Теорема на Талес. Обратна теорема на Талес
Теоремата на Талес казва, че успоредни прави, които пресичат двете рамена на ъгъл, отсичат върху тях пропорционални отсечки. Най-често я прилагаме в триъгълник: права, успоредна на една страна, дели другите две страни пропорционално. Обратната теорема ни позволява да докажем, че две прави са успоредни, ако отсечките са пропорционални. Важно следствие е, че права през средата на една страна, успоредна на друга, минава през средата на третата.
Какво да запомним
- Ако MN ∥ AB в ΔABC (M от AC, N от BC), то CM : MA = CN : NB.
- Също CM : CA = CN : CB = MN : AB.
- Обратна теорема: ако CM : MA = CN : NB, то MN ∥ AB.
- Медицентърът дели всяка медиана в отношение 2 : 1, считано от върха.
Пример
MN ∥ AB, CM = 5 cm, CA = 15 cm и CN = 4 cm. От CM : CA = CN : CB получаваме 5 : 15 = 4 : CB, значи CB = 12 cm.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Успоредни прави пресичат двете рамена на ъгъл. На едното рамо те отсичат последователни отсечки 3 cm и 6 cm, а на другото съответните отсечки са 4 cm и x cm. Намерете x.
- 7
- 4,5
- 8
- 12
Отговор: 8
По теоремата на Талес 3 : 6 = 4 : x, x = 8.
Права, успоредна на страната AB на ΔABC, пресича AC в M и BC в N. CM = 5 cm, CA = 15 cm и CN = 4 cm. Колко е CB?
- 8 cm
- 9 cm
- 14 cm
- 12 cm
Отговор: 12 cm
CM : CA = CN : CB, 5 : 15 = 4 : CB, CB = 12 cm.
Права, успоредна на страната AB на ΔABC, пресича AC в M и BC в N. CM : MA = 2 : 3 и AB = 15 cm. Колко е MN?
- 6 cm
- 10 cm
- 9 cm
- 7,5 cm
Отговор: 6 cm
CM : CA = 2 : 5, затова MN = 15 · 2 : 5 = 6 cm.
Права, успоредна на основите на трапеца ABCD (AB ∥ CD), пресича бедрото AD в M и бедрото BC в N. AM = 4 cm, MD = 6 cm и BN = 6 cm. Колко е NC?
- 4 cm
- 9 cm
- 6 cm
- 10 cm
Отговор: 9 cm
По теоремата на Талес AM : MD = BN : NC, 4 : 6 = 6 : NC, NC = 9 cm.
Точките M и N са от страните AC и BC на ΔABC, CM = 3 cm, MA = 4,5 cm и CN = 4 cm. При каква дължина на NB правата MN е успоредна на AB?
- 5,5 cm
- 3 cm
- 6 cm
- 8 cm
Отговор: 6 cm
По обратната теорема на Талес CM : MA = CN : NB: 3 : 4,5 = 4 : NB, NB = 6 cm.
Права, успоредна на AB, пресича страните AC и BC на ΔABC в M и N. Ако M е средата на AC, коя точка е N?
- средата на BC
- точката C
- точката B
- средата на AB
Отговор: средата на BC
По теоремата на Талес CN : NB = CM : MA = 1 : 1.
Права MN е успоредна на AB (M е от AC, N е от BC), CM = 6 cm, MA = 2 cm и CB = 12 cm. Колко е NB?
- 4 cm
- 9 cm
- 2 cm
- 3 cm
Отговор: 3 cm
CN : CB = CM : CA = 6 : 8, CN = 9 cm, NB = 12 − 9 = 3 cm.
През средата на бедрото AD на трапеца ABCD (AB ∥ CD) е прекарана права, успоредна на основите. В коя точка тя пресича бедрото BC?
- в точката B
- в средата на BC
- в точка N, за която BN : NC = 1 : 2
- в пресечната точка на диагоналите
Отговор: в средата на BC
Успоредните прави отсичат пропорционални отсечки, затова от AM = MD следва BN = NC.
Права, успоредна на страната BC на ΔABC, пресича AB в M и AC в N. AM = 4 cm, AB = 10 cm и AN = 6 cm. Колко е NC?
- 15 cm
- 6 cm
- 5 cm
- 9 cm
Отговор: 9 cm
AN : AC = AM : AB = 4 : 10, откъдето AC = 15 cm и NC = 15 − 6 = 9 cm.
Медианата AM на ΔABC е 12 cm, а G е медицентърът. Колко е AG?
- 6 cm
- 8 cm
- 4 cm
- 9 cm
Отговор: 8 cm
Медицентърът дели всяка медиана в отношение 2 : 1, считано от върха: AG = 2/3 · 12 = 8 cm.
Коя теорема гласи, че успоредни прави отсичат пропорционални отсечки върху раменете на ъгъл?
- на Питагор
- на Талес
- на Евклид
- на Виет
Отговор: на Талес
Това е теоремата на Талес за пропорционалните отсечки.
В ΔABC права MN ∥ AB (M е от AC, N е от BC) и CM : MA = 1 : 1. Ако AB = 10 cm, колко е MN?
- 10 cm
- 20 cm
- 2,5 cm
- 5 cm
Отговор: 5 cm
M е средата на AC, затова MN е средна отсечка и MN = AB/2 = 5 cm.
В ΔABC M е от AC, N е от BC, CM = 4 cm, MA = 6 cm, CN = 6 cm и NB = 9 cm. Успоредни ли са MN и AB?
- да, по обратната теорема
- не
- само ако AB = 15 cm
- не може да се каже
Отговор: да, по обратната теорема
CM : MA = 4 : 6 = 2 : 3 и CN : NB = 6 : 9 = 2 : 3. По обратната теорема на Талес MN ∥ AB.
Права, успоредна на AB, пресича страните AC и BC на ΔABC в M и N. CM = 6 cm, MN = 3 cm и AB = 10 cm. Колко е MA?
- 20 cm
- 9 cm
- 14 cm
- 4 cm
Отговор: 14 cm
CM : CA = MN : AB = 3 : 10, затова CA = 20 cm и MA = 20 − 6 = 14 cm.
В трапеца ABCD (AB ∥ CD) AB = 14 cm и CD = 6 cm. Права през средата M на AD, успоредна на основите, пресича BC в N. Колко е MN?
- 8 cm
- 10 cm
- 20 cm
- 7 cm
Отговор: 10 cm
MN е средна основа на трапеца: (14 + 6)/2 = 10 cm.