Математика 8 клас: преговор втори срок

Окръжност

1. Окръжност има радиус 5 cm, а разстоянието от центъра ѝ до правата g е 3 cm. Колко общи точки имат правата и окръжността?

   • 1
   • 0
   • безброй много
   • 2

   Отговор: 2

   Разстоянието 3 cm е по-малко от радиуса 5 cm, затова правата е секуща и има 2 общи точки с окръжността.

2. Точка A е на разстояние 5 cm от центъра на окръжност с радиус 5 cm. Как е разположена A?

   • вътрешна точка
   • външна точка
   • лежи на окръжността
   • в центъра

   Отговор: лежи на окръжността

   Разстоянието до центъра е равно на радиуса, затова точката лежи на окръжността.

3. Как се нарича хорда, която минава през центъра на окръжността?

   • диаметър
   • радиус
   • допирателна
   • секуща

   Отговор: диаметър

   Хордата през центъра е диаметър.

4. От точка A извън окръжност с център O и радиус 6 cm е построена допирателна AT (T е допирната точка). Ако AO = 10 cm, колко сантиметра е AT?

   • 4 cm
   • 16 cm
   • 6 cm
   • 8 cm

   Отговор: 8 cm

   OT ⊥ AT, затова по Питагоровата теорема AT = √(10² − 6²) = √64 = 8 cm.

5. Как се нарича права, която има точно една обща точка с окръжността?

   • допирателна
   • секуща
   • хорда
   • диаметър

   Отговор: допирателна

   Права с точно една обща точка с окръжността е допирателна към нея.

6. Какъв ъгъл сключва допирателната с радиуса към допирната точка?

   • 45°
   • 90°
   • 180°
   • 60°

   Отговор: 90°

   Допирателната е перпендикулярна на радиуса в допирната точка.

7. Хорда AB на окръжност с радиус 13 cm е на разстояние 5 cm от центъра. Колко сантиметра е AB?

   • 12 cm
   • 18 cm
   • 26 cm
   • 24 cm

   Отговор: 24 cm

   Перпендикулярът от центъра разполовява хордата: AB/2 = √(13² − 5²) = 12 cm, AB = 24 cm.

8. Диаметърът AB е перпендикулярен на хордата CD и я пресича в точка M. CM = 6 cm, а разстоянието от центъра O до M е 8 cm. Колко е радиусът?

   • 14 cm
   • 12 cm
   • 7 cm
   • 10 cm

   Отговор: 10 cm

   OC е радиус, а триъгълникът OMC е правоъгълен: OC = √(6² + 8²) = 10 cm.

9. Колко общи допирателни имат две окръжности, които се допират външно?

   • 2
   • 4
   • 1
   • 3

   Отговор: 3

   Две външни общи допирателни и една обща в допирната точка.

10. Две окръжности имат радиуси 7 cm и 3 cm, а разстоянието между центровете им е 5 cm. Какво е взаимното им положение?

    • допират се външно
    • допират се вътрешно
    • пресичат се
    • нямат общи точки

    Отговор: пресичат се

    7 − 3 < 5 < 7 + 3, т.е. 4 < 5 < 10, затова окръжностите се пресичат в две точки.

11. От точка A към окръжност са построени допирателните AB и AC (B и C са допирни точки), ∠BAC = 60° и AB = 6 cm. Колко е BC?

    • 3 cm
    • 6 cm
    • 6√3 cm
    • 12 cm

    Отговор: 6 cm

    AB = AC, а ъгълът между тях е 60°, затова триъгълникът ABC е равностранен и BC = 6 cm.

12. Точките A и B лежат на окръжност с център O и радиус 5 cm, а ∠AOB = 60°. Колко е хордата AB?

    • 5 cm
    • 10 cm
    • 2,5 cm
    • 5√3 cm

    Отговор: 5 cm

    ΔAOB е равнобедрен с ъгъл 60° при върха, значи е равностранен: AB = 5 cm.

13. От точка A извън окръжност с център O са построени допирателните AB и AC (B и C са допирните точки). Ако ∠BAC = 50°, колко градуса е ∠BOC?

    • 50°
    • 130°
    • 100°
    • 65°

    Отговор: 130°

    ∠ABO = ∠ACO = 90°, а сборът от ъглите на четириъгълника ABOC е 360°: ∠BOC = 360° − 180° − 50° = 130°.

14. Окръжност има радиус 6 cm. От точка A е построена допирателна AT = 8 cm (T е допирната точка). Колко е най-малкото разстояние от A до точка от окръжността?

    • 2 cm
    • 4 cm
    • 8 cm
    • 10 cm

    Отговор: 4 cm

    AO = √(6² + 8²) = 10 cm, а най-близката точка от окръжността е на 10 − 6 = 4 cm.

15. Две окръжности с радиуси 9 cm и 4 cm се допират външно. Колко е отсечката от обща външна допирателна между допирните точки?

    • 13 cm
    • 5 cm
    • 12 cm
    • 6 cm

    Отговор: 12 cm

    Разстоянието между центровете е 13 cm, разликата на радиусите е 5 cm: √(13² − 5²) = 12 cm.

Ъгли в окръжност

1. Централен ъгъл е 80°. Колко градуса е вписан ъгъл, който се опира на същата дъга?

   • 40°
   • 80°
   • 160°
   • 100°

   Отговор: 40°

   Вписаният ъгъл е половината от централния ъгъл, опиращ се на същата дъга: 80° : 2 = 40°.

2. Вписан ъгъл е 40°. Колко градуса е дъгата, на която се опира?

   • 40°
   • 20°
   • 140°
   • 80°

   Отговор: 80°

   Вписаният ъгъл е половината от дъгата, на която се опира: дъгата е 2·40° = 80°.

3. Колко градуса е вписан ъгъл, който се опира на диаметър?

   • 180°
   • 45°
   • 90°
   • 60°

   Отговор: 90°

   Диаметърът отсича дъга 180°, а вписаният ъгъл е половината от нея.

4. Точките A, B и C лежат на окръжност, а AB е диаметър. Ако ∠ABC = 35°, колко градуса е ∠BAC?

   • 35°
   • 90°
   • 45°
   • 55°

   Отговор: 55°

   ∠ACB = 90°, защото се опира на диаметър. ∠BAC = 90° − 35° = 55°.

5. Точките C и D лежат на една и съща дъга AB от окръжност, а ∠ACB = 50°. Колко е ∠ADB?

   • 50°
   • 100°
   • 25°
   • 130°

   Отговор: 50°

   Вписаните ъгли, които се опират на една и съща дъга, са равни.

6. Централен ъгъл е 110°. Колко градуса е дъгата, на която се опира?

   • 110°
   • 55°
   • 220°
   • 70°

   Отговор: 110°

   Централният ъгъл се измерва с дъгата, на която се опира.

7. Хордата AB отсича дъга 140°. Колко градуса е периферният ъгъл между хордата AB и допирателната в точка A, който обхваща тази дъга?

   • 140°
   • 110°
   • 70°
   • 40°

   Отговор: 70°

   Периферният ъгъл е половината от дъгата между раменете си: 140° : 2 = 70°.

8. O е центърът на окръжност, а ∠AOB = 100°. Колко е ∠OAB?

   • 50°
   • 80°
   • 40°
   • 100°

   Отговор: 40°

   OA = OB, затова триъгълникът AOB е равнобедрен и ∠OAB = (180° − 100°) : 2 = 40°.

9. Точките A, B и C делят окръжност на дъги в отношение 1 : 2 : 3. Колко градуса е най-малкият ъгъл на ΔABC?

   • 60°
   • 20°
   • 45°
   • 30°

   Отговор: 30°

   Дъгите са 60°, 120° и 180°, ъглите са половината: 30°, 60° и 90°.

10. Хордите AC и BD се пресичат във вътрешна точка M на окръжността. Дъгите AB и CD, заключени между раменете на ∠AMB и на противоположния му ъгъл, са 70° и 50°. Колко градуса е ∠AMB?

    • 120°
    • 10°
    • 35°
    • 60°

    Отговор: 60°

    Ъгъл с връх вътре в окръжността е равен на полусбора на дъгите: (70° + 50°) : 2 = 60°.

11. Хордите AC и BD се пресичат в точка M вътре в окръжността, ∠AMB = 70°, а дъгата AB (между раменете му) е 90°. Колко е дъгата CD между раменете на противоположния ъгъл?

    • 40°
    • 70°
    • 20°
    • 50°

    Отговор: 50°

    ∠AMB = (дъга AB + дъга CD) : 2, т.е. 70° = (90° + CD) : 2, откъдето CD = 50°.

12. Вписан ъгъл и централен ъгъл се опират на една и съща дъга, а сборът им е 120°. Колко градуса е вписаният ъгъл?

    • 80°
    • 40°
    • 60°
    • 30°

    Отговор: 40°

    Централният е 2 пъти по-голям: x + 2x = 120°, x = 40°.

13. Две секущи излизат от точка P извън окръжност и отсичат от нея дъги 130° и 40°, заключени между раменете на ∠P. Колко градуса е ∠P?

    • 85°
    • 45°
    • 90°
    • 20°

    Отговор: 45°

    Ъгъл с връх вън от окръжността е равен на полуразликата на дъгите: (130° − 40°) : 2 = 45°.

14. Триъгълникът ABC е вписан в окръжност, ∠A = 48° и ∠B = 72°. Колко градуса е дъгата AB, която не съдържа C?

    • 96°
    • 120°
    • 144°
    • 60°

    Отговор: 120°

    ∠C = 180° − 48° − 72° = 60°, а дъгата AB е 2·60° = 120°.

15. Хордата AB е равна на радиуса на окръжността, а C лежи на по-голямата дъга AB. Колко градуса е ∠ACB?

    • 30°
    • 60°
    • 150°
    • 45°

    Отговор: 30°

    ΔAOB е равностранен, централният ъгъл е 60°, а вписаният е 30°.

Рационални дроби

1. При коя стойност на x дробта (x + 3)/(x − 2) няма смисъл?

   • x = −3
   • x = 0
   • x = 2
   • x = −2

   Отговор: x = 2

   Знаменателят не може да е 0: x − 2 = 0 при x = 2.

2. Намерете стойността на дробта (x + 1)/(x − 1) при x = 3.

   • 1/2
   • 4
   • 2
   • 1

   Отговор: 2

   (3 + 1)/(3 − 1) = 4/2 = 2.

3. Кой от изразите е дробен рационален израз?

   • x + 5
   • 3x² − 1
   • (x + 1)/(x − 3)
   • 2x − 7

   Отговор: (x + 1)/(x − 3)

   В дробния израз има променлива в знаменателя.

4. Съкратете дробта (x² − 9)/(x + 3).

   • x + 3
   • x − 9
   • x − 3
   • x² − 3

   Отговор: x − 3

   x² − 9 = (x − 3)(x + 3), съкращаваме с x + 3.

5. Съкратете дробта 6x/(3x²).

   • 2/x
   • 2x
   • 3/x
   • 2

   Отговор: 2/x

   Делим числителя и знаменателя на 3x: 6x/(3x²) = 2/x.

6. Пресметнете 3/(2x) + 5/(2x).

   • 8/(4x)
   • 4/x
   • 8/x
   • 15/(4x²)

   Отговор: 4/x

   Еднакви знаменатели: 8/(2x) = 4/x.

7. Опростете 1/x + 1/(x + 1).

   • (2x + 1)/(x² + x)
   • 2/(2x + 1)
   • 2/(x² + x)
   • (x + 2)/(x² + x)

   Отговор: (2x + 1)/(x² + x)

   Общ знаменател x(x + 1): (x + 1 + x)/(x(x + 1)) = (2x + 1)/(x² + x).

8. Опростете a/(a − b) + b/(b − a).

   • (a + b)/(a − b)
   • 0
   • −1
   • 1

   Отговор: 1

   b/(b − a) = −b/(a − b), затова сборът е (a − b)/(a − b) = 1.

9. Опростете (x²/y) · (y²/x³).

   • x/y
   • xy
   • y³/x
   • y/x

   Отговор: y/x

   x²y²/(x³y) = y/x.

10. Опростете (a² − 4)/(a² + 2a) : (a − 2)/a².

    • 1/a
    • a
    • a²
    • a − 2

    Отговор: a

    (a − 2)(a + 2)/(a(a + 2)) · a²/(a − 2) = a.

11. Съкратете дробта (x² − 2x + 1)/(x² − 1).

    • (x + 1)/(x − 1)
    • (x − 1)/(x + 1)
    • x − 1
    • −2x

    Отговор: (x − 1)/(x + 1)

    (x − 1)²/((x − 1)(x + 1)) = (x − 1)/(x + 1).

12. При кои стойности на x дробта (x − 5)/(x² − 25) има смисъл?

    • само x ≠ 5
    • x ≠ 25
    • при всяко x
    • x ≠ 5 и x ≠ −5

    Отговор: x ≠ 5 и x ≠ −5

    Знаменателят x² − 25 = (x − 5)(x + 5) не трябва да е 0.

13. Опростете (x/(x − 1) − 1) · (x² − 1).

    • x − 1
    • x + 1
    • 1
    • x² + 1

    Отговор: x + 1

    x/(x − 1) − 1 = 1/(x − 1), а 1/(x − 1) · (x − 1)(x + 1) = x + 1.

14. Опростете (1/a − 1/b) : ((b² − a²)/(ab)).

    • 1/(b − a)
    • 1/(a + b)
    • a + b
    • 1/(ab)

    Отговор: 1/(a + b)

    1/a − 1/b = (b − a)/(ab). Делим: (b − a)/(ab) · ab/((b − a)(b + a)) = 1/(a + b).

15. Опростете (x + 2)/(x − 2) − (x − 2)/(x + 2).

    • 4/(x − 2)
    • 8x/(x² − 4)
    • 0
    • 8x/(x − 2)²

    Отговор: 8x/(x² − 4)

    Общ знаменател x² − 4, числител (x + 2)² − (x − 2)² = 8x.

Дробни уравнения

1. Решете уравнението 6/x = 3.

   • x = 2
   • x = 18
   • x = 1/2
   • x = 3

   Отговор: x = 2

   x ≠ 0, 3x = 6, x = 2.

2. Решете уравнението 1/x = 1/7.

   • x = 1/7
   • x = −7
   • x = 1
   • x = 7

   Отговор: x = 7

   Две дроби с равни числители са равни, когато знаменателите са равни: x = 7.

3. Решете уравнението 10/x = −2.

   • x = 5
   • x = −20
   • x = −5
   • x = 8

   Отговор: x = −5

   x = 10 : (−2) = −5.

4. Решете уравнението (x − 4)/(x + 1) = 0.

   • x = −1
   • x = 4
   • x = 4 и x = −1
   • няма решение

   Отговор: x = 4

   Дробта е 0, когато числителят е 0, а знаменателят не е: x = 4.

5. Решете уравнението 1/x + 1/x = 1.

   • x = 2
   • x = 1
   • x = 1/2
   • x = 0

   Отговор: x = 2

   2/x = 1, откъдето x = 2.

6. Кое число не може да е корен на уравнението (x + 1)/(x − 4) = 2?

   • x = 4
   • x = −1
   • x = 2
   • x = 0

   Отговор: x = 4

   При x = 4 знаменателят става 0. Коренът е x = 9.

7. Решете уравнението (x² − 4)/(x − 2) = 0.

   • x = 2
   • x = ±2
   • няма решение
   • x = −2

   Отговор: x = −2

   Допустими са x ≠ 2. От x² − 4 = 0 следва x = ±2, но остава само x = −2.

8. Решете уравнението x/(x + 1) = 3/4.

   • x = 4
   • x = −3
   • x = 3
   • x = 1

   Отговор: x = 3

   4x = 3(x + 1), т.е. 4x = 3x + 3 и x = 3. При x = 3 знаменателят не е 0.

9. Решете уравнението 1/(x − 1) + 1/(x + 1) = 0.

   • x = 1
   • x = 0
   • x = −1
   • няма решение

   Отговор: x = 0

   Общ знаменател: 2x/(x² − 1) = 0, откъдето x = 0.

10. Решете уравнението 2/(x − 1) = 3/(x + 1).

    • x = 5
    • x = −5
    • x = 1
    • x = 1/5

    Отговор: x = 5

    2(x + 1) = 3(x − 1), 2x + 2 = 3x − 3, x = 5 (допустим, защото x ≠ ±1).

11. Решете уравнението 3/(x − 2) + 1 = x/(x − 2).

    • x = 2
    • x = 3
    • всяко x ≠ 2
    • няма решение

    Отговор: няма решение

    Умножаваме по x − 2: 3 + x − 2 = x, т.е. x + 1 = x, което не е вярно за никое x.

12. Решете уравнението x − 6/x = 1.

    • само x = 3
    • x = −3 и x = 2
    • x = 6
    • x = 3 и x = −2

    Отговор: x = 3 и x = −2

    x² − x − 6 = 0, корените са 3 и −2 (и двата са различни от 0).

13. Лодка изминава 12 km по течението и 12 km срещу течението за общо 5 часа. Скоростта на течението е 1 km/h. Каква е собствената скорост на лодката?

    • 5 km/h
    • 4 km/h
    • 6 km/h
    • 7 km/h

    Отговор: 5 km/h

    12/(v + 1) + 12/(v − 1) = 5, откъдето 5v² − 24v − 5 = 0 и v = 5 (другият корен −1/5 не е скорост).

14. Влак изминава 120 km. Ако скоростта му е с 20 km/h по-голяма, ще пристигне с 1 час по-рано. Каква е скоростта му?

    • 60 km/h
    • 40 km/h
    • 30 km/h
    • 50 km/h

    Отговор: 40 km/h

    120/v − 120/(v + 20) = 1 води до v² + 20v − 2400 = 0, откъдето v = 40 km/h (120 : 40 = 3 h, а 120 : 60 = 2 h).

15. Двама работници заедно свършват една работа за 6 дни. Първият сам би я свършил за 10 дни. За колко дни би я свършил вторият сам?

    • 15
    • 4
    • 16
    • 12

    Отговор: 15

    1/6 − 1/10 = 1/15, затова вторият работи 15 дни.

Вписани и описани

1. Центърът на описаната около триъгълник окръжност е пресечната точка на:

   • симетралите на страните
   • ъглополовящите
   • медианите
   • височините

   Отговор: симетралите на страните

   Центърът на описаната окръжност е на равни разстояния от върховете, затова лежи на симетралите на страните.

2. Колко окръжности могат да се опишат около даден триъгълник?

   • две
   • безброй много
   • точно една
   • нито една

   Отговор: точно една

   Центърът е пресечната точка на симетралите на страните, а тя е единствена, затова описаната окръжност е точно една.

3. Центърът на вписаната в триъгълник окръжност е пресечната точка на:

   • симетралите
   • медианите
   • ъглополовящите
   • височините

   Отговор: ъглополовящите

   Центърът е на равни разстояния от страните, значи лежи на ъглополовящите.

4. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 10 cm. Колко сантиметра е радиусът на описаната около него окръжност?

   • 5 cm
   • 10 cm
   • 20 cm
   • 2,5 cm

   Отговор: 5 cm

   Центърът на описаната окръжност е средата на хипотенузата: R = 10 : 2 = 5 cm.

5. Ъглите на триъгълник са 50°, 60° и 70°. Къде е центърът на описаната около него окръжност?

   • вътре в триъгълника
   • вън от триъгълника
   • на една от страните
   • в един от върховете

   Отговор: вътре в триъгълника

   Триъгълникът е остроъгълен, а при остроъгълен триъгълник центърът на описаната окръжност е вътре в него.

6. Квадрат има страна 8 cm. Колко е радиусът на вписаната в него окръжност?

   • 8 cm
   • 4√2 cm
   • 4 cm
   • 2 cm

   Отговор: 4 cm

   Диаметърът на вписаната окръжност е равен на страната: r = 8 : 2 = 4 cm.

7. Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност и ∠A = 75°. Колко градуса е ∠C?

   • 75°
   • 105°
   • 115°
   • 150°

   Отговор: 105°

   Във вписан четириъгълник сборът на срещулежащите ъгли е 180°: ∠C = 180° − 75° = 105°.

8. Около кой от тези четириъгълници НЕ може да се опише окръжност?

   • квадрат
   • правоъгълник
   • равнобедрен трапец
   • успоредник с ъгли 60° и 120°

   Отговор: успоредник с ъгли 60° и 120°

   За вписан четириъгълник сборът на срещуположните ъгли е 180°, а при този успоредник 60° + 60° = 120°.

9. Около кой четириъгълник винаги може да се опише окръжност?

   • правоъгълник
   • ромб
   • успоредник
   • трапец

   Отговор: правоъгълник

   Срещуположните ъгли на правоъгълника са по 90° и сборът им е 180°.

10. Четириъгълникът ABCD е описан около окръжност. AB = 7 cm, BC = 9 cm и CD = 8 cm. Колко сантиметра е AD?

    • 8 cm
    • 10 cm
    • 6 cm
    • 7 cm

    Отговор: 6 cm

    В описан четириъгълник AB + CD = BC + AD: 7 + 8 = 9 + AD, AD = 6 cm.

11. Правоъгълен трапец е описан около окръжност с радиус 4 cm. Колко е бедрото, перпендикулярно на основите?

    • 4 cm
    • 8 cm
    • 16 cm
    • 2 cm

    Отговор: 8 cm

    Това бедро е равно на височината на трапеца, а тя е равна на диаметъра на вписаната окръжност: 2·4 = 8 cm.

12. Колко е радиусът на описаната около квадрат със страна 6 cm окръжност?

    • 6 cm
    • 3 cm
    • 6√2 cm
    • 3√2 cm

    Отговор: 3√2 cm

    Диагоналът е 6√2 cm и е диаметър, R = 3√2 cm.

13. Катетите на правоъгълен триъгълник са 6 cm и 8 cm. Колко сантиметра е радиусът на вписаната окръжност?

    • 5 cm
    • 4 cm
    • 2 cm
    • 3 cm

    Отговор: 2 cm

    Хипотенузата е 10 cm, r = (a + b − c)/2 = (6 + 8 − 10)/2 = 2 cm.

14. Равнобедрен триъгълник има основа 12 cm и бедро 10 cm. Колко е радиусът на вписаната в него окръжност?

    • 4 cm
    • 3 cm
    • 2 cm
    • 6 cm

    Отговор: 3 cm

    Височината към основата е √(10² − 6²) = 8 cm, лицето е 48 cm², полупериметърът е 16 cm и r = 48 : 16 = 3 cm.

15. Равностранен триъгълник има страна 6 cm. Колко е радиусът на описаната около него окръжност?

    • √3 cm
    • 2√3 cm
    • 3√3 cm
    • 3 cm

    Отговор: 2√3 cm

    R = 2/3 от височината: височината е 3√3 cm, R = 2√3 cm.

Финален въпрос