Математика 8 клас: преговор първи срок

Комбинаторика

1. По колко различни начина могат да се наредят 4 различни книги на един рафт?

   • 16
   • 12
   • 24
   • 4

   Отговор: 24

   Това са пермутации на 4 елемента: P₄ = 4! = 4·3·2·1 = 24.

2. По колко начина могат да се наредят 3 различни чаши в редица?

   • 3
   • 9
   • 6
   • 8

   Отговор: 6

   Пермутации на 3 елемента: P₃ = 3! = 3·2·1 = 6.

3. Колко е 5! ?

   • 25
   • 60
   • 15
   • 120

   Отговор: 120

   5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120.

4. От 10 ученици трябва да се изберат председател и секретар на класа. По колко начина може да стане това?

   • 90
   • 45
   • 20
   • 100

   Отговор: 90

   Редът има значение (различни длъжности), затова са вариации: V₁₀² = 10·9 = 90.

5. Колко двуцифрени числа могат да се запишат с цифрите 1, 2, 3, 4 и 5, ако цифрите може да се повтарят?

   • 25
   • 20
   • 10
   • 32

   Отговор: 25

   За първата цифра има 5 възможности и за втората също 5: 5·5 = 25.

6. Колко е C₆²?

   • 30
   • 15
   • 12
   • 36

   Отговор: 15

   C₆² = 6 · 5 : 2 = 15.

7. По колко начина от 7 ученици могат да се изберат 3 за дежурство (без разпределяне на задачи)?

   • 210
   • 35
   • 21
   • 343

   Отговор: 35

   Редът няма значение, затова са комбинации: C₇³ = (7·6·5)/(3·2·1) = 35.

8. В отбор има 8 футболисти. По колко начина треньорът може да избере 2 от тях за интервю?

   • 56
   • 16
   • 64
   • 28

   Отговор: 28

   Редът няма значение, затова това са комбинации: C₈² = 8·7/2 = 28.

9. Ресторант предлага 3 супи, 4 основни ястия и 2 десерта. Колко различни менюта от по едно ястие от всеки вид има?

   • 24
   • 9
   • 12
   • 48

   Отговор: 24

   По правилото за умножение: 3 · 4 · 2 = 24.

10. Колко трицифрени числа с различни цифри могат да се запишат с цифрите 0, 1, 2, 3, 4?

    • 60
    • 100
    • 48
    • 24

    Отговор: 48

    Първата цифра не може да е 0: 4 възможности, после 4 за втората и 3 за третата: 4·4·3 = 48.

11. По колко начина 3 момчета и 2 момичета могат да се наредят в редица, ако момичетата трябва да са в двата края?

    • 24
    • 12
    • 6
    • 120

    Отговор: 12

    Момичетата заемат краищата по 2! = 2 начина, а момчетата се нареждат в средата по 3! = 6 начина: 2·6 = 12.

12. По колко начина 5 души могат да седнат на 5 стола в редица, ако двама определени трябва да са един до друг?

    • 24
    • 120
    • 48
    • 96

    Отговор: 48

    Двамата са един блок: 4! = 24 подреждания, а вътре в блока 2: 24 · 2 = 48.

13. В равнината са дадени 8 точки, никои три от които не лежат на една права. Колко триъгълника с върхове в тези точки има?

    • 336
    • 28
    • 24
    • 56

    Отговор: 56

    Всеки триъгълник се определя от 3 точки без значение на реда: C₈³ = (8·7·6)/6 = 56.

14. Колко четни четирицифрени числа с различни цифри има?

    • 2520
    • 2296
    • 1792
    • 4536

    Отговор: 2296

    Ако последната цифра е 0: 9·8·7 = 504. Ако е 2, 4, 6 или 8: 4·8·8·7 = 1792. Общо 504 + 1792 = 2296.

15. Колко диагонала има изпъкнал осемоъгълник?

    • 28
    • 20
    • 16
    • 40

    Отговор: 20

    Отсечките между 8 върха са C₈² = 28, от тях 8 са страни: 28 − 8 = 20.

Вектори

1. На какво е равен сборът на векторите AB и BC?

   • вектор CA
   • вектор BB
   • нулевия вектор
   • вектор AC

   Отговор: вектор AC

   По правилото на триъгълника: AB + BC = AC (краят на първия е начало на втория).

2. Как се наричат два вектора, които лежат на една права или на успоредни прави?

   • равни
   • противоположни
   • нулеви
   • колинеарни

   Отговор: колинеарни

   Векторите, които лежат на една права или на успоредни прави, се наричат колинеарни.

3. Как се нарича вектор с дължина 0?

   • единичен вектор
   • противоположен вектор
   • колинеарен вектор
   • нулев вектор

   Отговор: нулев вектор

   Векторът, на който началото и краят съвпадат, е нулев.

4. ABCD е успоредник. На какво е равен сборът на векторите AB и AD?

   • вектор BD
   • вектор AC
   • вектор DB
   • вектор CA

   Отговор: вектор AC

   По правилото на успоредника сборът е диагоналът с начало A, т.е. AC.

5. ABCD е успоредник. На какво е равен сборът AB + CD?

   • нулевия вектор
   • AC
   • 2AB
   • BD

   Отговор: нулевия вектор

   В успоредника CD = −AB, затова сборът им е нулевият вектор.

6. Кой вектор е противоположен на AB?

   • AB
   • 2AB
   • нулевият вектор
   • BA

   Отговор: BA

   Противоположният вектор има същата дължина и обратна посока.

7. M е средата на отсечката AB. Кое е вярно за вектора AM?

   • AM = 2 AB
   • AM = 1/2 AB
   • AM = −1/2 AB
   • AM = AB

   Отговор: AM = 1/2 AB

   AM е половината от AB и има същата посока.

8. Векторите a и b са еднопосочни, |a| = 3 и |b| = 4. Намерете |a + b|.

   • 5
   • 1
   • 7
   • 12

   Отговор: 7

   При еднопосочни вектори дължината на сбора е сборът от дължините: 3 + 4 = 7.

9. На какво е равна разликата AB − AC?

   • BC
   • CB
   • CA
   • BA

   Отговор: CB

   AB − AC = CA + AB = CB.

10. G е медицентърът на триъгълник ABC, а M е средата на BC. За кое число k е вярно AG = k·AM?

    • 1/3
    • 1/2
    • 2/3
    • 3/2

    Отговор: k = 2/3

    Медицентърът дели медианата в отношение 2:1 от върха, затова AG = 2/3 AM.

11. Опростете 3(a − 2b) + 2(b + a).

    • 5a − 8b
    • a − 4b
    • 5a + 4b
    • 5a − 4b

    Отговор: 5a − 4b

    3a − 6b + 2b + 2a = 5a − 4b.

12. ABCD е успоредник, а O е пресечната точка на диагоналите му. На какво е равно OA + OC?

    • на AC
    • на 2OA
    • на нулевия вектор
    • на BD

    Отговор: на нулевия вектор

    O е среда на AC, затова OA и OC са противоположни.

13. M е средата на страната BC в триъгълник ABC. Как се изразява AM чрез AB и AC?

    • AM = AB + AC
    • AM = 1/2(AB + AC)
    • AM = 1/2(AB − AC)
    • AM = 1/2(AC − AB)

    Отговор: AM = 1/2(AB + AC)

    Векторът на медианата е полусбор на векторите на прилежащите страни.

14. Триъгълникът ABC е равностранен със страна 6. Намерете дължината на вектора AB + AC.

    • 12
    • 6√3
    • 6
    • 3√3

    Отговор: 6√3

    Ако M е средата на BC, то AB + AC = 2AM. Медианата AM е височина: 3√3, затова дължината е 6√3.

15. ABCD е трапец с основи AB = 10 и CD = 6. M и N са средите на AD и BC. Колко е дължината на MN?

    • 8
    • 16
    • 4
    • 2

    Отговор: 8

    MN = 1/2(AB + DC), а векторите са еднопосочни: (10 + 6) : 2 = 8.

Триъгълник и трапец

1. Страната AB на триъгълник ABC е 14 cm. Колко е дълга средната отсечка, успоредна на AB?

   • 14 cm
   • 28 cm
   • 3,5 cm
   • 7 cm

   Отговор: 7 cm

   Средната отсечка е равна на половината от страната, на която е успоредна: 14 : 2 = 7.

2. В какво отношение медицентърът дели всяка медиана, считано от върха?

   • 1 : 1
   • 3 : 1
   • 2 : 1
   • 1 : 2

   Отговор: 2 : 1

   Медицентърът дели всяка медиана в отношение 2 : 1, считано от върха.

3. Как се нарича отсечката, която свързва средите на две страни на триъгълник?

   • медиана
   • средна отсечка
   • височина
   • ъглополовяща

   Отговор: средна отсечка

   Отсечката между средите на две страни е средна отсечка.

4. Основите на трапец са 12 cm и 8 cm. Колко е средната му основа?

   • 10 cm
   • 20 cm
   • 4 cm
   • 2 cm

   Отговор: 10 cm

   Средната основа е полусборът на основите: (12 + 8) : 2 = 10.

5. Периметърът на триъгълник е 30 cm. Колко е периметърът на триъгълника, образуван от трите му средни отсечки?

   • 15 cm
   • 10 cm
   • 60 cm
   • 20 cm

   Отговор: 15 cm

   Всяка средна отсечка е половината от успоредната ѝ страна, затова периметърът е 30 : 2 = 15 cm.

6. Колко средни отсечки има един триъгълник?

   • 1
   • 2
   • 6
   • 3

   Отговор: 3

   Всяка двойка страни дава по една средна отсечка: общо 3.

7. Медианата AM на триъгълник е 12 cm, а G е медицентърът. Колко е AG?

   • 8 cm
   • 4 cm
   • 6 cm
   • 9 cm

   Отговор: 8 cm

   AG = 2/3 AM = 2/3·12 = 8 cm.

8. Медицентърът G на триъгълника ABC е на 3 cm от средата M на страната BC. Колко е медианата AM?

   • 6 cm
   • 12 cm
   • 4,5 cm
   • 9 cm

   Отговор: 9 cm

   GM е една трета от медианата, затова AM = 3·3 = 9 cm.

9. Как се нарича трапец с равни бедра?

   • равнобедрен
   • правоъгълен
   • равностранен
   • успоредник

   Отговор: равнобедрен

   Трапец с равни бедра е равнобедрен.

10. Равнобедрен трапец има основи 20 cm и 8 cm. Колко е проекцията на бедрото върху голямата основа?

    • 12 cm
    • 14 cm
    • 6 cm
    • 4 cm

    Отговор: 6 cm

    Проекцията на бедрото е полуразликата на основите: (20 − 8) : 2 = 6.

11. В трапеца ABCD (AB ∥ CD) ∠A = 40° и ∠C = 125°. Колко е ∠B + ∠D?

    • 165°
    • 195°
    • 180°
    • 215°

    Отговор: 195°

    ∠D = 180° − 40° = 140° и ∠B = 180° − 125° = 55°, затова сборът е 195°.

12. В правоъгълния ΔABC (∠C = 90°) медианата към хипотенузата е 6,5 cm. Колко е хипотенузата?

    • 6,5 cm
    • 3,25 cm
    • 13 cm
    • 19,5 cm

    Отговор: 13 cm

    Медианата към хипотенузата е половината от хипотенузата: 2 · 6,5 = 13 cm.

13. Средната основа на трапец е 15 cm, а едната основа е с 6 cm по-голяма от другата. Колко е голямата основа?

    • 12 cm
    • 21 cm
    • 15 cm
    • 18 cm

    Отговор: 18 cm

    a + b = 30 и a − b = 6, откъдето a = 18 и b = 12.

14. Основите на трапец са 18 cm и 10 cm. Колко е отсечката от средната основа, заключена между диагоналите?

    • 5 cm
    • 4 cm
    • 8 cm
    • 9 cm

    Отговор: 4 cm

    Тази отсечка е половината от разликата на основите: (18 − 10) : 2 = 4 cm.

15. Равнобедрен трапец има основи 16 cm и 6 cm и ъгъл 45° при голямата основа. Колко е височината му?

    • 10 cm
    • 11 cm
    • 5 cm
    • 8 cm

    Отговор: 5 cm

    Проекцията на бедрото е (16 − 6) : 2 = 5 cm, а при 45° височината е равна на нея.

Квадратен корен

1. Пресметнете √0,49.

   • 0,7
   • 0,07
   • 7
   • 0,49

   Отговор: 0,7

   0,7² = 0,49.

2. Пресметнете √144.

   • 14
   • 72
   • 11
   • 12

   Отговор: 12

   12·12 = 144, затова √144 = 12.

3. Пресметнете √(9/16).

   • 3/4
   • 9/4
   • 3/16
   • 81/256

   Отговор: 3/4

   √9 = 3 и √16 = 4.

4. Пресметнете √12 · √3.

   • 6
   • √15
   • 36
   • 3√2

   Отговор: 6

   √12 · √3 = √36 = 6.

5. Изнесете множител пред корена: √48.

   • 4√3
   • 3√3
   • 6√2
   • 2√6

   Отговор: 4√3

   √48 = √(16·3) = 4√3.

6. Пресметнете √((−5)²).

   • −5
   • ±5
   • 25
   • 5

   Отговор: 5

   √(a²) = |a|, а |−5| = 5.

7. Опростете √50 − √18.

   • √32
   • 2√2
   • 8√2
   • 2

   Отговор: 2√2

   √50 = 5√2 и √18 = 3√2, разликата е 2√2. Не може да се вадят подкоренните величини.

8. Пресметнете √(16·25·0,01).

   • 20
   • 0,2
   • 2
   • 4

   Отговор: 2

   √16·√25·√0,01 = 4·5·0,1 = 2.

9. Внесете множителя под корена: 3√2.

   • √6
   • √18
   • √12
   • √36

   Отговор: √18

   3√2 = √(9 · 2) = √18.

10. Рационализирайте знаменателя на 6/√3.

    • 6√3
    • 3√2
    • 2√3
    • √3/3

    Отговор: 2√3

    6/√3 = 6√3/3 = 2√3.

11. Кое от числата е най-голямо?

    • 3√3
    • 5
    • √26
    • 2√7

    Отговор: 2√7

    2√7 = √28, 3√3 = √27, 5 = √25, а най-голямото подкоренно число е 28.

12. При кои стойности на x изразът √(x − 3) има смисъл?

    • x ≥ 3
    • x > 3
    • x ≤ 3
    • x ≥ −3

    Отговор: x ≥ 3

    Подкоренната величина трябва да е неотрицателна: x − 3 ≥ 0.

13. Рационализирайте знаменателя на 1/(√5 − 2).

    • √5 − 2
    • √5 + 2
    • (√5 + 2)/9
    • (√5 + 2)/3

    Отговор: √5 + 2

    Умножаваме по √5 + 2: знаменателят става (√5)² − 2² = 5 − 4 = 1.

14. Пресметнете (√3 − 1)² + 2√3.

    • 2
    • 4
    • 4 − 4√3
    • 2 + 2√3

    Отговор: 4

    (√3 − 1)² = 3 − 2√3 + 1 = 4 − 2√3, а като прибавим 2√3, получаваме 4.

15. Пресметнете (√7 + √2)(√7 − √2).

    • 9
    • √5
    • 5
    • 3

    Отговор: 5

    (a + b)(a − b) = a² − b² = 7 − 2 = 5.

Квадратни уравнения

1. Решете уравнението x² − 9 = 0.

   • x = 3
   • x = 9
   • x = ±3
   • x = ±9

   Отговор: x_1,2 = ±3

   x² = 9, откъдето x = 3 или x = −3. Не забравяйте отрицателния корен.

2. Решете уравнението x² − 4x = 0.

   • x = 4
   • x = ±2
   • x = 0 и x = 4
   • x = 0 и x = −4

   Отговор: x = 0 и x = 4

   x(x − 4) = 0, откъдето x = 0 или x = 4.

3. Кое от уравненията е квадратно?

   • 2x − 1 = 0
   • 2x² − x + 1 = 0
   • x³ − x = 0
   • 1/x + x = 2

   Отговор: 2x² − x + 1 = 0

   Квадратното уравнение има вида ax² + bx + c = 0, a ≠ 0.

4. Колко е дискриминантата на уравнението 2x² − 5x + 3 = 0?

   • 1
   • 49
   • −1
   • 19

   Отговор: D = 1

   D = b² − 4ac = 25 − 24 = 1.

5. Колко реални корена има уравнението x² + 4x + 5 = 0?

   • 0
   • 1
   • 2
   • 4

   Отговор: 0

   D = 16 − 20 = −4 < 0, затова уравнението няма реални корени.

6. Решете уравнението 3x² = 0.

   • x = ±3
   • x = 3
   • няма корени
   • x = 0

   Отговор: x = 0

   x² = 0, затова x = 0 (двоен корен).

7. Кои са корените на уравнението x² − 5x + 6 = 0?

   • 2 и 3
   • −2 и −3
   • 1 и 6
   • −1 и 6

   Отговор: x₁ = 2, x₂ = 3

   D = 1, x = (5 ± 1)/2, т.е. 2 и 3. Проверка по Виет: 2 + 3 = 5, 2·3 = 6.

8. Решете уравнението x² + 2x − 8 = 0.

   • x = −2 и x = 4
   • x = 1 и x = −8
   • x = 4 и x = 2
   • x = 2 и x = −4

   Отговор: x = 2 и x = −4

   D = 4 + 32 = 36, x = (−2 ± 6)/2, т.е. x = 2 или x = −4.

9. Решете уравнението (x − 2)² = 9.

   • само x = 5
   • x = 11 и x = −7
   • x = 1 и x = −5
   • x = 5 и x = −1

   Отговор: x = 5 и x = −1

   x − 2 = 3 или x − 2 = −3, откъдето x = 5 или x = −1.

10. За уравнението x² + 7x − 8 = 0 намерете сбора и произведението на корените.

    • сбор 7, произведение −8
    • сбор −7, произведение 8
    • сбор 7, произведение 8
    • сбор −7, произведение −8

    Отговор: x₁ + x₂ = −7, x₁x₂ = −8

    По формулите на Виет за x² + px + q = 0: сборът е −p, произведението е q.

11. Единият корен на уравнението x² − 7x + q = 0 е 2. Намерете q.

    • 5
    • 10
    • −10
    • 14

    Отговор: 10

    По Виет другият корен е 7 − 2 = 5, а q = 2·5 = 10.

12. При коя стойност на m уравнението x² − 6x + m = 0 има двоен корен?

    • 6
    • 9
    • −9
    • 36

    Отговор: 9

    D = 36 − 4m = 0, m = 9.

13. Решете биквадратното уравнение x⁴ − 5x² + 4 = 0.

    • 1 и 4
    • 1 и 2
    • ±1 и ±4
    • ±1 и ±2

    Отговор: x = ±1, x = ±2

    Полагаме t = x²: t² − 5t + 4 = 0, t = 1 или t = 4, откъдето x = ±1, ±2.

14. Решете уравнението (x + 1)(x − 3) = 5.

    • x = −1 и x = 3
    • x = 4 и x = −2
    • x = 2 и x = −4
    • x = 6 и x = −2

    Отговор: x = 4 и x = −2

    x² − 2x − 3 = 5, т.е. x² − 2x − 8 = 0, откъдето x = 4 или x = −2.

15. Колко е сборът от квадратите на корените на уравнението x² − 4x − 5 = 0?

    • 6
    • 16
    • 26
    • 36

    Отговор: 26

    x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = 16 + 10 = 26.

Финален въпрос