM CH е срещу 30°: CH = 6 : 2 = 3 cm.

Височина и медиана

1. Височината към основата на равнобедрен триъгълник е също и:

   • само медиана
   • медиана и ъглополовяща
   • само ъглополовяща
   • симетрала на бедрото

   Отговор: медиана и ъглополовяща

   В равнобедрения триъгълник височината, медианата и ъглополовящата към основата съвпадат.

2. Как се нарича отсечката от връх на триъгълник до средата на срещуположната страна?

   • височина
   • ъглополовяща
   • симетрала
   • медиана

   Отговор: медиана

   Медианата свързва връх със средата на срещуположната страна.

3. Колко височини има всеки триъгълник?

   • 1
   • 2
   • 3
   • 6

   Отговор: 3

   От всеки от трите върха се спуска по една височина.

4. В ΔABC AC = BC, CH е височина и AB = 12 cm. Колко сантиметра е AH?

   • 12 cm
   • 6 cm
   • 3 cm
   • 24 cm

   Отговор: 6 cm

   Височината към основата е и медиана: AH = AB : 2 = 6 cm.

5. В ΔABC AM е медиана и BC = 14 cm. Колко сантиметра е BM?

   • 14 cm
   • 28 cm
   • 7 cm
   • 3,5 cm

   Отговор: 7 cm

   M е среда на BC, значи BM = 14 : 2 = 7 cm.

6. Къде се пресичат правите, върху които лежат височините на тъпоъгълен триъгълник?

   • вътре в триъгълника
   • извън триъгълника
   • на най-голямата страна
   • във върха на тъпия ъгъл

   Отговор: извън триъгълника

   При тъпоъгълен триъгълник две от височините са извън него, затова пресечната точка е извън триъгълника.

7. В ΔABC AC = BC, CM е медиана и ∠ACB = 80°. Колко градуса е ∠ACM?

   • 80°
   • 50°
   • 40°
   • 20°

   Отговор: 40°

   Медианата към основата е и ъглополовяща: 80° : 2 = 40°.

8. Къде се пресичат височините на правоъгълен триъгълник?

   • в средата на хипотенузата
   • вътре в триъгълника
   • във върха на правия ъгъл
   • извън триъгълника

   Отговор: във върха на правия ъгъл

   Двата катета са височини и се пресичат във върха на правия ъгъл.

9. В ΔABC височината CH е и медиана. Ако AC = 9 cm, колко е BC?

   • 9 cm
   • 4,5 cm
   • 18 cm
   • не може да се определи

   Отговор: 9 cm

   ΔACH ≅ ΔBCH (общ катет CH и AH = BH), значи BC = AC = 9 cm.

10. От точка извън права са спуснати перпендикуляр и наклонена към правата. Кое е вярно?

    • перпендикулярът е по-къс от наклонената
    • наклонената е по-къса
    • двете са равни
    • зависи от точката

    Отговор: перпендикулярът е по-къс от наклонената

    Перпендикулярът е катет, а наклонената е хипотенуза в правоъгълен триъгълник.

11. В равностранен ΔABC медианата AM и височината BH се пресичат в точка O. Колко градуса е ∠AOB?

    • 120°
    • 90°
    • 60°
    • 150°

    Отговор: 120°

    Медианите са и ъглополовящи: ∠OAB = ∠OBA = 30°, значи ∠AOB = 120°.

12. В ΔABC AB = AC и ∠A = 40°. BH е височина (H е на AC). Колко градуса е ∠HBC?

    • 50°
    • 30°
    • 40°
    • 20°

    Отговор: 20°

    ∠C = (180° − 40°) : 2 = 70°, в ΔBHC ∠HBC = 90° − 70° = 20°.

13. В ΔABC AC = BC, ∠C = 120°, а височината CH = 4 cm. Колко сантиметра е AC?

    • 8 cm
    • 4 cm
    • 2 cm
    • 12 cm

    Отговор: 8 cm

    ∠A = 30°, а в правоъгълния ΔAHC катетът CH е срещу ъгъла от 30°: AC = 2·CH = 8 cm.

14. В ΔABC AB = AC, AM е медиана и ∠BAM = 25°. Колко градуса е ∠ACB?

    • 50°
    • 25°
    • 75°
    • 65°

    Отговор: 65°

    Медианата към основата е и ъглополовяща: ∠A = 50°, а ∠C = (180° − 50°) : 2 = 65°.

15. В ΔABC медианата CM е равна на половината от AB. Колко градуса е ∠ACB?

    • 60°
    • 90°
    • 120°
    • не може да се определи

    Отговор: 90°

    MA = MB = MC, затова ∠A = ∠ACM и ∠B = ∠BCM. Тогава ∠C = ∠A + ∠B и 2∠C = 180°, ∠C = 90°.

Финален въпрос