Цели изрази

Едночлени

1. Каква е степента на едночлена 5x³y²?

   • 3
   • 6
   • 2
   • 5

   Отговор: 5

   Степента на едночлена е сборът от степенните показатели на променливите: 3 + 2 = 5.

2. Какъв е коефициентът на едночлена −x²y?

   • 1
   • −1
   • 0
   • 2

   Отговор: −1

   Пред x²y стои само знак минус, т.е. множител −1.

3. Кой от изразите е едночлен?

   • 3x + 1
   • 5a²b
   • x − y
   • a + b + c

   Отговор: 5a²b

   Едночленът е произведение на числа и променливи, без събиране и изваждане.

4. Кои два едночлена са подобни?

   • 3a²b и 3ab²
   • 3a²b и −7a²b
   • 2x³ и 2x²
   • 5xy и 5x

   Отговор: 3a²b и −7a²b

   Подобните едночлени имат еднаква буквена част: a²b и в двата.

5. Умножете едночлените 3a² и −4a³.

   • −12a⁶
   • −12a⁵
   • −a⁵
   • 12a⁵

   Отговор: −12a⁵

   Коефициентите се умножават: 3·(−4) = −12, а степенните показатели се събират: 2 + 3 = 5.

6. Каква е степента на едночлена 7?

   • 0
   • 1
   • 7
   • няма степен

   Отговор: 0

   Число, различно от 0, е едночлен от нулева степен.

7. Приведете подобните едночлени: 3x²y − 5x²y + x²y.

   • −2x²y
   • −x²y
   • 9x²y
   • x²y

   Отговор: −x²y

   Събираме коефициентите: 3 − 5 + 1 = −1, буквената част остава x²y.

8. Намерете стойността на едночлена −3x²y при x = −2 и y = 1/3.

   • −4
   • 4
   • −12
   • 12

   Отговор: −4

   −3·(−2)²·1/3 = −3·4·1/3 = −4.

9. Запишете в нормален вид 2a·3b·(−a).

   • 6a²b
   • −6ab
   • −6a²b
   • 5a²b

   Отговор: −6a²b

   2·3·(−1) = −6, a·a = a², резултатът е −6a²b.

10. Запишете в нормален вид (−2a²b)³.

    • −6a⁶b³
    • −8a⁵b³
    • 8a⁶b³
    • −8a⁶b³

    Отговор: −8a⁶b³

    (−2)³ = −8, (a²)³ = a⁶, b³ остава.

11. Запишете в нормален вид (3x²y)²·(−xy³).

    • −6x⁵y⁵
    • 9x⁵y⁵
    • −9x⁴y⁶
    • −9x⁵y⁵

    Отговор: −9x⁵y⁵

    (3x²y)² = 9x⁴y², а 9x⁴y²·(−xy³) = −9x⁵y⁵.

12. Дадени са a = 2x² и b = −3x. На какво е равно a·b²?

    • −18x⁴
    • 12x⁴
    • −6x³
    • 18x⁴

    Отговор: 18x⁴

    b² = 9x², а 2x²·9x² = 18x⁴.

13. Произведението на едночлените 2xⁿy и 3x²y³ е едночлен от 9-та степен. На колко е равно n?

    • 5
    • 4
    • 3
    • 1

    Отговор: 3

    Произведението е 6x^{n + 2}y⁴ със степен n + 6 = 9, откъдето n = 3.

14. Сборът на едночлените 5aⁿb² и −2a³b² е едночлен. На колко е равно n?

    • 2
    • 5
    • 3
    • 6

    Отговор: 3

    Сборът е едночлен само ако едночлените са подобни, т.е. n = 3.

15. Каква е стойността на израза (−1)ⁿ·x²ⁿ при n = 3 и x = −1?

    • 1
    • −1
    • 0
    • 6

    Отговор: −1

    (−1)³ = −1, а x⁶ = (−1)⁶ = 1. Произведението е −1.

Многочлени

1. Колко члена има многочленът 4x³ − 2x + 7?

   • 2
   • 3
   • 4
   • 7

   Отговор: 3

   Членовете са 4x³, −2x и 7.

2. Кой е свободният член на многочлена 3x² − 5x + 8?

   • 8
   • 3
   • −5
   • 0

   Отговор: 8

   Свободният член е членът без променлива.

3. Каква е степента на многочлена 2x⁴ − x² + 3?

   • 2
   • 3
   • 4
   • 6

   Отговор: 4

   Степента на многочлена е най-високата степен на член в нормалния му вид: 4.

4. Намерете стойността на израза −4a³b² при a = −1/2 и b = 3.

   • −4,5
   • 18
   • −18
   • 4,5

   Отговор: 4,5

   (−1/2)³ = −1/8, 3² = 9: −4·(−1/8)·9 = 9/2 = 4,5.

5. Съберете многочлените 2x² − 3x и x² + 5x.

   • 3x² − 8x
   • x² + 2x
   • 3x² + 2x
   • 3x⁴ + 2x

   Отговор: 3x² + 2x

   Привеждаме подобните: 2x² + x² = 3x² и −3x + 5x = 2x.

6. Извадете: (5a + 3) − (2a − 4).

   • 3a − 1
   • 3a + 7
   • 7a − 1
   • 3a + 1

   Отговор: 3a + 7

   5a + 3 − 2a + 4 = 3a + 7.

7. Опростете израза −(x² − 3x + 2) + (2x² + x − 5).

   • x² − 2x − 3
   • 3x² − 2x − 3
   • x² + 4x − 7
   • x² + 4x − 3

   Отговор: x² + 4x − 7

   Разкриваме скобите: −x² + 3x − 2 + 2x² + x − 5 = x² + 4x − 7.

8. Умножете 2x(x² − 3x + 4).

   • 2x³ − 3x + 4
   • 2x³ − 6x² + 8x
   • 2x³ − 6x + 8
   • 2x³ − 6x² + 8

   Отговор: 2x³ − 6x² + 8x

   Умножаваме 2x по всеки член: 2x³ − 6x² + 8x.

9. Колко е стойността на многочлена x² − 3x + 2 при x = −2?

   • 12
   • 0
   • 4
   • −8

   Отговор: 12

   (−2)² − 3·(−2) + 2 = 4 + 6 + 2 = 12.

10. Запишете в нормален вид (x + 3)(x − 2).

    • x² + x − 6
    • x² − x − 6
    • x² + x + 6
    • x² − 6

    Отговор: x² + x − 6

    x·x − 2x + 3x − 6 = x² + x − 6.

11. Каква е степента на многочлена (x² + 1)(x³ − x) след привеждане в нормален вид?

    • 6
    • 3
    • 2
    • 5

    Отговор: 5

    Най-високата степен идва от x²·x³ = x⁵.

12. Кой е коефициентът пред x в нормалния вид на (2x + 1)(x − 3)?

    • −6
    • 1
    • −5
    • −7

    Отговор: −5

    (2x + 1)(x − 3) = 2x² − 6x + x − 3 = 2x² − 5x − 3.

13. Опростете израза (2x − 3)(x + 1) − 2x(x − 1).

    • x − 3
    • −3x − 3
    • x + 3
    • 4x² − 3x − 3

    Отговор: x − 3

    (2x − 3)(x + 1) = 2x² − x − 3, а 2x(x − 1) = 2x² − 2x. Разликата е x − 3.

14. Многочленът M е такъв, че M − (x² − 2x) = 3x² + x − 1. Намерете M.

    • 2x² + 3x − 1
    • 4x² − x − 1
    • 4x² + 3x − 1
    • 2x² − x + 1

    Отговор: 4x² − x − 1

    M = 3x² + x − 1 + x² − 2x = 4x² − x − 1.

15. За коя стойност на a многочленът (x + a)(x − 2) няма член от първа степен?

    • −2
    • 0
    • 1
    • 2

    Отговор: 2

    (x + a)(x − 2) = x² + (a − 2)x − 2a. Членът с x изчезва при a = 2.

Съкратено умножение

1. На какво е равно (a − 2b)²?

   • a² − 4ab + 4b²
   • a² − 4b²
   • a² − 2ab + 4b²
   • a² + 4ab − 4b²

   Отговор: a² − 4ab + 4b²

   (a − b)² = a² − 2ab + b², тук b е 2b: удвоеното произведение е 4ab.

2. На какво е равно (x + y)(x − y)?

   • x² + y²
   • (x − y)²
   • x² − y²
   • x² − 2xy − y²

   Отговор: x² − y²

   Произведението на сбор и разлика е разлика от квадрати.

3. На какво е равно (a + b)²?

   • a² + b²
   • a² + 2ab + b²
   • a² + ab + b²
   • 2a + 2b

   Отговор: a² + 2ab + b²

   Квадрат на сбор: (a + b)² = a² + 2ab + b².

4. Пресметнете рационално 49·51.

   • 2499
   • 2501
   • 2451
   • 2549

   Отговор: 2499

   49·51 = (50 − 1)(50 + 1) = 2500 − 1 = 2499.

5. Пресметнете рационално 21².

   • 441
   • 421
   • 401
   • 442

   Отговор: 441

   (20 + 1)² = 400 + 40 + 1 = 441.

6. Кой член липсва: (x + 3)² = x² + ... + 9?

   • 6x
   • 3x
   • 9x
   • x

   Отговор: 6x

   Удвоеното произведение е 2·x·3 = 6x.

7. На какво е равно (a − 1)³?

   • a³ − 1
   • a³ − 3a² − 3a − 1
   • a³ − 3a² + 3a − 1
   • a³ + 3a² − 3a − 1

   Отговор: a³ − 3a² + 3a − 1

   (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ при b = 1.

8. Пресметнете рационално 37² − 27².

   • 100
   • 64
   • 740
   • 640

   Отговор: 640

   (37 − 27)(37 + 27) = 10·64 = 640.

9. На какво е равно (2x − 5)(2x + 5)?

   • 2x² − 25
   • 4x² − 25
   • 4x² + 25
   • 4x² − 20x − 25

   Отговор: 4x² − 25

   Произведение на разлика и сбор: (2x)² − 5² = 4x² − 25.

10. Опростете (3x + 1)² − (3x − 1)².

    • 2
    • 12x
    • 6x
    • 18x² + 2

    Отговор: 12x

    (9x² + 6x + 1) − (9x² − 6x + 1) = 12x.

11. Опростете (x − 2)(x + 2)(x² + 4).

    • x⁴ + 16
    • x⁴ − 16
    • (x² − 4)²
    • x⁴ − 8

    Отговор: x⁴ − 16

    (x − 2)(x + 2) = x² − 4, а (x² − 4)(x² + 4) = x⁴ − 16.

12. На какво е равно (x + 2)³?

    • x³ + 8
    • x³ + 2x² + 4x + 8
    • x³ + 6x² + 12x + 8
    • x³ + 3x² + 3x + 8

    Отговор: x³ + 6x² + 12x + 8

    (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = x³ + 6x² + 12x + 8.

13. На какво е равно произведението (x + 2)(x² − 2x + 4)?

    • x³ − 8
    • (x + 2)³
    • x³ + 8
    • x³ + 4x + 8

    Отговор: x³ + 8

    Това е формулата (a + b)(a² − ab + b²) = a³ + b³ с a = x, b = 2.

14. Опростете (a + b)³ − (a − b)³.

    • 2b³
    • 6a²b
    • 2a³ + 6ab²
    • 6a²b + 2b³

    Отговор: 6a²b + 2b³

    Членовете a³ и 3ab² се унищожават, остават 2·3a²b + 2b³.

15. Опростете (x + 1)² − (x − 1)(x + 1) − 2x.

    • 0
    • 4x + 2
    • 2x
    • 2

    Отговор: 2

    x² + 2x + 1 − (x² − 1) − 2x = 2.

Разлагане

1. Изнесете общия множител: 5a² + 10a.

   • 5(a² + 10a)
   • a(5a + 2)
   • 5a(a + 2)
   • 5a(a + 10)

   Отговор: 5a(a + 2)

   Общият множител на 5a² и 10a е 5a: 5a·a + 5a·2.

2. Изнесете общия множител: 3xy − 6y.

   • 3y(x − 6)
   • 3x(y − 2)
   • 3y(x − 2)
   • 6y(x − 1)

   Отговор: 3y(x − 2)

   Общият множител е 3y: 3xy − 6y = 3y(x − 2).

3. По коя формула се разлага a² − b²?

   • (a − b)²
   • (a − b)(a + b)
   • (a + b)²
   • a(a − b)

   Отговор: (a − b)(a + b)

   Разлика от квадрати: a² − b² = (a − b)(a + b).

4. Разложете на множители 4x² − 12x + 9.

   • (4x − 3)²
   • (2x − 3)²
   • (2x − 3)(2x + 3)
   • (2x + 3)²

   Отговор: (2x − 3)²

   4x² = (2x)², 9 = 3², 12x = 2·2x·3: точен квадрат на разлика.

5. Разложете на множители a² − 25b².

   • (a − 5b)(a + 5b)
   • (a − 5b)²
   • (a − 25b)(a + 25b)
   • (5a − b)(5a + b)

   Отговор: (a − 5b)(a + 5b)

   a² − (5b)² е разлика от квадрати.

6. Разложете на множители a(x − 2) + 3(x − 2).

   • (x − 2)(a + 3)
   • 3a(x − 2)
   • (x − 2)²(a + 3)
   • (x + 2)(a − 3)

   Отговор: (x − 2)(a + 3)

   Изнасяме общия множител (x − 2): (x − 2)(a + 3).

7. Разложете на множители x³ − 9x.

   • x(x − 3)²
   • x(x − 3)(x + 3)
   • (x − 3)(x² + 3)
   • x(x² − 3)

   Отговор: x(x − 3)(x + 3)

   Изнасяме x: x(x² − 9), после разлика на квадрати: x(x − 3)(x + 3).

8. Разложете на множители 2x² − 8.

   • 2(x − 2)(x + 2)
   • 2(x − 4)(x + 4)
   • 2(x − 2)²
   • (x − 2)(x + 4)

   Отговор: 2(x − 2)(x + 2)

   Изнасяме 2 и разлагаме x² − 4 като разлика от квадрати.

9. Разложете на множители 3a² − 6ab + 3b².

   • 3(a + b)²
   • (3a − b)²
   • 3(a − b)²
   • 3(a − b)(a + b)

   Отговор: 3(a − b)²

   3(a² − 2ab + b²) = 3(a − b)².

10. Разложете на множители 8a³ − 1.

    • (2a − 1)(4a² + 2a + 1)
    • (2a − 1)³
    • (2a − 1)(4a² + 4a + 1)
    • (8a − 1)(a² + a + 1)

    Отговор: (2a − 1)(4a² + 2a + 1)

    8a³ = (2a)³, прилагаме разлика на кубове: (2a − 1)((2a)² + 2a·1 + 1).

11. Разложете чрез групиране ab + 2a + 3b + 6.

    • (a + 2)(b + 3)
    • (a + 6)(b + 1)
    • (a + 3)(b + 2)
    • (a + 3)(b + 3)

    Отговор: (a + 3)(b + 2)

    a(b + 2) + 3(b + 2) = (a + 3)(b + 2).

12. Разложете на множители x³ + 27.

    • (x + 3)³
    • (x + 3)(x² + 3x + 9)
    • (x − 3)(x² + 3x + 9)
    • (x + 3)(x² − 3x + 9)

    Отговор: (x + 3)(x² − 3x + 9)

    Сбор от кубове: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²), тук b = 3.

13. Разложете чрез групиране x³ + x² − x − 1.

    • (x + 1)(x² + 1)
    • (x − 1)²(x + 1)
    • (x² − 1)(x − 1)
    • (x − 1)(x + 1)²

    Отговор: (x − 1)(x + 1)²

    x²(x + 1) − (x + 1) = (x + 1)(x² − 1) = (x − 1)(x + 1)².

14. Разложете на множители x⁴ − 1.

    • (x − 1)²(x + 1)²
    • (x² − 1)²
    • (x − 1)(x + 1)(x² − 1)
    • (x − 1)(x + 1)(x² + 1)

    Отговор: (x − 1)(x + 1)(x² + 1)

    x⁴ − 1 = (x² − 1)(x² + 1) = (x − 1)(x + 1)(x² + 1).

15. Разложете на множители x² − 5x + 6.

    • (x + 2)(x + 3)
    • (x − 2)(x − 3)
    • (x − 1)(x − 6)
    • (x − 2)(x + 3)

    Отговор: (x − 2)(x − 3)

    x² − 2x − 3x + 6 = x(x − 2) − 3(x − 2) = (x − 2)(x − 3).

Тъждества

1. Кое равенство е тъждество?

   • (a + b)² = a² + b²
   • a² − b² = (a − b)²
   • (a − b)³ = a³ − b³
   • (a + b)² − (a − b)² = 4ab

   Отговор: (a + b)² − (a − b)² = 4ab

   Разликата на двата квадрата е (a² + 2ab + b²) − (a² − 2ab + b²) = 4ab за всички a и b.

2. Как се нарича равенство на два израза, което е вярно за всички стойности на променливите?

   • уравнение
   • тъждество
   • неравенство
   • едночлен

   Отговор: тъждество

   Тъждеството е вярно при всички допустими стойности на променливите.

3. Кое от равенствата НЕ е тъждество?

   • a + b = b + a
   • 2(a + 1) = 2a + 2
   • (a + 1)² = a² + 1
   • a·1 = a

   Отговор: (a + 1)² = a² + 1

   (a + 1)² = a² + 2a + 1, затова равенството е вярно само при a = 0.

4. Ако x − 1/x = 3, на колко е равно x² + 1/x²?

   • 9
   • 7
   • 10
   • 11

   Отговор: 11

   Повдигаме на квадрат: x² − 2 + 1/x² = 9, откъдето x² + 1/x² = 11.

5. Ако a − b = 4, на колко е равно (b − a)²?

   • −16
   • 16
   • 8
   • −8

   Отговор: 16

   b − a = −4, а (−4)² = 16.

6. Ако a + b = 7, на колко е равно 3a + 3b?

   • 10
   • 21
   • 7
   • 14

   Отговор: 21

   3a + 3b = 3(a + b) = 3·7 = 21.

7. Ако a + b = 5 и ab = 6, на колко е равно a³ + b³?

   • 125
   • 35
   • 90
   • 65

   Отговор: 35

   a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b) = 125 − 90 = 35.

8. Ако a + b = 6 и ab = 5, на колко е равно (a − b)²?

   • 16
   • 26
   • 31
   • 1

   Отговор: 16

   (a − b)² = (a + b)² − 4ab = 36 − 20 = 16.

9. Ако a − b = 3 и ab = 10, на колко е равно a² + b²?

   • 29
   • 19
   • 13
   • 39

   Отговор: 29

   a² + b² = (a − b)² + 2ab = 9 + 20 = 29.

10. Намерете стойността на израза (x − 3)² − (x − 4)(x + 4) при x = −1/2.

    • 28
    • 22
    • −28
    • 25

    Отговор: 28

    Опростяваме: x² − 6x + 9 − x² + 16 = −6x + 25. При x = −1/2: 3 + 25 = 28.

11. Намерете стойността на израза (2x + 1)² − 4x(x + 1) при x = 2026.

    • 2026
    • 0
    • 4053
    • 1

    Отговор: 1

    4x² + 4x + 1 − 4x² − 4x = 1 при всяко x.

12. Ако x + y = 4 и x − y = 2, на колко е равно x² − y²?

    • 6
    • 16
    • 8
    • 2

    Отговор: 8

    x² − y² = (x + y)(x − y) = 4·2 = 8.

13. Коя е най-малката стойност на израза x² − 6x + 11?

    • 11
    • −9
    • 2
    • 0

    Отговор: 2

    x² − 6x + 11 = (x − 3)² + 2 ≥ 2, като 2 се достига при x = 3.

14. Коя е най-голямата стойност на израза 5 + 4x − x²?

    • 5
    • 4
    • 9
    • 1

    Отговор: 9

    5 + 4x − x² = 9 − (x − 2)², което е най-много 9 при x = 2.

15. За коя стойност на a равенството (x + a)² = x² + 8x + 16 е тъждество?

    • 2
    • 8
    • 16
    • 4

    Отговор: 4

    (x + a)² = x² + 2ax + a². От 2a = 8 и a² = 16 следва a = 4.

Финален въпрос