Пропорционални отсечки
В този урок сравняваме отсечки чрез тяхното отношение, тоест частното на дължините им, измерени с една и съща мярка. Четири отсечки a, b, c и d са пропорционални, ако a : b = c : d. Учим се да делим отсечка в дадено отношение и да намираме неизвестна отсечка от пропорция. Основното свойство на пропорцията (произведението на крайните членове е равно на произведението на средните) е главният инструмент.
Какво да запомним
- Отношение на отсечки: AB : CD = дължината на AB / дължината на CD (в една мярка).
- a : b = c : d е пропорция; тогава a · d = b · c.
- Ако M дели AB в отношение m : n, то AM = AB · m/(m + n).
- Средно геометрично: ако a : x = x : b, то x = √(ab).
Пример
AB = 24 cm и AM : MB = 3 : 5. Частите са 3 + 5 = 8, едната е 24 : 8 = 3 cm, затова AM = 9 cm и MB = 15 cm.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Отношението на отсечките AB и CD е 2 : 5. Ако AB = 6 cm, колко е CD?
- 12 cm
- 15 cm
- 2,4 cm
- 30 cm
Отговор: 15 cm
6 : CD = 2 : 5, CD = 6 · 5 : 2 = 15 cm.
Точка M дели отсечката AB = 24 cm в отношение AM : MB = 3 : 5. Колко е AM?
- 15 cm
- 8 cm
- 9 cm
- 3 cm
Отговор: 9 cm
AB се дели на 3 + 5 = 8 равни части по 3 cm: AM = 9 cm.
Намерете x от пропорцията x : 6 = 10 : 15.
- 9
- 25
- 2,5
- 4
Отговор: 4
15x = 60, x = 4.
Отсечките a = 4 cm, b = 6 cm, c = 10 cm и d са пропорционални: a : b = c : d. Колко е d?
- 15 cm
- 12 cm
- 20/3 cm
- 8 cm
Отговор: 15 cm
4d = 6 · 10 = 60, d = 15 cm.
Намерете положителното число x, за което 4 : x = x : 9.
- 6,5
- 6
- 36
- 13
Отговор: 6
x2 = 36, x = 6 (средно геометрично на 4 и 9).
Колко е отношението на отсечки с дължини 6 cm и 9 cm?
- 3 : 2
- 2 : 3
- 6 : 15
- 1 : 3
Отговор: 2 : 3
6 : 9 = 2 : 3 (съкращаваме на 3).
Точка M е от отсечката AB, AM : MB = 3 : 4 и MB − AM = 2 cm. Колко е AB?
- 7 cm
- 12 cm
- 16 cm
- 14 cm
Отговор: 14 cm
AM = 3k, MB = 4k и k = 2 cm, затова AB = 7k = 14 cm.
Кои отсечки a, b, c и d (в cm) са пропорционални, т.е. a : b = c : d?
- 2, 3, 4, 6
- 2, 3, 5, 6
- 1, 2, 3, 5
- 3, 4, 5, 6
Отговор: 2, 3, 4, 6
2 : 3 = 4 : 6, защото 2 · 6 = 3 · 4.
AB = 12 cm, точката M дели AB в отношение AM : MB = 1 : 2, а N е средата на AB. Колко е MN?
- 4 cm
- 3 cm
- 2 cm
- 6 cm
Отговор: 2 cm
AM = 4 cm, AN = 6 cm, затова MN = 6 − 4 = 2 cm.
Ако a : b = 3 : 5, на колко е равно (a + b) : (b − a)?
- 8/5
- 2
- 4
- 5/3
Отговор: 4
a = 3k и b = 5k, затова (a + b) : (b − a) = 8k : 2k = 4.
Колко е отношението на отсечки с дължини 1 dm и 5 cm?
- 1 : 5
- 5 : 1
- 2 : 1
- 1 : 2
Отговор: 2 : 1
Мерим в една мярка: 1 dm = 10 cm, а 10 : 5 = 2 : 1.
Точката M е средата на отсечката AB. Колко е отношението AM : AB?
- 1 : 1
- 1 : 2
- 2 : 1
- 1 : 3
Отговор: 1 : 2
AM е половината от AB, затова AM : AB = 1 : 2.
За отсечките a и b е дадено a : b = 2 : 7 и a = 8 cm. Колко е a + b?
- 28 cm
- 18 cm
- 32 cm
- 36 cm
Отговор: 36 cm
Една част е 8 : 2 = 4 cm, затова b = 28 cm и a + b = 36 cm.
Точките M и N делят отсечката AB = 20 cm така, че AM : MN : NB = 1 : 2 : 2. Колко е AN?
- 8 cm
- 12 cm
- 16 cm
- 10 cm
Отговор: 12 cm
Частите са 1 + 2 + 2 = 5, всяка по 4 cm. AN = AM + MN = 4 + 8 = 12 cm.
Отсечките a и b са такива, че (a + 2b) : b = 7 : 2. Колко е a : b?
- 3 : 2
- 2 : 3
- 7 : 2
- 5 : 2
Отговор: 3 : 2
2(a + 2b) = 7b, 2a + 4b = 7b, 2a = 3b, затова a : b = 3 : 2.