Подобни триъгълници. Определение
Два триъгълника са подобни, ако ъглите на единия са равни на съответните ъгли на другия, а съответните им страни са пропорционални. Отношението на съответните страни се нарича коефициент на подобие k. Подобните триъгълници имат еднаква форма, но може да са с различна големина. При k = 1 триъгълниците са еднакви.
Какво да запомним
- ΔABC ~ ΔA1B1C1: ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1, ∠C = ∠C1.
- A1B1 : AB = B1C1 : BC = A1C1 : AC = k.
- Редът на буквите показва кои върхове си съответстват.
- Всички равностранни триъгълници са подобни.
Пример
Триъгълник със страни 3, 4, 6 cm и триъгълник със страни 6, 8, 12 cm имат отношение на страните 2, значи k = 2.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Страните на един триъгълник са 3 cm, 4 cm и 6 cm, а на друг са 6 cm, 8 cm и 12 cm. Колко е коефициентът на подобие на втория спрямо първия?
- 1/2
- 2
- 3
- 4
Отговор: 2
6 : 3 = 8 : 4 = 12 : 6 = 2.
Кои дължини (в cm) са страни на триъгълник, подобен на триъгълника със страни 4 cm, 5 cm и 7 cm?
- 8, 10, 12
- 5, 6, 8
- 6, 7, 9
- 12, 15, 21
Отговор: 12, 15, 21
12 : 15 : 21 = 4 : 5 : 7 (коефициент 3).
Подобни ли са всеки два равностранни триъгълника?
- никога
- само ако страните им са равни
- само ако лицата им са равни
- да, винаги
Отговор: да, винаги
Всички ъгли на равностранен триъгълник са 60°, затова два такива триъгълника са подобни по първия признак.
Два триъгълника са подобни с коефициент k = 1. Какви са те?
- Еднакви
- Единият е двойно по-голям
- Не съществуват
- С различни ъгли
Отговор: Еднакви
При k = 1 съответните страни са равни, а ъглите също са равни, значи триъгълниците са еднакви.
ΔABC ~ ΔMNP (A съответства на M, B на N, C на P), ∠A = 50° и ∠B = 70°. Колко е ∠P?
- 50°
- 70°
- 60°
- 110°
Отговор: 60°
∠P = ∠C = 180° − 50° − 70° = 60°.
Как се нарича отношението на съответните страни на два подобни триъгълника?
- периметър
- медиана
- коефициент на подобие
- мащаб на ъглите
Отговор: коефициент на подобие
Отношението на съответните страни е коефициентът на подобие k.
ΔABC ~ ΔMNP (A съответства на M, B на N, C на P). Коя страна на ΔMNP съответства на BC?
- MN
- NP
- MP
- PM
Отговор: NP
B съответства на N, а C на P, затова BC съответства на NP.
ΔABC ~ ΔA1B1C1 с коефициент k = A1B1 : AB = 3. AB = 4 cm. Колко е A1B1?
- 12 cm
- 7 cm
- 4/3 cm
- 1 cm
Отговор: 12 cm
A1B1 = k · AB = 3 · 4 = 12 cm.
ΔABC ~ ΔDEF (A съответства на D, B на E, C на F), AB = 6 cm, DE = 9 cm и BC = 10 cm. Колко е EF?
- 13 cm
- 12 cm
- 20 cm
- 15 cm
Отговор: 15 cm
k = DE : AB = 9 : 6 = 1,5, затова EF = 1,5 · 10 = 15 cm.
Подобни ли са всеки два правоъгълни равнобедрени триъгълника?
- не, никога
- да, ъглите им са равни
- само ако са еднакви
- само при равни катети
Отговор: да, ъглите им са равни
Ъглите им винаги са 90°, 45° и 45°, а страните са пропорционални.
ΔMNP ~ ΔABC с коефициент k = MN : AB = 0,5. Страните на ΔABC са 8 cm, 10 cm и 12 cm. Колко е най-голямата страна на ΔMNP?
- 24 cm
- 6 cm
- 12 cm
- 4 cm
Отговор: 6 cm
Всички страни се умножават по 0,5: най-голямата е 12 · 0,5 = 6 cm.
Подобни ли са всеки два равнобедрени триъгълника?
- да, винаги
- само тъпоъгълните
- не, не винаги
- да, ако k = 1
Отговор: не, не винаги
Равнобедрените триъгълници може да имат различни ъгли (например 40°, 40°, 100° и 70°, 70°, 40°), затова не винаги са подобни.
Страните на триъгълник са 4 cm, 6 cm и 8 cm. Най-малката страна на подобен на него триъгълник е 6 cm. Колко е средната по дължина страна на втория?
- 8 cm
- 10 cm
- 12 cm
- 9 cm
Отговор: 9 cm
k = 6 : 4 = 1,5, затова средната страна е 6 · 1,5 = 9 cm.
В ΔABC ∠A = 40° и ∠B = 60°. ΔMNP ~ ΔABC, като M съответства на C. Колко е ∠M?
- 40°
- 60°
- 80°
- 100°
Отговор: 80°
∠C = 180° − 40° − 60° = 80°, а съответните ъгли са равни, затова ∠M = 80°.
Страните на триъгълник са 5 cm, 7 cm и 10 cm. При подобен на него триъгълник сборът на най-голямата и най-малката страна е 45 cm. Колко е средната му по дължина страна?
- 21 cm
- 14 cm
- 28 cm
- 15 cm
Отговор: 21 cm
5k + 10k = 45, k = 3, затова средната страна е 7 · 3 = 21 cm.