Математика 7 клас: преговор първи срок

Цели изрази

1. Какъв е коефициентът на едночлена −3a²b?

   • −3
   • 3
   • 2
   • −3a

   Отговор: −3

   Коефициентът е числовият множител на едночлена в нормален вид, заедно със знака: −3.

2. Кой от изразите е едночлен?

   • x + y
   • 2a − 1
   • 3x²y
   • x² + 1

   Отговор: 3x²y

   Едночленът е произведение на числа и променливи, без събиране.

3. Кои два едночлена са подобни?

   • 3x²y и 3xy²
   • 3x²y и −5x²y
   • 2x и 2x²
   • xy и x

   Отговор: 3x²y и −5x²y

   Подобните едночлени имат еднаква буквена част: x²y.

4. Запишете в нормален вид едночлена 2x·(−3x²).

   • −6x²
   • 6x³
   • −x³
   • −6x³

   Отговор: −6x³

   Умножаваме коефициентите (2·(−3) = −6) и степените: x·x² = x³.

5. Каква е степента на многочлена x³y − 4x² + 7?

   • 3
   • 4
   • 2
   • 7

   Отговор: 4

   Степента на x³y е 3 + 1 = 4 и тя е най-голямата.

6. Каква е степента на едночлена 4x³y²?

   • 6
   • 3
   • 5
   • 4

   Отговор: 5

   Степента е сборът от степенните показатели: 3 + 2 = 5.

7. Намерете стойността на израза 2x² − 3x + 1 при x = −2.

   • 15
   • 3
   • −1
   • 23

   Отговор: 15

   2·(−2)² − 3·(−2) + 1 = 8 + 6 + 1 = 15.

8. Опростете израза 3a(a − 2) − a(2a − 5).

   • a² − a
   • a² − 11a
   • 5a² − a
   • a² + a

   Отговор: a² − a

   3a² − 6a − 2a² + 5a = a² − a.

9. Приведете подобните членове: 5a − 2b − 3a + 7b.

   • 2a + 5b
   • 8a + 5b
   • 2a − 9b
   • 7ab

   Отговор: 2a + 5b

   5a − 3a = 2a и −2b + 7b = 5b.

10. Запишете в нормален вид (2x − 3)(x + 4).

    • 2x² − 5x − 12
    • 2x² + 8x − 12
    • 2x² − 12
    • 2x² + 5x − 12

    Отговор: 2x² + 5x − 12

    2x² + 8x − 3x − 12 = 2x² + 5x − 12.

11. Намерете стойността на израза (x + 1)(x − 3) − x² при x = 1,5.

    • 0
    • −3
    • −6
    • 6

    Отговор: −6

    Изразът е равен на −2x − 3, а при x = 1,5 се получава −3 − 3 = −6.

12. Пресметнете (−2a²b)³.

    • −6a⁵b³
    • −8a⁶b³
    • 8a⁶b³
    • −8a⁵b³

    Отговор: −8a⁶b³

    (−2)³ = −8, (a²)³ = a⁶, b³.

13. Запишете в нормален вид (x − 1)(x² + x + 1) − x(x² − 2).

    • 2x − 1
    • 2x + 1
    • −2x − 1
    • 2x³ − 2x − 1

    Отговор: 2x − 1

    (x − 1)(x² + x + 1) = x³ − 1, а x(x² − 2) = x³ − 2x. Разликата е x³ − 1 − x³ + 2x = 2x − 1.

14. За коя стойност на a многочленът (x + a)(x − 2) няма член от първа степен?

    • 2
    • −2
    • 0
    • 4

    Отговор: 2

    (x + a)(x − 2) = x² + (a − 2)x − 2a, значи a − 2 = 0 и a = 2.

15. A = x² − 3x и B = 2x² + x − 1. На какво е равно 2A − B?

    • −5x − 1
    • 4x² − 7x + 1
    • −7x − 1
    • −7x + 1

    Отговор: −7x + 1

    2A − B = 2x² − 6x − 2x² − x + 1 = −7x + 1.

Съкратено умножение

1. На какво е равно (a + 3)²?

   • a² + 9
   • a² + 6a + 9
   • a² + 3a + 9
   • a² + 6a + 6

   Отговор: a² + 6a + 9

   (a + b)² = a² + 2ab + b², т.е. a² + 2·a·3 + 9.

2. На какво е равно (x − 4)²?

   • x² − 16
   • x² − 8x + 16
   • x² + 16
   • x² − 4x + 16

   Отговор: x² − 8x + 16

   (a − b)² = a² − 2ab + b², тук 2·x·4 = 8x.

3. Коя формула е вярна?

   • (a − b)² = a² − 2ab + b²
   • (a − b)² = a² − b²
   • (a + b)² = a² + b²
   • (a − b)² = a² + 2ab − b²

   Отговор: (a − b)² = a² − 2ab + b²

   Квадратът на разлика е a² − 2ab + b².

4. На какво е равно (2x − 5)(2x + 5)?

   • 2x² − 25
   • 4x² − 25
   • 4x² + 25
   • 4x² − 10

   Отговор: 4x² − 25

   (a − b)(a + b) = a² − b², т.е. (2x)² − 5² = 4x² − 25.

5. Пресметнете рационално 99².

   • 9899
   • 9601
   • 9810
   • 9801

   Отговор: 9801

   (100 − 1)² = 10 000 − 200 + 1 = 9801.

6. Пресметнете рационално 49 · 51.

   • 2501
   • 2449
   • 2499
   • 2599

   Отговор: 2499

   49 · 51 = (50 − 1)(50 + 1) = 2500 − 1 = 2499.

7. Пресметнете рационално 101² − 99².

   • 4
   • 200
   • 400
   • 2

   Отговор: 400

   Разлика от квадрати: (101 − 99)(101 + 99) = 2·200 = 400.

8. Опростете израза (x + 3)(x − 3) − (x − 3)².

   • 6x
   • −18
   • 2x² − 6x
   • 6x − 18

   Отговор: 6x − 18

   x² − 9 − (x² − 6x + 9) = 6x − 18.

9. С какъв едночлен трябва да се замени * в (3x + *)² = 9x² + 12xy + 4y²?

   • 4y
   • 6y
   • 2y
   • 2xy

   Отговор: 2y

   Удвоеното произведение е 2 · 3x · 2y = 12xy, а (2y)² = 4y².

10. На какво е равно (x + 2)³?

    • x³ + 8
    • x³ + 6x² + 6x + 8
    • x³ + 6x² + 12x + 8
    • x³ + 2x² + 4x + 8

    Отговор: x³ + 6x² + 12x + 8

    (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³: x³ + 3·x²·2 + 3·x·4 + 8.

11. На какво е равно (2a − b)³?

    • 8a³ − 12a²b + 6ab² − b³
    • 8a³ − b³
    • 8a³ − 6a²b + 6ab² − b³
    • 2a³ − 6a²b + 6ab² − b³

    Отговор: 8a³ − 12a²b + 6ab² − b³

    По формулата (x − y)³ = x³ − 3x²y + 3xy² − y³ с x = 2a и y = b.

12. Колко е най-малката стойност на израза x² − 6x + 11?

    • 2
    • 11
    • −6
    • 0

    Отговор: 2

    x² − 6x + 11 = (x − 3)² + 2 ≥ 2.

13. Ако a − b = 3 и ab = 10, на какво е равно a² + b²?

    • 19
    • −11
    • 29
    • 13

    Отговор: 29

    a² + b² = (a − b)² + 2ab = 9 + 20 = 29.

14. Ако a − b = 5, на колко е равно a² − 2ab + b² − 3?

    • 7
    • 22
    • 28
    • 25

    Отговор: 22

    a² − 2ab + b² = (a − b)² = 25, а 25 − 3 = 22.

15. Ако x + 1/x = 3, на колко е равно x² + 1/x²?

    • 9
    • 11
    • 3
    • 7

    Отговор: 7

    (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x² = 9, откъдето търсеното е 7.

Разлагане

1. Разложете на множители 6x² − 9x.

   • 3x(2x − 3)
   • 3x(2x − 9)
   • 3x(3x − 2)
   • 6x(x − 9)

   Отговор: 3x(2x − 3)

   Общият множител е 3x: 6x² = 3x·2x и 9x = 3x·3.

2. Разложете на множители 7a + 7b.

   • 7ab
   • 7a(1 + b)
   • 7(a + b)
   • a(7 + 7b)

   Отговор: 7(a + b)

   Общият множител е 7.

3. Кой израз е точен квадрат на двучлен?

   • x² + x + 1
   • x² + 2x + 1
   • x² + 1
   • x² − 2x − 1

   Отговор: x² + 2x + 1

   x² + 2x + 1 = (x + 1)².

4. Разложете на множители x² − 49.

   • (x − 7)²
   • (x − 49)(x + 1)
   • (x − 7)(x + 7)
   • (x + 7)²

   Отговор: (x − 7)(x + 7)

   Разлика от квадрати: x² − 7² = (x − 7)(x + 7).

5. Разложете на множители 9a² − 1.

   • (3a − 1)(3a + 1)
   • (3a − 1)²
   • (9a − 1)(9a + 1)
   • (a − 3)(a + 3)

   Отговор: (3a − 1)(3a + 1)

   9a² − 1 = (3a)² − 1² е разлика от квадрати.

6. Разложете на множители x(a − b) + y(a − b).

   • (a − b)(x + y)
   • (a + b)(x − y)
   • xy(a − b)
   • (a − b)²(x + y)

   Отговор: (a − b)(x + y)

   Изнасяме общия множител (a − b).

7. Разложете на множители x² − 10x + 25.

   • (x − 5)²
   • (x + 5)²
   • (x − 5)(x + 5)
   • (x − 25)²

   Отговор: (x − 5)²

   Точен квадрат: x² − 2·x·5 + 5² = (x − 5)².

8. Разложете на множители x² + 6xy + 9y².

   • (x + 9y)²
   • (x + 3y)²
   • (x + 3y)(x − 3y)
   • (3x + y)²

   Отговор: (x + 3y)²

   x² + 2·x·3y + (3y)² = (x + 3y)².

9. Разложете на множители 2x² − 18.

   • 2(x − 3)²
   • (2x − 3)(x + 6)
   • 2(x − 3)(x + 3)
   • 2(x − 9)(x + 9)

   Отговор: 2(x − 3)(x + 3)

   2x² − 18 = 2(x² − 9) = 2(x − 3)(x + 3).

10. Разложете на множители ax − ay + 3x − 3y.

    • (x + y)(a − 3)
    • (x − y)(a − 3)
    • (a − y)(x + 3)
    • (x − y)(a + 3)

    Отговор: (x − y)(a + 3)

    Групираме: a(x − y) + 3(x − y) = (x − y)(a + 3).

11. Разложете на множители x³ + 27.

    • (x + 3)(x² + 3x + 9)
    • (x + 3)³
    • (x − 3)(x² + 3x + 9)
    • (x + 3)(x² − 3x + 9)

    Отговор: (x + 3)(x² − 3x + 9)

    a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) с a = x и b = 3.

12. Разложете на множители x² − 5x + 6.

    • (x + 2)(x + 3)
    • (x − 2)(x − 3)
    • (x − 1)(x − 6)
    • (x − 2)(x + 3)

    Отговор: (x − 2)(x − 3)

    x² − 2x − 3x + 6 = x(x − 2) − 3(x − 2) = (x − 2)(x − 3).

13. Разложете на множители x³ − 4x² + 4x.

    • x(x + 2)²
    • x(x − 2)(x + 2)
    • x(x − 2)²
    • (x − 2)³

    Отговор: x(x − 2)²

    Изнасяме x: x(x² − 4x + 4) = x(x − 2)².

14. Разложете на множители a² + 2a + 1 − b².

    • (a − b + 1)(a + b − 1)
    • (a + 1 − b)²
    • (a − b + 1)(a + b + 1)
    • (a − b)(a + b + 2)

    Отговор: (a − b + 1)(a + b + 1)

    a² + 2a + 1 − b² = (a + 1)² − b² = (a + 1 − b)(a + 1 + b).

15. Пресметнете рационално 37² − 2 · 37 · 27 + 27².

    • 640
    • 1000
    • 4096
    • 100

    Отговор: 100

    Това е (37 − 27)² = 10² = 100.

Уравнения

1. Решете уравнението 5x − 3 = 2x + 9.

   • 2
   • −4
   • 12/7
   • 4

   Отговор: x = 4

   5x − 2x = 9 + 3, 3x = 12, x = 4.

2. Решете уравнението 4x = 2x + 10.

   • x = 10
   • x = 2
   • x = 5
   • x = −5

   Отговор: x = 5

   4x − 2x = 10, 2x = 10, x = 5.

3. Кое число е корен на уравнението 3x + 2 = 14?

   • 5
   • 3
   • 16/3
   • 4

   Отговор: 4

   3x = 12, x = 4.

4. Решете уравнението (x − 3)(2x + 8) = 0.

   • −3 и 4
   • 3 и 4
   • само 3
   • 3 и −4

   Отговор: x = 3 или x = −4

   Произведението е 0, когато някой множител е 0: x − 3 = 0 или 2x + 8 = 0.

5. Решете уравнението 3(x − 2) = x + 8.

   • x = 3
   • x = 5
   • x = −7
   • x = 7

   Отговор: x = 7

   3x − 6 = x + 8, 2x = 14, x = 7.

6. Колко корена има уравнението 0 · x = 5?

   • един корен
   • няма корени
   • два корена
   • безброй много

   Отговор: няма корени

   За всяко x лявата страна е 0, а 0 ≠ 5.

7. Решете уравнението |2x − 1| = 5.

   • 3 и −2
   • само 3
   • 3 и 2
   • −3 и 2

   Отговор: x = 3 или x = −2

   2x − 1 = 5 дава x = 3, а 2x − 1 = −5 дава x = −2.

8. Колко корена има уравнението 2(x + 1) = 2x + 2?

   • нито един
   • безброй много
   • един
   • два

   Отговор: безброй много

   След разкриване на скобите двете страни са еднакви, значи всяко число е корен.

9. Решете уравнението x/2 − x/3 = 1.

   • x = 1
   • x = 5
   • x = 6
   • x = −6

   Отговор: x = 6

   Умножаваме по 6: 3x − 2x = 6, x = 6.

10. Два автомобила тръгват едновременно един срещу друг от два града, разстоянието между които е 280 km. Скоростите им са 60 km/h и 80 km/h. След колко часа ще се срещнат?

    • 14 ч
    • 2 ч
    • 3,5 ч
    • 4 ч

    Отговор: след 2 часа

    Скоростта на сближаване е 60 + 80 = 140 km/h, затова t = 280 : 140 = 2 ч.

11. Сборът на три последователни естествени числа е 72. Кое е най-голямото от тях?

    • 25
    • 24
    • 23
    • 26

    Отговор: 25

    (n − 1) + n + (n + 1) = 3n = 72, n = 24, а числата са 23, 24 и 25.

12. След поскъпване с 20% една стока струва 36 евро. Каква е била първоначалната ѝ цена?

    • 30 евро
    • 28,80 евро
    • 16 евро
    • 43,20 евро

    Отговор: 30 евро

    1,2x = 36, x = 30 евро.

13. Колко грама вода трябва да се добавят към 300 g 20% разтвор на сол, за да се получи 15% разтвор?

    • 50 g
    • 75 g
    • 100 g
    • 400 g

    Отговор: 100 g

    Солта е 0,2·300 = 60 g. От 0,15(300 + x) = 60 следва 300 + x = 400, x = 100 g.

14. Бащата е на 40 години, а синът на 12. След колко години бащата ще е 3 пъти по-възрастен от сина?

    • след 4 години
    • след 6 години
    • след 2 години
    • след 8 години

    Отговор: след 2 години

    40 + x = 3(12 + x), 40 + x = 36 + 3x, x = 2.

15. Решете уравнението |x − 3| = |2x + 1|.

    • само x = −4
    • x = −4 или x = 2/3
    • x = 4 или x = −2/3
    • само x = 2/3

    Отговор: x = −4 или x = 2/3

    x − 3 = 2x + 1 дава x = −4, а x − 3 = −(2x + 1) дава x = 2/3.

Ъгли и триъгълник

1. Един от два съседни ъгъла е 65°. Колко градуса е другият?

   • 25°
   • 115°
   • 65°
   • 295°

   Отговор: 115°

   Сборът на два съседни ъгъла е 180°: 180° − 65° = 115°.

2. Един ъгъл е 40°. Колко градуса е противоположният му ъгъл?

   • 40°
   • 140°
   • 50°
   • 320°

   Отговор: 40°

   Противоположните (връхни) ъгли са равни.

3. Колко градуса е сборът от ъглите на триъгълник?

   • 90°
   • 360°
   • 270°
   • 180°

   Отговор: 180°

   Сборът от вътрешните ъгли на всеки триъгълник е 180°.

4. Два от ъглите на триъгълник са 48° и 67°. Колко градуса е третият ъгъл?

   • 115°
   • 245°
   • 75°
   • 65°

   Отговор: 65°

   Сборът на ъглите в триъгълник е 180°: 180° − 48° − 67° = 65°.

5. Ъглите при основата на равнобедрен триъгълник са по 50°. Колко градуса е ъгълът при върха?

   • 50°
   • 130°
   • 40°
   • 80°

   Отговор: 80°

   180° − 2·50° = 80°.

6. Колко градуса е всеки ъгъл на равностранен триъгълник?

   • 60°
   • 90°
   • 45°
   • 180°

   Отговор: 60°

   Трите ъгъла са равни: 180° : 3 = 60°.

7. В триъгълник ABC външният ъгъл при върха C е 130°, а ∠A = 55°. Колко градуса е ∠B?

   • 50°
   • 75°
   • 185°
   • 125°

   Отговор: 75°

   Външният ъгъл е равен на сбора на двата несъседни вътрешни ъгъла: ∠B = 130° − 55° = 75°.

8. Две успоредни прави са пресечени от трета. Единият от съответните ъгли е 68°. Колко градуса е другият съответен ъгъл?

   • 112°
   • 68°
   • 22°
   • 136°

   Отговор: 68°

   При успоредни прави съответните ъгли са равни.

9. Съществува ли триъгълник със страни 3 cm, 4 cm и 8 cm?

   • да, всеки три отсечки стават
   • да, защото 8 > 4
   • не, защото 3 + 4 < 8
   • не, защото 3 < 4

   Отговор: не, защото 3 + 4 < 8

   Сборът на всеки две страни трябва да е по-голям от третата, а 3 + 4 = 7 < 8.

10. Две успоредни прави са пресечени от трета права. Един от образуваните ъгли е 3 пъти по-голям от друг от тях. Колко градуса е по-малкият ъгъл?

    • 60°
    • 45°
    • 30°
    • 90°

    Отговор: 45°

    Образуваните ъгли са равни или се допълват до 180°. Ако x + 3x = 180°, то x = 45°.

11. Външен ъгъл на триъгълник е 120°, а несъседните му вътрешни ъгли се отнасят както 1 : 3. Колко градуса е по-големият от тях?

    • 30°
    • 60°
    • 90°
    • 80°

    Отговор: 90°

    Сборът им е 120°: x + 3x = 120°, x = 30°, а по-големият е 90°.

12. В правоъгълен триъгълник единият остър ъгъл е 30°, а хипотенузата е 14 cm. Колко е катетът срещу ъгъла от 30°?

    • 14 cm
    • 28 cm
    • 7 cm
    • 3,5 cm

    Отговор: 7 cm

    Катетът срещу ъгъл 30° е половината от хипотенузата: 7 cm.

13. Ъглите на триъгълник се отнасят както 2 : 3 : 4. Колко градуса е най-големият ъгъл?

    • 60°
    • 40°
    • 80°
    • 100°

    Отговор: 80°

    2k + 3k + 4k = 180°, k = 20°, най-големият ъгъл е 4·20° = 80°.

14. В ΔABC ∠A = 60° и ∠B = 80°. Ъглополовящата на ∠C пресича AB в точка L. Колко градуса е ∠ALC?

    • 100°
    • 80°
    • 120°
    • 110°

    Отговор: 100°

    ∠C = 40°, ∠ACL = 20°, значи ∠ALC = 180° − 60° − 20° = 100°.

15. В равнобедрения ΔABC (AC = BC) ∠C = 40°, а AH е височина към BC. Колко градуса е ∠BAH?

    • 20°
    • 70°
    • 50°
    • 30°

    Отговор: 20°

    ∠B = (180° − 40°) : 2 = 70°, а в ΔABH ∠BAH = 90° − 70° = 20°.

Финален въпрос