Математика 11 клас: Степен и логаритъм

Корен n-ти

1. Пресметнете ∛64.

   • 4
   • 8
   • 16
   • 3

   Отговор: 4

   4³ = 64, затова ∛64 = 4.

2. Пресметнете ⁴√81.

   • 9
   • 4
   • 3
   • 27

   Отговор: 3

   3⁴ = 81, затова ⁴√81 = 3.

3. Пресметнете ∛125.

   • 25
   • 5
   • 15
   • 3

   Отговор: 5

   5³ = 125, затова ∛125 = 5.

4. Пресметнете ⁵√(−32).

   • 2
   • няма смисъл
   • −2
   • −16

   Отговор: −2

   Коренът е нечетен, затова има смисъл и за отрицателни числа: (−2)⁵ = −32.

5. Пресметнете ∛(−0,008).

   • 0,2
   • −0,02
   • −0,4
   • −0,2

   Отговор: −0,2

   (−0,2)³ = −0,008.

6. При кои x е дефиниран изразът ⁴√(x − 1)?

   • x ≥ 1
   • x > 1
   • x ≥ 0
   • за всяко x

   Отговор: x ≥ 1

   Корен с четен показател е дефиниран при неотрицателна подкоренна величина: x − 1 ≥ 0.

7. Пресметнете ∛2 · ∛4.

   • ∛6
   • 2
   • 4
   • 8

   Отговор: 2

   ∛2 · ∛4 = ∛8 = 2.

8. Пресметнете ∛(√64).

   • 2
   • 4
   • 8
   • √2

   Отговор: 2

   √64 = 8, а ∛8 = 2. Иначе: ∛(√64) = ⁶√64 = 2.

9. Пресметнете ∛(−125) · ⁴√16.

   • 10
   • 20
   • −10
   • −20

   Отговор: −10

   ∛(−125) = −5 и ⁴√16 = 2, произведението е −10.

10. Опростете √(3 − 2√2).

    • 1 − √2
    • √3 − √2
    • √2 − 1
    • 3 − √2

    Отговор: √2 − 1

    3 − 2√2 = (√2 − 1)², а √2 − 1 > 0, затова коренът е √2 − 1.

11. Пресметнете ⁴√((−5)⁴).

    • −5
    • ±5
    • 5
    • 25

    Отговор: 5

    ⁴√(a⁴) = |a|, затова резултатът е |−5| = 5.

12. Опростете ⁶√(a⁴) при a > 0.

    • ∛a
    • √(a³)
    • a²
    • ∛(a²)

    Отговор: ∛(a²)

    ⁶√(a⁴) = a^4/6 = a^2/3 = ∛(a²).

13. Кое е най-голямото от числата √2, ∛3, ⁶√6 и ⁴√5?

    • √2
    • ∛3
    • ⁶√6
    • ⁴√5

    Отговор: ⁴√5

    Повдигаме на 12-та степен: 2⁶ = 64, 3⁴ = 81, 6² = 36, 5³ = 125. Най-голямо е ⁴√5.

14. Пресметнете ∛(2 + √5) + ∛(2 − √5).

    • 2
    • √5
    • 1
    • 4

    Отговор: 1

    ((1 + √5)/2)³ = 2 + √5 и ((1 − √5)/2)³ = 2 − √5, затова сборът е (1 + √5)/2 + (1 − √5)/2 = 1.

15. Опростете √(x² − 6x + 9) при x < 3.

    • x − 3
    • 3 − x
    • x + 3
    • |x + 3|

    Отговор: 3 − x

    √(x − 3)² = |x − 3|, а при x < 3 това е 3 − x.

Ирационални изрази

1. Рационализирайте знаменателя: 6/√3.

   • √3
   • 2√3
   • 6√3
   • 3√2

   Отговор: 2√3

   6/√3 = 6√3/3 = 2√3.

2. Пресметнете √12 · √3.

   • 36
   • 6
   • √15
   • 3√2

   Отговор: 6

   √12 · √3 = √36 = 6.

3. Вкарайте множителя под корена: 3√2.

   • √6
   • √18
   • √12
   • √9

   Отговор: √18

   3√2 = √(9 · 2) = √18.

4. Пресметнете (√5 − 2)(√5 + 2).

   • −1
   • 3
   • 1
   • 9

   Отговор: 1

   По формулата (a − b)(a + b) = a² − b²: 5 − 4 = 1.

5. Пресметнете (√3 + 1)².

   • 4
   • 2 + 2√3
   • 4 + 2√3
   • 4 + √3

   Отговор: 4 + 2√3

   (√3 + 1)² = 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3.

6. Опростете √75.

   • 3√5
   • 25√3
   • 5√3
   • 15√5

   Отговор: 5√3

   75 = 25 · 3, затова √75 = 5√3.

7. Опростете √50 − √18 + √8.

   • 4√2
   • 2√2
   • 6√2
   • √40

   Отговор: 4√2

   √50 = 5√2, √18 = 3√2, √8 = 2√2, затова 5√2 − 3√2 + 2√2 = 4√2.

8. Опростете (√8 + √18)/√2.

   • 5
   • √13
   • 13
   • 3

   Отговор: 5

   √8/√2 + √18/√2 = √4 + √9 = 2 + 3 = 5.

9. Рационализирайте знаменателя: 4/(√5 + 1).

   • √5 − 1
   • √5 + 1
   • (√5 − 1)/4
   • 4√5 − 4

   Отговор: √5 − 1

   Умножаваме по √5 − 1: 4(√5 − 1)/(5 − 1) = √5 − 1.

10. Рационализирайте знаменателя: 1/(√3 − √2).

    • √3 + √2
    • √3 − √2
    • 1
    • (√3 + √2)/5

    Отговор: √3 + √2

    Умножаваме по √3 + √2: знаменателят става 3 − 2 = 1.

11. Рационализирайте знаменателя: 1/∛2.

    • ∛4/2
    • ∛2/2
    • ∛4
    • 2∛2

    Отговор: ∛4/2

    Умножаваме по ∛4: ∛4/(∛2·∛4) = ∛4/∛8 = ∛4/2.

12. Пресметнете (√7 − √3)² + 2√21.

    • 4
    • 2√21
    • 10 − 4√21
    • 10

    Отговор: 10

    (√7 − √3)² = 7 − 2√21 + 3 = 10 − 2√21, плюс 2√21 дава 10.

13. Пресметнете √(7 + 4√3) − √(7 − 4√3).

    • 2√3
    • 4
    • √3
    • 2√2

    Отговор: 2√3

    7 ± 4√3 = (2 ± √3)², затова разликата е (2 + √3) − (2 − √3) = 2√3.

14. Пресметнете 1/(√2 + 1) + 1/(√3 + √2) + 1/(2 + √3).

    • 2
    • √3 − 1
    • 3
    • 1

    Отговор: 1

    Събираемите са √2 − 1, √3 − √2 и 2 − √3, а сборът им е 1.

15. Опростете (a − b)/(√a − √b) − √b при a, b ≥ 0 и a ≠ b.

    • √b
    • √a
    • √a − √b
    • a − b

    Отговор: √a

    a − b = (√a − √b)(√a + √b), затова дробта е √a + √b, а после изваждаме √b.

Рационална степен

1. Пресметнете 16^3/4.

   • 12
   • 4
   • 2
   • 8

   Отговор: 8

   16^3/4 = (⁴√16)³ = 2³ = 8.

2. Как се записва ∛(x²) като степен при x > 0?

   • x^3/2
   • x^2/3
   • x⁶
   • x^−2/3

   Отговор: x^2/3

   ⁿ√(x^m) = x^m/n, затова ∛(x²) = x^2/3.

3. Пресметнете 49^1/2.

   • 24,5
   • 7
   • −7
   • 1/7

   Отговор: 7

   49^1/2 = √49 = 7.

4. Пресметнете 32^−2/5.

   • −4
   • 4
   • −1/4
   • 1/4

   Отговор: 1/4

   32^1/5 = 2, затова 32^−2/5 = 2⁻² = 1/4.

5. Пресметнете 25^1,5.

   • 37,5
   • 625
   • 25√5
   • 125

   Отговор: 125

   25^1,5 = 25^3/2 = (√25)³ = 5³ = 125.

6. Пресметнете 64^2/3.

   • 16
   • 8
   • 32
   • 4

   Отговор: 16

   64^2/3 = (∛64)² = 4² = 16.

7. Пресметнете 0,125^−1/3.

   • 1/2
   • 2
   • −2
   • 8

   Отговор: 2

   0,125 = 1/8 = 2⁻³, затова (2⁻³)^−1/3 = 2.

8. Пресметнете 3^0,4 · 9^0,3.

   • 3
   • 9
   • 1
   • √3

   Отговор: 3

   9^0,3 = 3^0,6, затова произведението е 3^{0,4 + 0,6} = 3¹ = 3.

9. Запишете 1/⁵√(x³) като степен при x > 0.

   • x^3/5
   • x^−5/3
   • x^−3/5
   • −x^3/5

   Отговор: x^−3/5

   ⁵√(x³) = x^3/5, а реципрочното е x^−3/5.

10. Опростете (a^2/3)^3/4 · a^1/2 при a > 0.

    • a^5/4
    • a^1/4
    • a
    • a²

    Отговор: a

    (a^2/3)^3/4 = a^1/2, а a^1/2 · a^1/2 = a.

11. Опростете (x^1/2 − y^1/2)(x^1/2 + y^1/2) при x, y > 0.

    • x² − y²
    • x − y
    • √x − √y
    • x + y

    Отговор: x − y

    По формулата за разлика на квадрати: (x^1/2)² − (y^1/2)² = x − y.

12. Решете уравнението x^3/2 = 27 при x > 0.

    • x = 3
    • x = 18
    • x = 81
    • x = 9

    Отговор: x = 9

    Повдигаме на степен 2/3: x = 27^2/3 = (∛27)² = 9.

13. Пресметнете (27^2/3 − 81^0,25) · 4^−1/2.

    • 6
    • 12
    • 3/2
    • 3

    Отговор: 3

    27^2/3 = 9, 81^0,25 = 3, 4^−1/2 = 1/2, затова (9 − 3) · 1/2 = 3.

14. Пресметнете 0,25^−1,5 + 27^−2/3 · 9.

    • 8
    • 9
    • 10
    • 17

    Отговор: 9

    0,25^−1,5 = 4^1,5 = 8 и 27^−2/3 = 1/9, затова 8 + (1/9)·9 = 9.

15. Опростете (a − a^1/2)/(a^1/2 − 1) при a > 0 и a ≠ 1.

    • a^1/2
    • a
    • a^1/2 + 1
    • 1

    Отговор: a^1/2

    a − a^1/2 = a^1/2(a^1/2 − 1), съкращаваме и остава a^1/2.

Графики на функции

1. През коя точка минава графиката на y = √x?

   • (2; 4)
   • (4; 2)
   • (4; −2)
   • (−4; 2)

   Отговор: (4; 2)

   √4 = 2, затова точката (4; 2) е от графиката.

2. През коя точка минава графиката на всяка функция y = a^x (a > 0, a ≠ 1)?

   • (1; 0)
   • (0; 0)
   • (0; 1)
   • (1; 1)

   Отговор: (0; 1)

   a⁰ = 1 за всяко такова a.

3. Коя от функциите е намаляваща?

   • y = 3^x
   • y = (1/2)^x
   • y = x³
   • y = log₂x

   Отговор: y = (1/2)^x

   Показателната функция с основа между 0 и 1 е намаляваща.

4. Кое е дефиниционното множество на y = √(x − 2)?

   • x ≥ 2
   • x > 2
   • x ≥ 0
   • x ≤ 2

   Отговор: x ≥ 2

   Изразът под квадратния корен трябва да е неотрицателен: x − 2 ≥ 0.

5. Кое е дефиниционното множество на y = log₃(x + 1)?

   • x ≥ −1
   • x > 0
   • x > 1
   • x > −1

   Отговор: x > −1

   Логаритмуваното число трябва да е положително: x + 1 > 0, т.е. x > −1.

6. През коя точка минава графиката на y = log_ax за всяко допустимо a?

   • (0; 1)
   • (1; 1)
   • (1; 0)
   • (0; 0)

   Отговор: (1; 0)

   log_a1 = 0 за всяко a, затова точката (1; 0) е на графиката.

7. Коя от функциите е растяща?

   • y = 0,5^x
   • y = (1/3)^x
   • y = 0,9^x
   • y = 2^x

   Отговор: y = 2^x

   Показателната функция y = a^x расте при a > 1 и намалява при 0 < a < 1.

8. Коя е най-малката стойност на функцията y = √x + 1?

   • 1
   • 0
   • −1
   • няма най-малка стойност

   Отговор: 1

   √x ≥ 0 и √x = 0 при x = 0, затова най-малката стойност е 1.

9. Коя е най-малката стойност на функцията y = ∛x в интервала [−8; 27]?

   • 0
   • −8
   • −2
   • 2

   Отговор: −2

   y = ∛x е растяща, затова най-малката стойност е в левия край: ∛(−8) = −2.

10. Кое е множеството от стойности на y = 2^x + 3?

    • y > 0
    • y > 3
    • y ≥ 3
    • y < 3

    Отговор: y > 3

    2^x приема всички положителни стойности, затова 2^x + 3 > 3.

11. Колко общи точки имат графиките на y = 2^x и y = −x²?

    • 0
    • 1
    • 2
    • 3

    Отговор: 0

    2^x > 0 за всяко x, а −x² ≤ 0, затова графиките нямат обща точка.

12. Графиката на y = 2^x се премества с 3 единици надясно. Коя е новата функция?

    • y = 2^{x + 3}
    • y = 2^x − 3
    • y = 2^x + 3
    • y = 2^{x − 3}

    Отговор: y = 2^{x − 3}

    Преместване надясно с 3 означава замяна на x с x − 3.

13. Колко общи точки имат графиките на y = x³ и y = ∛x?

    • 2
    • 1
    • 4
    • 3

    Отговор: 3

    x³ = ∛x води до x⁹ = x, т.е. x = −1, 0 или 1: три общи точки.

14. Графиката на y = 2^x е симетрична относно правата y = x на графиката на коя функция?

    • y = 2^−x
    • y = log₂x
    • y = −2^x
    • y = x²

    Отговор: y = log₂x

    y = 2^x и y = log₂x са взаимно обратни, а графиките на обратни функции са симетрични относно y = x.

15. Колко решения има уравнението log₂x = 3 − x?

    • 0
    • 1
    • 2
    • 3

    Отговор: 1

    Лявата страна е растяща, дясната намаляваща, затова графиките се пресичат в най-много една точка. x = 2 е решение.

Логаритми

1. Пресметнете log₅125.

   • 25
   • 3
   • 5
   • 1/3

   Отговор: 3

   5³ = 125, затова log₅125 = 3.

2. Пресметнете log₂(1/8).

   • −3
   • 3
   • 1/3
   • −1/3

   Отговор: −3

   2⁻³ = 1/8.

3. Пресметнете log₉81.

   • 9
   • 3
   • 2
   • 1/2

   Отговор: 2

   9² = 81, затова log₉81 = 2.

4. Пресметнете lg 0,01.

   • 2
   • −1/2
   • −2
   • 0,2

   Отговор: −2

   0,01 = 10⁻², затова lg 0,01 = −2.

5. Пресметнете lg 4 + lg 25.

   • lg 29
   • 2
   • 1
   • 100

   Отговор: 2

   lg 4 + lg 25 = lg 100 = 2.

6. Пресметнете log_1/24.

   • 2
   • −2
   • 1/2
   • −1/2

   Отговор: −2

   (1/2)⁻² = 4, затова log_1/24 = −2.

7. Пресметнете log₂48 − log₂3.

   • 4
   • 16
   • 2
   • 8

   Отговор: 4

   Разлика на логаритми е логаритъм от частното: log₂(48/3) = log₂16 = 4.

8. Пресметнете log₃√27.

   • 3
   • 1/2
   • 2/3
   • 3/2

   Отговор: 3/2

   √27 = 3^3/2, затова log₃√27 = 3/2.

9. Пресметнете log₂₅5 + log₈2.

   • 5/6
   • 1/5
   • 1
   • 7/6

   Отговор: 5/6

   log₂₅5 = 1/2 и log₈2 = 1/3, сборът е 5/6.

10. Пресметнете 2^{log₂5 + 1}.

    • 6
    • 25
    • 10
    • 7

    Отговор: 10

    2^{log₂5 + 1} = 2^log₂5 · 2 = 5 · 2 = 10.

11. Пресметнете log₂3 · log₃8.

    • 1
    • 8/3
    • 3
    • log₆24

    Отговор: 3

    log₂3 · log₃8 = log₂8 = 3 (смяна на основата).

12. Решете уравнението log₃(2x − 1) = 2.

    • x = 4
    • x = 3,5
    • x = 9
    • x = 5

    Отговор: x = 5

    2x − 1 = 3² = 9, откъдето x = 5 (и 2x − 1 > 0).

13. Кое е най-голямото от числата log₂5, log₃10, log₄20 и log₅30?

    • log₃10
    • log₄20
    • log₂5
    • log₅30

    Отговор: log₂5

    log₂5 ≈ 2,32, а останалите са около 2,1: log₃10 ≈ 2,10, log₄20 ≈ 2,16, log₅30 ≈ 2,11.

14. log₂3 = a. Изразете log₆12 чрез a.

    • (2a + 1)/(a + 1)
    • 2a
    • a + 2
    • (a + 2)/(a + 1)

    Отговор: (a + 2)/(a + 1)

    log₆12 = log₂12/log₂6 = (2 + a)/(1 + a).

15. lg 2 = a и lg 3 = b. Изразете lg 12 чрез a и b.

    • a + 2b
    • 2a + b
    • 2ab
    • a² + b

    Отговор: 2a + b

    lg 12 = lg(4 · 3) = 2lg 2 + lg 3 = 2a + b.

Финален въпрос