Моделиране с квадратни уравнения
Много задачи от геометрията, физиката и ежедневието водят до квадратно уравнение. Означаваме неизвестната величина с x, съставяме уравнение по условието и го решаваме. Накрая проверяваме кои корени имат смисъл: дължина и време не могат да са отрицателни, а броят на хора или предмети трябва да е естествено число.
Какво да запомним
- Стъпки: означаване, съставяне на уравнение, решаване, проверка, отговор.
- Лице на правоъгълник: S = a·b; лице на квадрат: S = a2.
- Две последователни естествени числа: n и n + 1.
- Отхвърляме корените, които нямат смисъл в задачата.
Пример
Страната на квадрат е увеличена с 3 cm и лицето му е станало 64 cm2: (x + 3)2 = 64, x + 3 = 8, x = 5 cm (x + 3 = −8 отпада).
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Квадрат има лице 81 cm2. Колко е страната му?
- 18 cm
- 9 cm
- 40,5 cm
- 81 cm
Отговор: 9 cm
x2 = 81 и x > 0, затова x = 9 cm.
Произведението на две последователни естествени числа е 72. Кое е по-малкото число?
- 9
- 6
- 8
- 12
Отговор: 8
n(n + 1) = 72, n2 + n − 72 = 0, n = 8 (n = −9 отпада).
Правоъгълник има лице 60 cm2, а едната му страна е с 4 cm по-дълга от другата. Колко е по-късата страна?
- 6 cm
- 10 cm
- 5 cm
- 4 cm
Отговор: 6 cm
x(x + 4) = 60, x2 + 4x − 60 = 0, x = 6 (x = −10 отпада).
Тяло е хвърлено вертикално нагоре и височината му след t секунди е h = 20t − 5t2 метра. След колко секунди пада на земята?
- 2 s
- 5 s
- 20 s
- 4 s
Отговор: 4 s
20t − 5t2 = 0 ⇒ 5t(4 − t) = 0, t = 4 s (t = 0 е моментът на хвърлянето).
В турнир всеки участник играе по една партия с всеки от останалите. Изиграни са 45 партии. Колко са участниците?
- 9
- 10
- 15
- 45
Отговор: 10
n(n − 1)/2 = 45, n2 − n − 90 = 0, n = 10 (n = −9 отпада).
Квадратът на едно положително число е 144. Кое е числото?
- 12
- 72
- 14
- −12
Отговор: 12
x2 = 144, x = 12 (−12 не е положително).
Квадрат има лице 49 cm2. Колко е периметърът му?
- 7 cm
- 49 cm
- 14 cm
- 28 cm
Отговор: 28 cm
a2 = 49, a = 7 cm, P = 4 · 7 = 28 cm.
Сборът на едно положително число и неговия квадрат е 30. Кое е числото?
- 6
- 15
- 5
- 3
Отговор: 5
x2 + x − 30 = 0, x = 5 или x = −6; положителното е 5.
Правоъгълник има периметър 26 cm и лице 40 cm2. Колко е по-дългата му страна?
- 5 cm
- 8 cm
- 10 cm
- 13 cm
Отговор: 8 cm
a + b = 13 и ab = 40: x2 − 13x + 40 = 0, x = 8 или x = 5.
Произведението на две последователни четни естествени числа е 168. Кое е по-голямото?
- 14
- 12
- 16
- 13
Отговор: 14
x(x + 2) = 168, x2 + 2x − 168 = 0, x = 12, по-голямото е 14.
Катетите на правоъгълен триъгълник се различават със 7 cm, а хипотенузата е 13 cm. Колко е по-малкият катет?
- 12 cm
- 7 cm
- 3 cm
- 5 cm
Отговор: 5 cm
x2 + (x + 7)2 = 169 ⇒ x2 + 7x − 60 = 0 ⇒ x = 5 (x = −12 отпада).
Камък пада от височина 45 m и височината му след t секунди е h = 45 − 5t2 метра. След колко секунди пада на земята?
- 9 s
- 4,5 s
- 3 s
- 5 s
Отговор: 3 s
45 − 5t2 = 0, t2 = 9, t = 3 s (t = −3 отпада).
Изпъкнал многоъгълник има 27 диагонала (броят на диагоналите е n(n − 3)/2). Колко страни има той?
- 27
- 9
- 6
- 12
Отговор: 9
n(n − 3) = 54, n2 − 3n − 54 = 0, n = 9 (n = −6 отпада).
Цената на стока е увеличена два пъти с по p% и от 100 евро е станала 121 евро. Колко е p?
- 10%
- 21%
- 11%
- 10,5%
Отговор: 10%
100(1 + p/100)2 = 121, 1 + p/100 = 1,1, p = 10.
Сборът на квадратите на две последователни естествени числа е 85. Кое е по-голямото число?
- 6
- 9
- 8
- 7
Отговор: 7
n2 + (n + 1)2 = 85 ⇒ n2 + n − 42 = 0 ⇒ n = 6, по-голямото е 7.