Свойство на ъглополовящите в триъгълник
Ъглополовящата на ъгъл в триъгълник дели срещуположната страна на части, които са пропорционални на прилежащите на ъгъла страни. Това свойство следва от теоремата на Талес. С него намираме отсечките, на които ъглополовящата дели страната, или неизвестна страна на триъгълника. Свойството важи и за ъглополовящата от всеки от трите върха.
Какво да запомним
- Ако CL е ъглополовяща в ΔABC (L от AB), то AL : LB = AC : BC.
- По-голямата отсечка е до по-голямата прилежаща страна.
- AL = AB · AC/(AC + BC).
- В равнобедрен триъгълник ъглополовящата към основата я разполовява.
Пример
AC = 8 cm, BC = 12 cm, CL е ъглополовяща. Тогава AL : LB = 8 : 12 = 2 : 3.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
В ΔABC CL е ъглополовяща (L е от AB), AC = 8 cm и BC = 12 cm. Колко е AL : LB?
- 3 : 2
- 1 : 2
- 2 : 5
- 2 : 3
Отговор: 2 : 3
AL : LB = AC : BC = 8 : 12 = 2 : 3.
В ΔABC AL е ъглополовяща (L е от BC), AB = 5 cm, AC = 7 cm и BC = 9 cm. Колко е BL?
- 3,75 cm
- 5,25 cm
- 4,5 cm
- 3 cm
Отговор: 3,75 cm
BL : LC = AB : AC = 5 : 7, BL = 9 · 5 : 12 = 3,75 cm.
В равнобедрения ΔABC AC = BC = 15 cm и AB = 10 cm. AL е ъглополовяща (L е от BC). Колко е CL?
- 6 cm
- 9 cm
- 7,5 cm
- 10 cm
Отговор: 9 cm
CL : LB = AC : AB = 15 : 10 = 3 : 2, CL = 15 · 3 : 5 = 9 cm.
Ъглополовящата CL на ΔABC дели AB на отсечки AL = 6 cm и LB = 8 cm. Периметърът на триъгълника е 35 cm. Колко е AC?
- 12 cm
- 7 cm
- 9 cm
- 10,5 cm
Отговор: 9 cm
AC + BC = 35 − 14 = 21 и AC : BC = 6 : 8 = 3 : 4, AC = 9 cm.
В ΔABC ∠C = 90°, AC = 6 cm и BC = 8 cm. Ъглополовящата на ∠A пресича BC в точка L. Колко е CL?
- 5 cm
- 4 cm
- 3,6 cm
- 3 cm
Отговор: 3 cm
AB = 10 cm, CL : LB = AC : AB = 6 : 10, CL = 8 · 6 : 16 = 3 cm.
Ъглополовящата на ъгъл в триъгълник дели срещуположната страна на отсечки, пропорционални на:
- височините
- медианите
- прилежащите страни
- ъглите
Отговор: прилежащите страни
Ако CL е ъглополовяща, то AL : LB = AC : BC.
В ΔABC CL е ъглополовяща (L е от AB), AC = 6 cm, BC = 10 cm и AB = 8 cm. Колко е LB?
- 5 cm
- 3 cm
- 4 cm
- 6 cm
Отговор: 5 cm
AL : LB = 6 : 10 = 3 : 5, затова LB = 8 · 5/8 = 5 cm.
В ΔABC AL е ъглополовяща (L е от BC), BL = 4 cm, LC = 6 cm и AB = 8 cm. Колко е AC?
- 12 cm
- 10 cm
- 16/3 cm
- 6 cm
Отговор: 12 cm
AB : AC = BL : LC = 4 : 6, AC = 8 · 6/4 = 12 cm.
Ъглополовящата CL дели страната AB на ΔABC в отношение AL : LB = 3 : 5, а AC + BC = 24 cm. Колко е BC?
- 9 cm
- 12 cm
- 15 cm
- 10 cm
Отговор: 15 cm
AC : BC = 3 : 5, т.е. AC = 3k и BC = 5k; 8k = 24, k = 3 и BC = 15 cm.
В ΔABC AB = 6 cm, AC = 9 cm и BC = 10 cm. Ъглополовящата AL (L е от BC) и ъглополовящата през върха B се пресичат в точка I. Колко е AI : IL?
- 2 : 3
- 3 : 2
- 3 : 5
- 6 : 5
Отговор: 3 : 2
BL = 10 · 6/15 = 4 cm. В ΔABL BI е ъглополовяща, затова AI : IL = AB : BL = 6 : 4 = 3 : 2.
В равнобедрения ΔABC (AC = BC) CL е ъглополовяща, а основата AB = 14 cm. Колко е AL?
- 7 cm
- 14 cm
- 3,5 cm
- 5 cm
Отговор: 7 cm
AL : LB = AC : BC = 1 : 1, т.е. L е средата на AB и AL = 7 cm.
В ΔABC CL е ъглополовяща (L е от AB), AC = 9 cm и BC = 6 cm. Коя от отсечките AL и LB е по-голяма?
- LB
- AL
- равни са
- не може да се каже
Отговор: AL
AL : LB = 9 : 6, затова по-голямата отсечка AL е до по-голямата страна AC.
В ΔABC CL е ъглополовяща (L е от AB), AC = 10 cm, BC = 15 cm и AB = 20 cm. Колко е AL?
- 12 cm
- 10 cm
- 8 cm
- 6 cm
Отговор: 8 cm
AL = AB · AC/(AC + BC) = 20 · 10/25 = 8 cm.
В ΔABC AC = 6 cm, BC = 9 cm и AB = 10 cm. CL е ъглополовяща, а CM е медиана (L и M са от AB). Колко е LM?
- 2 cm
- 0,5 cm
- 1,5 cm
- 1 cm
Отговор: 1 cm
AL = 10 · 6/15 = 4 cm, AM = 5 cm, затова LM = 5 − 4 = 1 cm.
В ΔABC ∠C = 90°, AC = 5 cm и BC = 12 cm. Ъглополовящата на правия ъгъл пресича AB в L. Колко е AL?
- 156/17 cm
- 65/17 cm
- 5 cm
- 13/2 cm
Отговор: 65/17 cm
AB = 13 cm (Питагор). AL = 13 · 5/(5 + 12) = 65/17 cm.