Как да се упражни урокът у дома?

Прочетете обяснението и ключовите неща, после отговорете на въпросите по-долу. За повече упражнения отворете темата „Квадратни уравнения“ и изберете игра или режим „У дома“.

Математика · 8 клас · урок 5 от 8

Биквадратни уравнения

Биквадратно уравнение е уравнение от вида ax⁴ + bx² + c = 0, където a ≠ 0. Решава се с полагане x² = t, при което се получава квадратното уравнение at² + bt + c = 0. След това за всеки неотрицателен корен t решаваме x² = t. Отрицателните стойности на t не дават реални корени, затова биквадратното уравнение може да има от 0 до 4 реални корена.

Играйте само този урок:Вярно или невярно Табло Бомба Надбягване Отборен тест А/Б/В/Г Горещ стол

Работен лист за печат

Какво да запомним

Вид: ax⁴ + bx² + c = 0, a ≠ 0.
Полагаме x² = t, като t ≥ 0.
При t > 0: x = ±√t; при t = 0: x = 0; при t < 0 няма реални корени.
Броят на реалните корени е 0, 1, 2, 3 или 4.

Пример

x⁴ − 13x² + 36 = 0: t² − 13t + 36 = 0, t = 4 или t = 9, затова x = ±2 и x = ±3.

Проверете се: 15 въпроса

Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.

Кое от уравненията е биквадратно?
- x³ − 5x + 4 = 0
- x⁴ − 5x³ + 4 = 0
- x⁴ − 5x² + 4 = 0
- x² − 5x + 4 = 0
Отговор: x⁴ − 5x² + 4 = 0
Биквадратното уравнение има вида ax⁴ + bx² + c = 0.
Решете уравнението x⁴ − 5x² + 4 = 0.
- x = 1 и x = 4
- x = ±1 и x = ±2
- x = ±1
- x = ±2 и x = ±4
Отговор: x = ±1 и x = ±2
t = x²: t² − 5t + 4 = 0, t = 1 или t = 4, откъдето x = ±1 или x = ±2.
Колко реални корена има уравнението x⁴ − 3x² − 4 = 0?
- 2
- 4
- 0
- 1
Отговор: 2
t² − 3t − 4 = 0 дава t = 4 или t = −1. Само x² = 4 има решения: x = ±2.
С кое полагане уравнението x⁴ − 13x² + 36 = 0 се свежда до квадратно?
- x⁴ = t
- x = t²
- 2x = t
- x² = t
Отговор: x² = t
Полагаме x² = t и получаваме t² − 13t + 36 = 0.
Решете уравнението x⁴ − 16 = 0.
- x = ±2
- x = ±4
- x = 2
- x = ±8
Отговор: x = ±2
x⁴ = 16, т.е. x² = 4 (x² = −4 е невъзможно), откъдето x = ±2.
Колко реални корена има уравнението x⁴ + 5x² + 6 = 0?
- 2
- 4
- 0
- 1
Отговор: 0
При x² = t: t² + 5t + 6 = 0, t = −2 или t = −3. И двете са отрицателни, затова няма реални корени.
Колко най-много реални корена може да има биквадратно уравнение?
- 2
- 4
- 3
- 8
Отговор: 4
Всеки положителен корен t дава два корена ±√t, а t е най-много 2, затова корените са най-много 4.
Решете уравнението x⁴ = 81.
- x = 3
- x = ±9
- x = ±27
- x = ±3
Отговор: x = ±3
x² = 9 (x² = −9 няма корени), затова x = ±3.
След полагането x² = t се получават t = −4 и t = 25. Кои са реалните корени на уравнението?
- x = ±5 и x = ±2
- x = 5
- x = ±5
- x = ±25
Отговор: x = ±5
t = −4 не дава корени (x² ≥ 0), а x² = 25 дава x = ±5.
Решете уравнението x⁴ − 10x² + 9 = 0.
- x = 1 и x = 9
- x = ±1 и x = ±3
- x = ±1 и x = ±9
- x = ±3
Отговор: x = ±1 и x = ±3
t² − 10t + 9 = 0, t = 1 или t = 9, затова x = ±1 и x = ±3.
Колко реални корена има уравнението x⁴ − 4x² = 0?
- 3
- 4
- 2
- 1
Отговор: 3
x²(x² − 4) = 0: x = 0, x = 2 и x = −2.
Решете уравнението x⁴ − 2x² − 3 = 0.
- x = ±√3 и x = ±1
- x = ±3
- x = ±1
- x = ±√3
Отговор: x = ±√3
t² − 2t − 3 = 0, t = 3 или t = −1 (отпада), затова x = ±√3.
Решете уравнението 4x⁴ − 5x² + 1 = 0.
- x = ±1 и x = ±1/4
- x = 1 и x = 1/4
- x = ±1 и x = ±1/2
- x = ±2 и x = ±1
Отговор: x = ±1 и x = ±1/2
4t² − 5t + 1 = 0, t = 1 или t = 1/4, затова x = ±1 и x = ±1/2.
Намерете произведението на всички реални корени на x⁴ − 29x² + 100 = 0.
- −100
- 100
- 29
- 0
Отговор: 100
t = 4 или t = 25, корените са ±2 и ±5: 2 · (−2) · 5 · (−5) = 100.
За кои стойности на a уравнението x⁴ − a = 0 има точно два реални корена?
- a > 0
- a < 0
- a = 0
- a ≥ 0
Отговор: a > 0
x⁴ = a. При a > 0 x² = √a и x = ±⁴√a (два корена), при a = 0 един корен, при a < 0 няма.