Моделиране с дробни уравнения
Задачите за съвместна работа, движение и дроби често водят до дробни уравнения. Ако работа се свършва за t дни, за един ден се свършва 1/t от нея. Времето при движение е t = s/v, затова неизвестна скорост се появява в знаменател. Съставяме уравнението, решаваме го и проверяваме дали отговорът има смисъл в задачата.
Какво да запомним
- Производителност: за единица време се свършва 1/t от работата.
- Заедно: 1/t1 + 1/t2 = 1/t.
- Време при движение: t = s/v.
- Отхвърляме отрицателни времена, скорости и недопустими корени.
Пример
Двама работници заедно свършват работа за 6 дни, а първият сам за 10 дни: 1/10 + 1/x = 1/6, откъдето x = 15 дни.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Двама работници заедно завършват работа за 6 дни. Първият сам би я завършил за 10 дни. За колко дни би я завършил вторият сам?
- 4
- 16
- 8
- 15
Отговор: 15
За един ден вторият върши 1/6 − 1/10 = 1/15 от работата, т.е. сам би я свършил за 15 дни.
Числителят на една дроб е с 3 по-малък от знаменателя. Ако към числителя и към знаменателя се прибави 1, се получава 1/2. Коя е дробта?
- 1/4
- 2/5
- 5/8
- 4/7
Отговор: 2/5
Нека дробта е n/(n + 3). (n + 1)/(n + 4) = 1/2 води до 2n + 2 = n + 4, т.е. n = 2 и дробта е 2/5.
Влак изминава 240 km със скорост v km/h. Кой израз дава времето за пътуването в часове?
- 240v
- v/240
- 240/v
- 240 − v
Отговор: 240/v
Времето е път, разделен на скорост: t = 240/v.
Една тръба пълни басейн за 4 h, а друга за 12 h. За колко часа ще го напълнят двете заедно?
- 3 h
- 8 h
- 16 h
- 6 h
Отговор: 3 h
1/4 + 1/12 = 4/12 = 1/3, значи заедно пълнят басейна за 3 h.
Велосипедист изминава 60 km. Ако скоростта му беше с 5 km/h по-голяма, щеше да пристигне 1 h по-рано. Колко е скоростта му?
- 10 km/h
- 12 km/h
- 20 km/h
- 15 km/h
Отговор: 15 km/h
60/v − 60/(v + 5) = 1 ⇒ v2 + 5v − 300 = 0 ⇒ v = 15 (v = −20 отпада).
Работник свършва цялата работа за 5 дни. Каква част от нея свършва за 1 ден?
- 1/5
- 5
- 1/4
- 4/5
Отговор: 1/5
За един ден се свършва 1/t от работата: 1/5.
Кола изминава s km за 3 часа. Каква е скоростта ѝ?
- 3s km/h
- 3/s km/h
- s + 3 km/h
- s/3 km/h
Отговор: s/3 km/h
v = s/t = s/3.
Кран пълни резервоар за x часа. Каква част от резервоара напълва за 2 часа?
- x/2
- 1/x
- 2/x
- 2x
Отговор: 2/x
За 1 час кранът пълни 1/x, а за 2 часа 2/x.
Двама работници свършват за един ден съответно 1/4 и 1/6 от работата. Каква част свършват заедно за един ден?
- 1/10
- 5/12
- 2/10
- 1/24
Отговор: 5/12
1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12.
Лодка има собствена скорост v km/h, а течението е 2 km/h. Кой израз дава времето за 30 km по течението?
- 30/(v + 2) h
- 30/(v − 2) h
- 30/v + 2 h
- (v + 2)/30 h
Отговор: 30/(v + 2) h
По течението скоростта е v + 2, а t = s/v = 30/(v + 2).
Единият работник свършва работа за 3 дни, а другият за 6 дни. За колко дни ще я свършат заедно?
- 4,5 дни
- 9 дни
- 3 дни
- 2 дни
Отговор: 2 дни
1/3 + 1/6 = 1/2 от работата на ден, затова заедно за 2 дни.
Сборът на едно число и реципрочното му е 5/2. Кое може да е числото?
- само 2
- 5 или 1/5
- 2 или 1/2
- 5/2
Отговор: 2 или 1/2
x + 1/x = 5/2 ⇒ 2x2 − 5x + 2 = 0 ⇒ x = 2 или x = 1/2.
Една тръба пълни басейн за 6 часа, а друга го изпразва за 9 часа. Ако са пуснати едновременно, за колко часа ще се напълни празният басейн?
- 3,6 h
- 18 h
- 15 h
- 3 h
Отговор: 18 h
За час се пълни 1/6 − 1/9 = 3/18 − 2/18 = 1/18, затова за 18 часа.
Моторна лодка изминава 24 km по течението и 24 km срещу течението за общо 5 часа. Течението е 2 km/h. Колко е собствената скорост на лодката?
- 10 km/h
- 12 km/h
- 8 km/h
- 14 km/h
Отговор: 10 km/h
24/(v + 2) + 24/(v − 2) = 5 ⇒ 5v2 − 48v − 20 = 0 ⇒ v = 10 (отрицателният корен отпада).
Първият работник свършва работа с 4 дни по-бързо от втория, а заедно я свършват за 3,75 дни. За колко дни я свършва първият сам?
- 10 дни
- 4 дни
- 7,5 дни
- 6 дни
Отговор: 6 дни
1/x + 1/(x + 4) = 4/15 ⇒ 2x2 − 7x − 30 = 0 ⇒ x = 6 (другият корен е отрицателен).