Геометрични тела

Елементи на куба

1. Колко стени има кубът?

   • 8
   • 12
   • 4
   • 6

   Отговор: 6

   Кубът има 6 стени, 12 ръба и 8 върха.

2. Колко върха има кубът?

   • 6
   • 12
   • 8
   • 4

   Отговор: 8

   Кубът има 4 върха отдолу и 4 отгоре, общо 8.

3. Какво е вярно за дължините на всички ръбове на куба?

   • два вида са
   • три вида са
   • равни са
   • всички са различни

   Отговор: равни са

   Всички 12 ръба на куба имат еднаква дължина.

4. Колко ръба има кубът?

   • 6
   • 8
   • 12
   • 24

   Отговор: 12

   По 4 ръба има горната и долната основа и още 4 странични ръба: 12.

5. Каква фигура е всяка стена на куба?

   • квадрат
   • правоъгълник с различни страни
   • триъгълник
   • ромб с остър ъгъл

   Отговор: квадрат

   Всички стени на куба са еднакви квадрати.

6. Колко стени на куба се срещат във всеки връх?

   • 2
   • 4
   • 6
   • 3

   Отговор: 3

   Във всеки връх се събират 3 стени и 3 ръба.

7. Колко ръба излизат от всеки връх на куба?

   • 3
   • 2
   • 4
   • 6

   Отговор: 3

   Във всеки връх се срещат 3 ръба и 3 стени.

8. Сборът от дължините на всички ръбове на куб е 48 cm. Колко е ръбът му?

   • 8 cm
   • 6 cm
   • 12 cm
   • 4 cm

   Отговор: 4 cm

   Кубът има 12 равни ръба: 48 : 12 = 4 cm.

9. Всяка стена на куба има 2 диагонала. Колко са общо диагоналите на всички стени?

   • 12
   • 6
   • 8
   • 24

   Отговор: 12

   6 стени · 2 диагонала = 12.

10. Кубът е частен случай на кое тяло?

    • пирамида
    • правоъгълен паралелепипед
    • цилиндър
    • триъгълна призма

    Отговор: правоъгълен паралелепипед

    Кубът е правоъгълен паралелепипед, на който трите измерения са равни.

11. С колко от другите стени на куба има общ ръб дадена стена?

    • 5
    • 4
    • 3
    • 2

    Отговор: 4

    Всяка стена граничи с 4 стени, а срещуположната ѝ няма общ ръб с нея.

12. Колко двойки успоредни стени има кубът?

    • 2
    • 3
    • 4
    • 6

    Отговор: 3

    6 стени, наредени в 3 двойки срещуположни успоредни стени.

13. Куб с ръб 3 cm е сглобен от кубчета с ръб 1 cm и е боядисан отвън. Колко кубчета имат точно 2 боядисани стени?

    • 8
    • 6
    • 24
    • 12

    Отговор: 12

    Такива са средните кубчета по ръбовете: по едно на всеки от 12-те ръба.

14. Куб с ръб 4 cm е сглобен от кубчета с ръб 1 cm и е боядисан отвън. Колко кубчета нямат нито една боядисана стена?

    • 16
    • 8
    • 24
    • 27

    Отговор: 8

    Небоядисани са вътрешните кубчета, които образуват куб 2 × 2 × 2: 8 кубчета.

15. Куб с ръб 3 cm е сглобен от кубчета с ръб 1 cm и е боядисан отвън. Колко кубчета имат точно една боядисана стена?

    • 8
    • 12
    • 6
    • 1

    Отговор: 6

    Това са средните кубчета на всяка стена: по 1 на стена, общо 6.

Повърхнина на куба

1. Ръбът на куб е 4 cm. Колко е лицето на една негова стена?

   • 8 cm²
   • 16 cm²
   • 64 cm²
   • 96 cm²

   Отговор: 16 cm²

   Стената е квадрат: 4·4 = 16 cm².

2. Как се намира лицето на повърхнината на куб с ръб a?

   • S = 4·a²
   • S = a³
   • S = 12·a
   • S = 6·a²

   Отговор: S = 6·a²

   Кубът има 6 стени, всяка с лице a².

3. От колко квадрата се състои развивката на куб?

   • 6
   • 4
   • 8
   • 12

   Отговор: 6

   Повърхнината на куба се състои от 6 квадрата.

4. Ръбът на куб е 7 dm. Колко е лицето на повърхнината му?

   • 196 dm²
   • 343 dm²
   • 294 dm²
   • 42 dm²

   Отговор: 294 dm²

   S = 6·a² = 6·49 = 294 dm².

5. Лицето на една стена на куб е 36 cm². Колко е лицето на повърхнината му?

   • 216 cm²
   • 144 cm²
   • 36 cm²
   • 6 cm²

   Отговор: 216 cm²

   S = 6·36 = 216 cm².

6. Ръбът на куб е 5 cm. Колко е лицето на околната повърхнина (четирите околни стени)?

   • 150 cm²
   • 100 cm²
   • 125 cm²
   • 25 cm²

   Отговор: 100 cm²

   S₁ = 4 · 5 · 5 = 100 cm².

7. Лицето на повърхнината на куб е 150 cm². Колко е ръбът му?

   • 5 cm
   • 25 cm
   • 6 cm
   • 15 cm

   Отговор: 5 cm

   Една стена е 150 : 6 = 25 cm², а 5·5 = 25, затова ръбът е 5 cm.

8. Ръбът на куб е 1,5 dm. Колко е лицето на повърхнината му?

   • 9 dm²
   • 2,25 dm²
   • 13,5 dm²
   • 3,375 dm²

   Отговор: 13,5 dm²

   Една стена е 1,5·1,5 = 2,25 dm², а S = 6·2,25 = 13,5 dm².

9. Ръбът на куб е 2 cm. С колко cm² ще се увеличи лицето на повърхнината му, ако ръбът стане 3 cm?

   • 6 cm²
   • 54 cm²
   • 30 cm²
   • 19 cm²

   Отговор: 30 cm²

   6 · 9 − 6 · 4 = 54 − 24 = 30 cm².

10. Ако ръбът на куб се увеличи 2 пъти, колко пъти се увеличава лицето на повърхнината му?

    • 2 пъти
    • 8 пъти
    • 4 пъти
    • 6 пъти

    Отговор: 4 пъти

    Всяка стена става (2a)·(2a) = 4a², т.е. 4 пъти по-голяма.

11. Два еднакви куба с ръб 2 cm са залепени стена до стена. Колко е лицето на повърхнината на полученото тяло?

    • 48 cm²
    • 44 cm²
    • 24 cm²
    • 40 cm²

    Отговор: 40 cm²

    Остават видими 12 − 2 = 10 стени по 4 cm²: 40 cm².

12. Куб с ръб 6 cm е разрязан на 8 еднакви кубчета. Колко е лицето на повърхнината на едно кубче?

    • 27 cm²
    • 216 cm²
    • 36 cm²
    • 54 cm²

    Отговор: 54 cm²

    Ръбът на кубчето е 3 cm, S = 6 · 3 · 3 = 54 cm².

13. Кутия с форма на куб без капак има ръб 20 cm. Колко cm² картон са нужни за нея?

    • 2 400 cm²
    • 1 600 cm²
    • 8 000 cm²
    • 2 000 cm²

    Отговор: 2 000 cm²

    Кутията без капак има 5 стени: 5·20·20 = 2 000 cm².

14. Обемът на куб е 27 cm³. Колко е лицето на повърхнината му?

    • 27 cm²
    • 54 cm²
    • 36 cm²
    • 81 cm²

    Отговор: 54 cm²

    Ръбът е 3 cm, защото 3·3·3 = 27. S = 6·9 = 54 cm².

15. Лицето на повърхнината на куб е 600 cm². Колко е обемът му?

    • 1 000 cm³
    • 100 cm³
    • 600 cm³
    • 3 600 cm³

    Отговор: 1 000 cm³

    Една стена е 600 : 6 = 100 cm², ръбът е 10 cm, V = 1 000 cm³.

Обем и мерни единици

1. Ръбът на куб е 6 cm. Колко е обемът му?

   • 216 cm³
   • 36 cm³
   • 18 cm³
   • 72 cm³

   Отговор: 216 cm³

   V = a·a·a = 6·6·6 = 216 cm³.

2. Колко cm³ е 1 dm³?

   • 100
   • 10
   • 1 000
   • 10 000

   Отговор: 1 000

   1 dm = 10 cm, затова 1 dm³ = 10·10·10 = 1 000 cm³.

3. Каква величина се измерва в cm³?

   • лице
   • дължина
   • обем
   • маса

   Отговор: обем

   Кубичните единици са за обем.

4. На колко е равен 1 литър?

   • 1 cm³
   • 1 m³
   • 1 dm³
   • 10 cm³

   Отговор: 1 dm³

   Един литър е обемът на куб с ръб 1 dm.

5. Обемът на куб е 64 cm³. Колко е ръбът му?

   • 4 cm
   • 8 cm
   • 16 cm
   • 6 cm

   Отговор: 4 cm

   4·4·4 = 64, значи ръбът е 4 cm.

6. Колко mm³ е 1 cm³?

   • 10
   • 100
   • 10 000
   • 1 000

   Отговор: 1 000

   1 cm = 10 mm, затова 1 cm³ = 10 · 10 · 10 = 1 000 mm³.

7. Колко dm³ са 2,5 m³?

   • 250
   • 2 500
   • 25 000
   • 25

   Отговор: 2 500

   1 m³ = 1 000 dm³, затова 2,5 m³ = 2 500 dm³.

8. Колко m³ са 7 500 dm³?

   • 7,5
   • 75
   • 0,75
   • 750

   Отговор: 7,5

   1 m³ = 1 000 dm³: 7 500 : 1 000 = 7,5 m³.

9. Колко cm³ са 250 ml?

   • 250
   • 25
   • 2 500
   • 0,25

   Отговор: 250

   1 ml = 1 cm³.

10. Колко литра са 450 cm³?

    • 4,5
    • 45
    • 0,045
    • 0,45

    Отговор: 0,45

    1 литър = 1 000 cm³, затова 450 cm³ = 0,45 литра.

11. Ръбът на куб се увеличава 2 пъти. Колко пъти се увеличава обемът му?

    • 2 пъти
    • 4 пъти
    • 8 пъти
    • 6 пъти

    Отговор: 8 пъти

    Обемът е a·a·a, затова се увеличава 2·2·2 = 8 пъти.

12. Колко dm³ са 3 500 cm³?

    • 35
    • 3,5
    • 350
    • 0,35

    Отговор: 3,5

    1 dm³ = 1 000 cm³, 3 500 : 1 000 = 3,5.

13. Колко кубчета с ръб 2 cm са нужни, за да се запълни изцяло куб с ръб 10 cm?

    • 125
    • 5
    • 25
    • 500

    Отговор: 125

    По всеки ръб се нареждат 10 : 2 = 5 кубчета, общо 5·5·5 = 125.

14. Колко литра вода побира съд с форма на куб с вътрешен ръб 50 cm?

    • 250
    • 125
    • 12,5
    • 1 250

    Отговор: 125

    V = 50·50·50 = 125 000 cm³ = 125 dm³ = 125 l.

15. Кой от обемите е най-голям?

    • 450 литра
    • 48 000 cm³
    • 0,5 m³
    • 5 000 000 mm³

    Отговор: 0,5 m³

    0,5 m³ = 500 l, а другите са 450 l, 48 l и 5 l.

Паралелепипед

1. Колко стени има правоъгълният паралелепипед?

   • 4
   • 8
   • 12
   • 6

   Отговор: 6

   Паралелепипедът има 6 стени (правоъгълници), 12 ръба и 8 върха.

2. Каква фигура е всяка стена на правоъгълния паралелепипед?

   • триъгълник
   • трапец
   • кръг
   • правоъгълник

   Отговор: правоъгълник

   Всички стени на правоъгълния паралелепипед са правоъгълници.

3. Колко ръба има правоъгълният паралелепипед?

   • 12
   • 8
   • 6
   • 10

   Отговор: 12

   Има по 4 ръба за всяко от трите измерения.

4. Измеренията на правоъгълен паралелепипед са 5 cm, 3 cm и 2 cm. Колко е сборът от дължините на всичките му ръбове?

   • 10 cm
   • 30 cm
   • 20 cm
   • 40 cm

   Отговор: 40 cm

   Има по 4 ръба от всяко измерение: 4·(5 + 3 + 2) = 40 cm.

5. Колко са измеренията на правоъгълния паралелепипед?

   • 2
   • 3
   • 4
   • 6

   Отговор: 3

   Измеренията са дължина, ширина и височина.

6. Колко върха има правоъгълният паралелепипед?

   • 6
   • 8
   • 12
   • 4

   Отговор: 8

   Има 4 върха на долната и 4 на горната основа.

7. Паралелепипед има основа 6 cm на 4 cm и височина 5 cm. Колко е лицето на околната му повърхнина?

   • 100 cm²
   • 148 cm²
   • 120 cm²
   • 24 cm²

   Отговор: 100 cm²

   Околната повърхнина е обиколката на основата по височината: (6 + 4 + 6 + 4)·5 = 100 cm².

8. Правоъгълен паралелепипед има измерения 10 cm, 4 cm и 3 cm. Колко е лицето на най-голямата му стена?

   • 30 cm²
   • 12 cm²
   • 40 cm²
   • 120 cm²

   Отговор: 40 cm²

   Най-голямата стена е с размери 10 cm и 4 cm: 40 cm².

9. Колко двойки еднакви срещуположни стени има правоъгълният паралелепипед?

   • 2
   • 4
   • 3
   • 6

   Отговор: 3

   Срещуположните стени са еднакви и са 3 двойки.

10. Колко е лицето на повърхнината на паралелепипед с измерения 8 cm, 5 cm и 3 cm?

    • 120 cm²
    • 158 cm²
    • 79 cm²
    • 316 cm²

    Отговор: 158 cm²

    S = 2·(8·5 + 8·3 + 5·3) = 2·(40 + 24 + 15) = 2·79 = 158 cm².

11. Кутия без капак има дъно 30 cm на 20 cm и височина 10 cm. Колко cm² картон са нужни за нея?

    • 2 200 cm²
    • 1 000 cm²
    • 6 000 cm²
    • 1 600 cm²

    Отговор: 1 600 cm²

    Дъно 600 cm² и 4 стени: 2·300 + 2·200 = 1 000 cm². Общо 1 600 cm².

12. Сборът от дължините на всички ръбове на паралелепипед е 60 cm. Две от измеренията му са 7 cm и 5 cm. Колко е третото?

    • 48 cm
    • 12 cm
    • 15 cm
    • 3 cm

    Отговор: 3 cm

    4 · (7 + 5 + c) = 60, 7 + 5 + c = 15, c = 3 cm.

13. Стая е 5 m дълга, 4 m широка и 3 m висока. Боядисват се стените и таванът, а вратата и прозорците заемат 5 m². Колко m² се боядисват?

    • 74 m²
    • 69 m²
    • 89 m²
    • 49 m²

    Отговор: 69 m²

    Стените: 2·(5 + 4)·3 = 54 m², таванът: 20 m². Общо 74 − 5 = 69 m².

14. Правоъгълен паралелепипед има основа квадрат със страна 4 cm и височина 6 cm. Колко е лицето на повърхнината му?

    • 128 cm²
    • 96 cm²
    • 112 cm²
    • 96 cm³

    Отговор: 128 cm²

    Двете основи: 2·16 = 32 cm²; околните стени: 4·24 = 96 cm². Общо 128 cm².

15. Два еднакви паралелепипеда с измерения 5 cm, 3 cm и 2 cm са залепени по най-големите си стени. Колко е лицето на повърхнината на полученото тяло?

    • 94 cm²
    • 124 cm²
    • 109 cm²
    • 62 cm²

    Отговор: 94 cm²

    Всеки има повърхнина 62 cm², общо 124, без двете залепени стени по 15: 124 − 30 = 94 cm².

Обем в практиката

1. Правоъгълен паралелепипед има измерения 6 cm, 5 cm и 2 cm. Колко е обемът му?

   • 13 cm³
   • 104 cm³
   • 30 cm³
   • 60 cm³

   Отговор: 60 cm³

   V = a·b·c = 6·5·2 = 60 cm³.

2. Как се намира обемът на правоъгълен паралелепипед с измерения a, b и c?

   • V = a + b + c
   • V = 2·(a·b + b·c + a·c)
   • V = a·b·c
   • V = 4·(a + b + c)

   Отговор: V = a·b·c

   Обемът е произведението от трите измерения.

3. Кое от изброените обикновено се измерва в литри?

   • дължината на стая
   • лицето на двор
   • вместимостта на бутилка
   • масата на ябълка

   Отговор: вместимостта на бутилка

   Литърът е мярка за обем (вместимост).

4. Резервоар с форма на правоъгълен паралелепипед е 2 m дълъг, 1,5 m широк и 1 m висок. Колко литра вода побира?

   • 300
   • 3 000
   • 30 000
   • 4,5

   Отговор: 3 000

   V = 2·1,5·1 = 3 m³, а 1 m³ = 1 000 литра, затова 3 000 литра.

5. Кутия има размери 20 cm, 10 cm и 5 cm. Колко литра е обемът ѝ?

   • 1
   • 10
   • 100
   • 0,1

   Отговор: 1

   V = 20·10·5 = 1 000 cm³ = 1 dm³ = 1 l.

6. Колко чаши по 250 ml се пълнят с 2 литра мляко?

   • 4
   • 6
   • 10
   • 8

   Отговор: 8

   2 l = 2 000 ml, а 2 000 : 250 = 8.

7. Паралелепипед има обем 240 cm³ и основа 8 cm на 6 cm. Колко е височината му?

   • 5 cm
   • 10 cm
   • 30 cm
   • 4 cm

   Отговор: 5 cm

   Лицето на основата е 48 cm², а h = 240 : 48 = 5 cm.

8. Аквариум е дълъг 50 cm, широк 30 cm и висок 40 cm. Напълнен е с вода до височина 30 cm. Колко литра вода има в него?

   • 60
   • 4,5
   • 450
   • 45

   Отговор: 45

   V = 50·30·30 = 45 000 cm³ = 45 l.

9. Колко m³ бетон са нужни за плоча 5 m на 4 m с дебелина 0,2 m?

   • 4
   • 20
   • 40
   • 2

   Отговор: 4

   V = 5 · 4 · 0,2 = 4 m³.

10. Басейн е 25 m дълъг и 10 m широк. Напълнен е с вода до височина 1,6 m. Колко m³ вода има в него?

    • 36,6
    • 250
    • 400
    • 4 000

    Отговор: 400

    V = 25·10·1,6 = 400 m³.

11. Каросерия на камион е 4 m дълга, 2 m широка и 0,5 m висока. С колко пълни курса ще се превозят 12 m³ пясък?

    • 6
    • 3
    • 4
    • 2

    Отговор: 3

    Каросерията побира 4·2·0,5 = 4 m³: 12 : 4 = 3 курса.

12. Аквариум има дъно 60 cm на 30 cm и в него има 54 литра вода. До каква височина е водата?

    • 3 cm
    • 30 cm
    • 18 cm
    • 27 cm

    Отговор: 30 cm

    54 l = 54 000 cm³, а 54 000 : (60 · 30) = 30 cm.

13. Паралелепипед с измерения 12 cm, 6 cm и 4 cm е разрязан на кубчета с ръб 2 cm. Колко кубчета се получават?

    • 72
    • 288
    • 36
    • 18

    Отговор: 36

    По дължината има 6, по ширината 3, по височината 2 кубчета: 6·3·2 = 36.

14. Съд има правоъгълно дъно 20 cm на 10 cm и в него има вода. Пуска се камък и нивото се покачва с 3 cm. Колко е обемът на камъка?

    • 200 cm³
    • 600 cm³
    • 60 cm³
    • 6 000 cm³

    Отговор: 600 cm³

    Обемът на камъка е равен на обема на изместената вода: 20·10·3 = 600 cm³.

15. Басейн е 10 m дълъг, 5 m широк и 2 m дълбок. Помпа налива 20 m³ вода на час. За колко часа ще напълни басейна?

    • 10 часа
    • 4 часа
    • 5 часа
    • 2 часа

    Отговор: 5 часа

    V = 10 · 5 · 2 = 100 m³, а 100 : 20 = 5 часа.

Финален въпрос