Рационални изрази

Дефиниционно множество

1. При коя стойност на x дробта 5/(x − 4) НЕ е определена?

   • x = −4
   • x = 5
   • x = 0
   • x = 4

   Отговор: x = 4

   Знаменателят не може да е 0: x − 4 = 0 при x = 4.

2. На какво НЕ може да е равен знаменателят на една дроб?

   • на отрицателно число
   • на единица
   • на нула
   • на дроб

   Отговор: на нула

   Делението на нула не е определено, затова знаменателят не може да е 0.

3. Кой от изразите е цял (няма променлива в знаменател)?

   • 3/(x + 1)
   • 1/x
   • (x + 1)/3
   • x/(x − 1)

   Отговор: (x + 1)/3

   В (x + 1)/3 делим на числото 3, затова изразът е цял.

4. Намерете допустимите стойности на израза (x + 1)/(x² − 25).

   • x ≠ 5
   • x ≠ −1
   • x ≠ ±5
   • x ≠ 25

   Отговор: x ≠ ±5

   x² − 25 = 0 при x = 5 и x = −5.

5. При коя стойност на x дробта (x − 7)/(x + 2) е равна на 0?

   • x = 7
   • x = −2
   • x = 0
   • x = −7

   Отговор: x = 7

   Дробта е 0, когато числителят е 0, а знаменателят не е: x = 7 (тогава x + 2 = 9 ≠ 0).

6. Колко е стойността на дробта (x + 3)/(x − 1) при x = 3?

   • 6
   • 3
   • 1,5
   • не е определена

   Отговор: 3

   (3 + 3)/(3 − 1) = 6/2 = 3.

7. Кое е дефиниционното множество на израза 3/(x² + 4)?

   • x ≠ ±2
   • всички реални числа
   • x ≠ −4
   • x ≠ 2

   Отговор: всички реални числа

   x² + 4 ≥ 4 за всяко x, затова знаменателят никога не е 0.

8. Кое е дефиниционното множество на израза 1/x + 1/(x − 1)?

   • x ≠ 1
   • x ≠ 0
   • всички реални числа
   • x ≠ 0 и x ≠ 1

   Отговор: x ≠ 0 и x ≠ 1

   Двата знаменателя трябва да са различни от 0: x ≠ 0 и x − 1 ≠ 0.

9. Кои са допустимите стойности на израза (x − 2)/(x² − 4x + 4)?

   • x ≠ ±2
   • x ≠ 4
   • всички реални числа
   • x ≠ 2

   Отговор: x ≠ 2

   Знаменателят е (x − 2)² и се анулира само при x = 2.

10. Намерете допустимите стойности на израза x/(x² − 3x).

    • x ≠ 0 и x ≠ 3
    • x ≠ 3
    • x ≠ 0 и x ≠ −3
    • x ≠ ±3

    Отговор: x ≠ 0 и x ≠ 3

    x² − 3x = x(x − 3) = 0 при x = 0 и x = 3.

11. За колко стойности на x изразът 1/(x² − 5x + 6) НЕ е определен?

    • 1
    • 2
    • 0
    • 3

    Отговор: 2

    x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0 при x = 2 и x = 3, т.е. за 2 стойности.

12. За кои стойности на a изразът 1/(x² − 2x + a) е определен за всяко реално x?

    • a > 1
    • a < 1
    • a = 1
    • a ≥ 0

    Отговор: a > 1

    Знаменателят е (x − 1)² + a − 1 и не става 0 за никое x точно когато a − 1 > 0.

13. За коя стойност на x дробта (x² − 9)/(x² + 3x) е равна на 0?

    • x = ±3
    • x = −3
    • x = 0 и x = 3
    • x = 3

    Отговор: x = 3

    Числителят е 0 при x = ±3, но при x = −3 знаменателят също е 0. Остава x = 3.

14. Кои са допустимите стойности на израза 1/(x − 1/x)?

    • x ≠ 0
    • x ≠ 0, x ≠ 1 и x ≠ −1
    • x ≠ 1 и x ≠ −1
    • x ≠ 1

    Отговор: x ≠ 0, x ≠ 1 и x ≠ −1

    Трябва x ≠ 0 (заради 1/x) и x − 1/x ≠ 0, т.е. x² ≠ 1 и x ≠ ±1.

15. Кои са допустимите стойности на израза (x + 1)/(|x| − 3)?

    • x ≠ ±3
    • x ≠ 3
    • x ≠ −1 и x ≠ 3
    • всички реални числа

    Отговор: x ≠ ±3

    |x| − 3 = 0 при x = 3 и x = −3.

Основно свойство

1. Съкратете дробта 12a³b/(18ab²).

   • 2a²b/3
   • 2a/(3b)
   • 2a²/(3b)
   • a²/(6b)

   Отговор: 2a²/(3b)

   Делим числителя и знаменателя на 6ab: 2a²/(3b).

2. Съкратете дробта 15x/(5x²).

   • 3x
   • 10/x
   • 3
   • 3/x

   Отговор: 3/x

   Делим числителя и знаменателя на 5x: 15x/(5x²) = 3/x.

3. Кое е основното свойство на дробите?

   • числителят и знаменателят могат да се увеличат с едно и също число
   • числителят и знаменателят могат да се умножат или разделят на един и същ ненулев израз
   • числителят може да се умножи по произволно число
   • знаменателят може да се смени с нула

   Отговор: числителят и знаменателят могат да се умножат или разделят на един и същ ненулев израз

   Стойността на дробта не се променя, ако умножим или разделим числителя и знаменателя на един и същ ненулев израз.

4. Съкратете дробта (x² − 16)/(3x + 12).

   • (x + 4)/3
   • (x − 4)/3
   • x − 4
   • (x − 16)/3

   Отговор: (x − 4)/3

   (x − 4)(x + 4)/(3(x + 4)) = (x − 4)/3.

5. Съкратете дробта (x² + 2x)/(x + 2).

   • x
   • x + 2
   • 2x
   • x²

   Отговор: x

   x² + 2x = x(x + 2), а след съкращаване на x + 2 остава x.

6. Съкратете дробта (5x − 10)/(x − 2).

   • 5
   • x − 2
   • 5x
   • −5

   Отговор: 5

   (5x − 10)/(x − 2) = 5(x − 2)/(x − 2) = 5 при x ≠ 2.

7. Съкратете дробта (x² − 6x + 9)/(9 − x²).

   • (3 − x)/(3 + x)
   • (x − 3)/(x + 3)
   • −1
   • (x + 3)/(3 − x)

   Отговор: (3 − x)/(3 + x)

   (x − 3)²/((3 − x)(3 + x)) = (3 − x)²/((3 − x)(3 + x)) = (3 − x)/(3 + x).

8. Съкратете дробта (a² − 2ab + b²)/(b − a).

   • a − b
   • a + b
   • b − a
   • 1

   Отговор: b − a

   a² − 2ab + b² = (a − b)² = (b − a)², а като съкратим b − a, остава b − a.

9. На какво е равна дробта (x − y)/(y − x) при x ≠ y?

   • 1
   • 0
   • −1
   • x − y

   Отговор: −1

   y − x = −(x − y), затова дробта е −1.

10. Кой израз трябва да стои на мястото на „?“, за да е вярно 3/(x − 2) = ?/(x² − 4)?

    • 3x − 6
    • x + 2
    • 3
    • 3x + 6

    Отговор: 3x + 6

    Знаменателят е умножен по x + 2, затова и числителят: 3(x + 2) = 3x + 6.

11. Съкратете дробта (x³ − x)/(x² + x).

    • x + 1
    • x
    • x² − 1
    • x − 1

    Отговор: x − 1

    x³ − x = x(x − 1)(x + 1), а x² + x = x(x + 1). Остава x − 1.

12. Съкратете дробта (x² + 5x + 6)/(x² − 9).

    • (x + 2)/(x + 3)
    • (x + 6)/(x − 9)
    • (x − 2)/(x − 3)
    • (x + 2)/(x − 3)

    Отговор: (x + 2)/(x − 3)

    (x + 2)(x + 3)/((x − 3)(x + 3)) = (x + 2)/(x − 3).

13. Съкратете дробта (a³ − 8)/(a² + 2a + 4).

    • a + 2
    • a² − 4
    • a − 2
    • 1/(a − 2)

    Отговор: a − 2

    a³ − 8 = (a − 2)(a² + 2a + 4), затова дробта е a − 2.

14. Съкратете дробта (ax + ay − bx − by)/(a² − b²).

    • (x + y)/(a − b)
    • (x + y)/(a + b)
    • (x − y)/(a + b)
    • x + y

    Отговор: (x + y)/(a + b)

    Числителят е a(x + y) − b(x + y) = (a − b)(x + y), а знаменателят е (a − b)(a + b).

15. Съкратете дробта (x⁴ − 1)/(x³ + x).

    • (x² − 1)/x
    • x − 1
    • (x² + 1)/x
    • x

    Отговор: (x² − 1)/x

    (x² − 1)(x² + 1)/(x(x² + 1)) = (x² − 1)/x.

Събиране и изваждане

1. Пресметнете 3/x + 5/x.

   • 8/(2x)
   • 8/x
   • 15/x
   • 8/x²

   Отговор: 8/x

   При равни знаменатели събираме числителите: 8/x.

2. Пресметнете 2/a − 1/a.

   • 1
   • 3/a
   • 1/a
   • 2

   Отговор: 1/a

   Дробите имат общ знаменател: (2 − 1)/a = 1/a.

3. Кой е най-простият общ знаменател на дробите 1/x и 1/y?

   • x + y
   • xy
   • x − y
   • x

   Отговор: xy

   Знаменателите нямат общ множител, затова общият знаменател е произведението им xy.

4. Намерете най-малкия общ знаменател на дробите 1/(6a²) и 1/(4ab).

   • 12a²b
   • 24a³b
   • 12ab
   • 24a²b

   Отговор: 12a²b

   НОК(6, 4) = 12, а буквените множители взимаме с най-голям показател: a²b.

5. Пресметнете a/2 + a/3.

   • 5a/6
   • 2a/5
   • a/6
   • a/5

   Отговор: 5a/6

   Общият знаменател е 6: 3a/6 + 2a/6 = 5a/6.

6. Пресметнете 1 + 1/x.

   • (x + 1)/x
   • 2/x
   • 1/(x + 1)
   • 2/(x + 1)

   Отговор: (x + 1)/x

   1 = x/x, затова 1 + 1/x = (x + 1)/x.

7. Опростете x/(x − 3) − 3/(x − 3).

   • (x − 3)/(x + 3)
   • 0
   • x − 3
   • 1

   Отговор: 1

   (x − 3)/(x − 3) = 1 при x ≠ 3.

8. Опростете 1/x − 1/(x + 1).

   • 1/x
   • −1/(x² + x)
   • 1
   • 1/(x² + x)

   Отговор: 1/(x² + x)

   (x + 1 − x)/(x(x + 1)) = 1/(x² + x).

9. Опростете a/(a − b) + b/(b − a).

   • (a + b)/(a − b)
   • 0
   • −1
   • 1

   Отговор: 1

   b/(b − a) = −b/(a − b), сборът е (a − b)/(a − b) = 1.

10. Опростете 2/(x − 1) − 2/(x + 1).

    • 4x/(x² − 1)
    • 0
    • 4/(x² − 1)
    • 4/(x − 1)

    Отговор: 4/(x² − 1)

    (2(x + 1) − 2(x − 1))/(x² − 1) = 4/(x² − 1).

11. Опростете a/(a − 1) − 1/(a² − a).

    • 1
    • (a + 1)/a
    • (a − 1)/a
    • a + 1

    Отговор: (a + 1)/a

    a² − a = a(a − 1). Получаваме (a² − 1)/(a(a − 1)) = (a − 1)(a + 1)/(a(a − 1)) = (a + 1)/a.

12. Опростете x/(x − 2) − x/(x + 2).

    • 0
    • 4/(x² − 4)
    • 4x/(x² − 4)
    • 2x/(x² − 4)

    Отговор: 4x/(x² − 4)

    (x(x + 2) − x(x − 2))/(x² − 4) = 4x/(x² − 4).

13. Опростете x/(x² − 4) − 1/(x − 2).

    • 2/(x² − 4)
    • −2/(x² − 4)
    • (x − 1)/(x + 2)
    • −1/(x + 2)

    Отговор: −2/(x² − 4)

    (x − (x + 2))/(x² − 4) = −2/(x² − 4).

14. Опростете 1/(x(x + 1)) + 1/((x + 1)(x + 2)).

    • 2/(x + 2)
    • 2/(x(x + 2))
    • 1/(x(x + 2))
    • (2x + 2)/(x + 2)

    Отговор: 2/(x(x + 2))

    Общият знаменател е x(x + 1)(x + 2), а числителят е x + 2 + x = 2(x + 1). След съкращаване остава 2/(x(x + 2)).

15. Опростете 1/(a − b) + 1/(a + b) − 2a/(a² − b²).

    • 0
    • 2/(a − b)
    • 2a/(a² − b²)
    • 1

    Отговор: 0

    Общият знаменател е a² − b²: (a + b + a − b − 2a)/(a² − b²) = 0.

Умножение и деление

1. Пресметнете (3a/b) · (b²/(6a)).

   • b/2
   • 3b/2
   • a/2
   • b²/2

   Отговор: b/2

   3ab²/(6ab) = b/2.

2. Пресметнете (2/x)·(x/4).

   • 2
   • 2/x
   • x/2
   • 1/2

   Отговор: 1/2

   (2·x)/(x·4) = 2/4 = 1/2.

3. Коя дроб е реципрочна на (a + 1)/b?

   • b/(a + 1)
   • −(a + 1)/b
   • (a + 1)/b
   • 1/(a + 1)

   Отговор: b/(a + 1)

   Реципрочната дроб се получава с размяна на числителя и знаменателя.

4. Пресметнете (a/b) : (a²/b³).

   • a³/b⁴
   • a/b²
   • b/a
   • b²/a

   Отговор: b²/a

   (a/b)·(b³/a²) = b²/a.

5. Пресметнете (x²/y) : x.

   • x/y
   • x³/y
   • x²/(xy²)
   • xy

   Отговор: x/y

   (x²/y)·(1/x) = x/y.

6. Пресметнете (3x/4) : (9x/8).

   • 3/2
   • 2/3
   • 27x²/32
   • 1/3

   Отговор: 2/3

   (3x/4)·(8/(9x)) = 24x/(36x) = 2/3.

7. Пресметнете (−2a²/b)³.

   • 8a⁶/b³
   • −6a⁵/b³
   • −8a⁶/b³
   • −8a⁵/b³

   Отговор: −8a⁶/b³

   (−2)³ = −8, (a²)³ = a⁶: −8a⁶/b³.

8. Пресметнете (a/(2b))².

   • a²/(2b²)
   • a²/(4b)
   • a²/(4b²)
   • a/(4b²)

   Отговор: a²/(4b²)

   Повдигаме на квадрат числителя и знаменателя: a²/(2b)² = a²/(4b²).

9. Опростете ((x + 1)/x)·(x²/(x + 1)).

   • x + 1
   • 1/x
   • x²
   • x

   Отговор: x

   Съкращаваме x + 1 и x: остава x.

10. Опростете ((x² − 1)/(x + 2)) · ((x² + 2x)/(x − 1)).

    • x(x − 1)
    • x(x + 1)
    • (x + 1)/x
    • x + 1

    Отговор: x(x + 1)

    (x − 1)(x + 1)·x(x + 2)/((x + 2)(x − 1)) = x(x + 1).

11. Опростете ((a + b)/a)·(a²/(a² − b²)).

    • a/(a + b)
    • (a + b)/(a − b)
    • a
    • a/(a − b)

    Отговор: a/(a − b)

    a² − b² = (a − b)(a + b). След съкращаване на a + b и на a остава a/(a − b).

12. Опростете ((a² − 9)/(a² + 3a)) : ((a − 3)/a).

    • a
    • (a − 3)/a
    • 1
    • a + 3

    Отговор: 1

    ((a − 3)(a + 3)/(a(a + 3)))·(a/(a − 3)) = 1.

13. Опростете (1 − 1/x) : (x − 1/x).

    • 1/(x + 1)
    • 1/(x − 1)
    • x + 1
    • (x − 1)/x

    Отговор: 1/(x + 1)

    ((x − 1)/x) : ((x² − 1)/x) = (x − 1)/((x − 1)(x + 1)) = 1/(x + 1).

14. Опростете ((x² − 4x + 4)/(x + 3)) : ((x − 2)/(x² + 3x)).

    • x(x + 2)
    • x(x − 2)
    • (x − 2)/x
    • x − 2

    Отговор: x(x − 2)

    (x − 2)²/(x + 3) · x(x + 3)/(x − 2) = x(x − 2).

15. Опростете (x + 1/x)² − (x − 1/x)².

    • 4
    • 0
    • 2/x²
    • 4/x²

    Отговор: 4

    По формулата A² − B² = (A − B)(A + B): (2/x)·(2x) = 4.

Дробни уравнения

1. Решете уравнението 12/x = 4.

   • x = 48
   • x = 8
   • x = 1/3
   • x = 3

   Отговор: x = 3

   12 = 4x, откъдето x = 3 (x ≠ 0).

2. Коя стойност на x е недопустима за уравнението 5/(x − 3) = x?

   • x = 0
   • x = 5
   • x = 3
   • x = −3

   Отговор: x = 3

   При x = 3 знаменателят x − 3 става 0.

3. Кое от уравненията е дробно?

   • x/2 = 5
   • 3/x = 1
   • 2x − 1 = 0
   • x² = 4

   Отговор: 3/x = 1

   Дробно е уравнението с променлива в знаменателя: 3/x = 1.

4. Решете уравнението (x + 3)/(x − 1) = 2.

   • x = 1
   • x = −5
   • x = 5
   • няма решение

   Отговор: x = 5

   x + 3 = 2(x − 1), x = 5. Проверка: x ≠ 1.

5. Решете уравнението 2/(x + 1) = 1.

   • x = 1
   • x = −1
   • x = 2
   • x = 3

   Отговор: x = 1

   x + 1 = 2, откъдето x = 1 (то е допустимо).

6. Решете уравнението 1/x + 1/(2x) = 3.

   • x = 1/2
   • x = 2
   • x = 1
   • x = 3/2

   Отговор: x = 1/2

   3/(2x) = 3, откъдето 2x = 1 и x = 1/2.

7. Решете уравнението x/(x − 2) = 2/(x − 2).

   • x = 2
   • няма решение
   • x = 0
   • x = −2

   Отговор: няма решение

   Получаваме x = 2, но при x = 2 знаменателят е 0. Уравнението няма решение.

8. Решете уравнението 3/x = x/3.

   • x = 3
   • x = 9
   • x = 0
   • x = ±3

   Отговор: x = ±3

   x² = 9, откъдето x = 3 или x = −3; и двете са допустими.

9. Решете уравнението (x² − 1)/(x − 1) = 0.

   • x = ±1
   • x = 1
   • x = −1
   • няма решение

   Отговор: x = −1

   x² − 1 = 0 дава x = ±1, но x = 1 анулира знаменателя.

10. Решете уравнението x + 6/x = 5.

    • x = 2 и x = 3
    • x = −2 и x = −3
    • x = 6
    • x = 1 и x = 6

    Отговор: x = 2 и x = 3

    Умножаваме по x ≠ 0: x² − 5x + 6 = 0, откъдето x = 2 или x = 3.

11. Решете уравнението x/(x + 2) + 3/(x − 2) = 12/(x² − 4).

    • x = 2 и x = −3
    • x = −3
    • x = 2
    • няма решение

    Отговор: x = −3

    Умножаваме по x² − 4: x(x − 2) + 3(x + 2) = 12, т.е. x² + x − 6 = 0, x = 2 или x = −3. Но x = 2 е недопустимо.

12. Решете уравнението x/(x − 1) = 2/(x + 1) + 1.

    • x = −3
    • x = 1
    • няма решение
    • x = 3

    Отговор: x = 3

    x(x + 1) = 2(x − 1) + x² − 1, т.е. x = 2x − 3 и x = 3. Стойността е допустима.

13. Двама работници заедно завършват работа за 6 дни. Първият сам би я завършил за 10 дни. За колко дни би я завършил вторият сам?

    • 4
    • 16
    • 8
    • 15

    Отговор: 15

    За един ден вторият върши 1/6 − 1/10 = 1/15 от работата, т.е. сам би я свършил за 15 дни.

14. Числителят на една дроб е с 3 по-малък от знаменателя. Ако към числителя и към знаменателя се прибави 1, се получава 1/2. Коя е дробта?

    • 1/4
    • 2/5
    • 5/8
    • 4/7

    Отговор: 2/5

    Нека дробта е n/(n + 3). (n + 1)/(n + 4) = 1/2 води до 2n + 2 = n + 4, т.е. n = 2 и дробта е 2/5.

15. Лодка изминава 24 km по течението и 24 km срещу него общо за 5 часа. Скоростта на течението е 2 km/h. Каква е собствената скорост на лодката?

    • 10 km/h
    • 12 km/h
    • 8 km/h
    • 14 km/h

    Отговор: 10 km/h

    24/(v + 2) + 24/(v − 2) = 5, т.е. 5v² − 48v − 20 = 0, откъдето v = 10 (другият корен е отрицателен).

Финален въпрос