Решаване на правоъгълен триъгълник
Да решим правоъгълен триъгълник означава по дадени елементи да намерим останалите: страни, височина към хипотенузата, проекции, лице, радиуси на вписаната и описаната окръжност. Комбинираме теоремата на Питагор, метричните зависимости и формулите за лице. Полезно е да помним, че центърът на описаната окръжност е средата на хипотенузата.
Какво да запомним
- S = a · b/2 = c · hc/2.
- Радиус на описаната окръжност: R = c/2.
- Радиус на вписаната окръжност: r = (a + b − c)/2.
- Проекции: p = a2/c и q = b2/c.
Пример
Катети 5 cm и 12 cm: хипотенузата е 13 cm, R = 6,5 cm, а r = (5 + 12 − 13)/2 = 2 cm.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Катетите на правоъгълен триъгълник са 9 cm и 12 cm. Колко е радиусът на описаната около него окръжност?
- 15 cm
- 6 cm
- 10,5 cm
- 7,5 cm
Отговор: 7,5 cm
Хипотенузата е 15 cm и е диаметър на описаната окръжност, затова R = 7,5 cm.
Проекциите на катетите на правоъгълен триъгълник върху хипотенузата са 1,8 cm и 3,2 cm. Колко е лицето на триъгълника?
- 6 cm2
- 12 cm2
- 5,76 cm2
- 7,5 cm2
Отговор: 6 cm2
Хипотенузата е 5 cm, височината е √(1,8 · 3,2) = 2,4 cm, лицето е 5 · 2,4 : 2 = 6 cm2.
Катетите на правоъгълен триъгълник са 5 cm и 12 cm. Колко е радиусът на вписаната в него окръжност?
- 3 cm
- 6,5 cm
- 2 cm
- 4 cm
Отговор: 2 cm
Хипотенузата е 13 cm, лицето е 30 cm2, полупериметърът е 15 cm, r = 30 : 15 = 2 cm.
Диагоналът на правоъгълник е 13 cm, а едната му страна е 5 cm. Колко е лицето му?
- 65 cm2
- 60 cm2
- 30 cm2
- 78 cm2
Отговор: 60 cm2
Другата страна е √(169 − 25) = 12 cm, лицето е 5 · 12 = 60 cm2.
Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 25 cm, а единият катет е 7 cm. Колко е лицето му?
- 168 cm2
- 87,5 cm2
- 96 cm2
- 84 cm2
Отговор: 84 cm2
Другият катет е √(625 − 49) = 24 cm, а лицето е 7 · 24/2 = 84 cm2.
Къде е центърът на описаната около правоъгълен триъгълник окръжност?
- върхът на правия ъгъл
- средата на катет
- средата на хипотенузата
- вън от триъгълника
Отговор: средата на хипотенузата
Хипотенузата е диаметър на описаната окръжност, затова центърът е в средата ѝ.
Катетите на правоъгълен триъгълник са 4 cm и 7 cm. Колко е лицето му?
- 14 cm2
- 28 cm2
- 11 cm2
- 22 cm2
Отговор: 14 cm2
S = a · b/2 = 4 · 7/2 = 14 cm2.
Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 18 cm. Колко е радиусът на описаната окръжност?
- 18 cm
- 36 cm
- 6 cm
- 9 cm
Отговор: 9 cm
R = c/2 = 9 cm.
Правоъгълен триъгълник има хипотенуза 10 cm и височина към нея 4 cm. Колко е лицето му?
- 40 cm2
- 20 cm2
- 14 cm2
- 10 cm2
Отговор: 20 cm2
S = c · hc/2 = 10 · 4/2 = 20 cm2.
Катетите на правоъгълен триъгълник са 8 cm и 15 cm. Колко е хипотенузата?
- 23 cm
- 17 cm
- 13 cm
- 289 cm
Отговор: 17 cm
c = √(64 + 225) = √289 = 17 cm.
Радиусите на описаната и вписаната окръжност на правоъгълен триъгълник са 5 cm и 2 cm. Колко е сборът на катетите?
- 12 cm
- 7 cm
- 10 cm
- 14 cm
Отговор: 14 cm
c = 2R = 10 cm, r = (a + b − c)/2, затова a + b = 2r + c = 14 cm.
Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 10 cm, а лицето му е 24 cm2. Колко е височината към хипотенузата?
- 4,8 cm
- 2,4 cm
- 9,6 cm
- 6 cm
Отговор: 4,8 cm
hc = 2S/c = 48/10 = 4,8 cm.
Периметърът на правоъгълен триъгълник е 30 cm, а хипотенузата е 13 cm. Колко е лицето му?
- 60 cm2
- 65 cm2
- 30 cm2
- 34 cm2
Отговор: 30 cm2
a + b = 17, a2 + b2 = 169, 2ab = 289 − 169 = 120, S = ab/2 = 30 cm2.
Проекциите на катетите на правоъгълен триъгълник върху хипотенузата са 4 cm и 9 cm. Колко е по-малкият катет?
- 6 cm
- 3√13 cm
- 2√13 cm
- 4 cm
Отговор: 2√13 cm
c = 13 cm, a2 = c · p = 13 · 4 = 52, a = 2√13 cm.
Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 25 cm, а височината към нея е 12 cm. Колко е по-малкият катет?
- 15 cm
- 20 cm
- 9 cm
- 12 cm
Отговор: 15 cm
p + q = 25, p · q = 144, проекциите са 9 и 16. a2 = 25 · 9 = 225, a = 15 cm.