ТърсиУченик? Влез с код30 дни безплатноБезплатно
Класове
Начален етап
Прогимназиален етап
Гимназиален етап
Всички игриНВО и матуриЦениСтатииВидеоЗа родителиЗа училищаВход за учителиУченик? Влез с код
Математика · 8 клас · урок 7 от 8

Формули на Виет

Формулите на Виет свързват корените на квадратното уравнение с неговите коефициенти. Ако x1 и x2 са корените на ax2 + bx + c = 0, то x1 + x2 = −b/a и x1·x2 = c/a. При приведеното уравнение x2 + px + q = 0 сборът е −p, а произведението е q. С тях отгатваме корени, съставяме уравнение по дадени корени и пресмятаме изрази от корените, без да решаваме уравнението.

Играйте само този урок:Вярно или невярноТаблоБомбаНадбягванеОтборен тест А/Б/В/ГГорещ стол

Работен лист за печат

Какво да запомним

  • x1 + x2 = −b/a и x1·x2 = c/a.
  • За x2 + px + q = 0: x1 + x2 = −p, x1·x2 = q.
  • Уравнение с корени x1 и x2: x2 − (x1 + x2)x + x1x2 = 0.
  • x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1x2.
  • Ако c/a < 0, корените са с различни знаци.

Пример

x2 − 7x + 10 = 0: сборът на корените е 7, а произведението е 10, значи корените са 2 и 5.

Проверете се: 15 въпроса

Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.

  1. На колко е равен сборът на корените на уравнението x2 − 9x + 14 = 0?
    • −9
    • 9
    • 14
    • −14

    Отговор: 9

    По Виет x1 + x2 = −b/a = 9.

  2. Единият корен на уравнението x2 + px − 12 = 0 е 3. Намерете другия корен.
    • −4
    • 4
    • −9
    • 9

    Отговор: −4

    По Виет x1·x2 = −12, затова другият корен е −12 : 3 = −4.

  3. x1 и x2 са корените на x2 − 5x + 3 = 0. Намерете x12 + x22.
    • 25
    • 31
    • 22
    • 19

    Отговор: 19

    x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 25 − 6 = 19.

  4. Кое квадратно уравнение има корени 2 и −7?
    • x2 − 5x − 14 = 0
    • x2 + 5x + 14 = 0
    • x2 + 5x − 14 = 0
    • x2 − 9x − 14 = 0

    Отговор: x2 + 5x − 14 = 0

    Сборът е −5, а произведението е −14: x2 − (−5)x + (−14) = x2 + 5x − 14.

  5. За коя стойност на m единият корен на x2 − 6x + m = 0 е два пъти по-голям от другия?
    • m = 9
    • m = 8
    • m = 4
    • m = 12

    Отговор: m = 8

    Нека корените са t и 2t. Тогава 3t = 6, t = 2, а m = 2·4 = 8.

  6. На колко е равно произведението на корените на уравнението x2 + 3x − 10 = 0?
    • 3
    • −3
    • −10
    • 10

    Отговор: −10

    По Виет x1·x2 = c/a = −10.

  7. На колко е равен сборът на корените на уравнението 2x2 − 8x + 3 = 0?
    • 4
    • 8
    • −4
    • 3/2

    Отговор: 4

    x1 + x2 = −b/a = 8/2 = 4.

  8. Без да решавате уравнението x2 − 5x − 6 = 0, определете знаците на корените му.
    • двата корена са положителни
    • двата корена са отрицателни
    • няма реални корени
    • корените са с различни знаци

    Отговор: корените са с различни знаци

    x1·x2 = −6 < 0, затова корените са с различни знаци (те са 6 и −1).

  9. x1 и x2 са корените на уравнението x2 − 6x + 4 = 0. Намерете 1/x1 + 1/x2.
    • 2/3
    • 3/2
    • −3/2
    • 6

    Отговор: 3/2

    1/x1 + 1/x2 = (x1 + x2)/(x1·x2) = 6/4 = 3/2.

  10. x1 и x2 са корените на уравнението x2 + 3x − 5 = 0. Намерете x12x2 + x1x22.
    • −15
    • 15
    • 8
    • −8

    Отговор: 15

    x12x2 + x1x22 = x1x2(x1 + x2) = (−5)·(−3) = 15.

  11. На колко е равно произведението на корените на уравнението x2 − 4x − 21 = 0?
    • −21
    • 21
    • 4
    • −4

    Отговор: −21

    За x2 + px + q = 0 произведението е q = −21.

  12. Отгатнете корените на уравнението x2 − 8x + 15 = 0.
    • −3 и −5
    • 1 и 15
    • 2 и 6
    • 3 и 5

    Отговор: 3 и 5

    Сборът е 8, произведението е 15, затова корените са 3 и 5.

  13. Корените на уравнението x2 + px + q = 0 са −2 и −6. Намерете p.
    • p = −8
    • p = 12
    • p = 8
    • p = −12

    Отговор: p = 8

    x1 + x2 = −p, т.е. −8 = −p и p = 8.

  14. x1 и x2 са корените на x2 − 4x − 1 = 0. Намерете (x1 − x2)2.
    • 12
    • 16
    • 20
    • 18

    Отговор: 20

    (x1 − x2)2 = (x1 + x2)2 − 4x1x2 = 16 + 4 = 20.

  15. x1 и x2 са корените на x2 − 3x − 2 = 0. Намерете x13 + x23.
    • 45
    • 27
    • 9
    • 33

    Отговор: 45

    x13 + x23 = (x1 + x2)3 − 3x1x2(x1 + x2) = 27 − 3 · (−2) · 3 = 45.