Делимост

Деление с остатък

1. Какъв е остатъкът при деление на 23 на 4?

   • 5
   • 2
   • 1
   • 3

   Отговор: 3

   23 = 4·5 + 3, затова частното е 5, а остатъкът е 3.

2. Колко е частното при деление на 38 на 5?

   • 3
   • 8
   • 7
   • 6

   Отговор: 7

   38 = 5 · 7 + 3, частното е 7, а остатъкът е 3.

3. Какъв е остатъкът при деление на 30 на 6?

   • 6
   • 0
   • 5
   • 1

   Отговор: 0

   30 = 6 · 5, делението е без остатък.

4. Кое число при деление на 7 дава частно 6 и остатък 5?

   • 42
   • 47
   • 48
   • 37

   Отговор: 47

   Делимото е делител по частно плюс остатък: 7·6 + 5 = 47.

5. Как се записва делението на 50 на 7 с остатък?

   • 50 = 7 · 7 + 1
   • 50 = 7 · 6 + 8
   • 50 = 7 · 8 − 6
   • 50 = 7 · 7 + 3

   Отговор: 50 = 7 · 7 + 1

   7 · 7 = 49 и 50 − 49 = 1. Остатъкът трябва да е по-малък от 7.

6. Кое число НЕ може да бъде остатък при деление на 5?

   • 4
   • 0
   • 5
   • 3

   Отговор: 5

   Остатъкът винаги е по-малък от делителя, т.е. от 0 до 4.

7. Днес е понеделник. Кой ден от седмицата ще бъде след 100 дни?

   • вторник
   • сряда
   • четвъртък
   • неделя

   Отговор: сряда

   100 = 7·14 + 2. След 14 цели седмици пак е понеделник, а още 2 дни дават сряда.

8. Кое е най-малкото трицифрено число, което дава остатък 1 при деление на 4?

   • 100
   • 103
   • 101
   • 105

   Отговор: 101

   100 се дели на 4, затова 100 + 1 = 101 дава остатък 1.

9. Делимото е 85, а делителят е 9. Какви са частното и остатъкът?

   • частно 8, остатък 13
   • частно 9, остатък 5
   • частно 10, остатък 5
   • частно 9, остатък 4

   Отговор: частно 9, остатък 4

   85 = 9 · 9 + 4.

10. Колко различни остатъка могат да се получат при деление на естествено число на 9?

    • 9
    • 8
    • 10
    • 7

    Отговор: 9

    Възможните остатъци са 0, 1, 2, ..., 8, т.е. 9 на брой.

11. 75 ученици се нареждат в редици по 6. Колко ученици ще има в непълната редица?

    • 12
    • 3
    • 5
    • 13

    Отговор: 3

    75 = 6 · 12 + 3: има 12 пълни редици и 3 ученици в непълната.

12. Колко двуцифрени числа дават остатък 3 при деление на 10?

    • 9
    • 10
    • 8
    • 90

    Отговор: 9

    Това са 13, 23, 33, ..., 93, т.е. 9 числа.

13. Числото a дава остатък 3 при деление на 5. Какъв остатък дава 2a при деление на 5?

    • 1
    • 3
    • 2
    • 4

    Отговор: 1

    Ако a = 5k + 3, то 2a = 10k + 6 = 5(2k + 1) + 1, т.е. остатъкът е 1.

14. Числото a дава остатък 2 при деление на 7, а числото b дава остатък 6. Какъв остатък дава a + b при деление на 7?

    • 8
    • 4
    • 0
    • 1

    Отговор: 1

    Остатъците се събират: 2 + 6 = 8 = 7 + 1, затова остатъкът е 1.

15. Кое е най-малкото число, по-голямо от 1, което при деление на 2, на 3 и на 4 дава остатък 1?

    • 25
    • 13
    • 7
    • 11

    Отговор: 13

    Числото без 1 трябва да се дели на НОК(2, 3, 4) = 12, значи 12 + 1 = 13.

Кратни и делители

1. Кое от числата е делител на 36?

   • 8
   • 10
   • 14
   • 9

   Отговор: 9

   36 : 9 = 4 без остатък, а 8, 10 и 14 не делят 36.

2. Кое от числата е кратно на 7?

   • 63
   • 47
   • 52
   • 71

   Отговор: 63

   63 = 7 · 9.

3. Кое е най-малкото ненулево кратно на 9?

   • 1
   • 18
   • 3
   • 9

   Отговор: 9

   Всяко число е кратно на себе си, а 9 = 9 · 1 е най-малкото ненулево кратно.

4. Колко делителя има числото 12?

   • 4
   • 5
   • 6
   • 12

   Отговор: 6

   Делителите на 12 са 1, 2, 3, 4, 6 и 12.

5. Кое число е делител на всяко естествено число?

   • 0
   • 1
   • 2
   • 10

   Отговор: 1

   Всяко естествено число се дели на 1.

6. Кои са всички делители на 10?

   • 1, 2, 5, 10
   • 2, 5
   • 1, 2, 5
   • 2, 5, 10, 20

   Отговор: 1, 2, 5, 10

   10 = 1 · 10 = 2 · 5, делителите са 1, 2, 5 и 10.

7. Кое число е едновременно кратно на 6 и делител на 60?

   • 18
   • 15
   • 12
   • 9

   Отговор: 12

   12 = 6·2 и 60 = 12·5. Числото 18 не дели 60, а 15 и 9 не са кратни на 6.

8. Колко двуцифрени числа са кратни на 8?

   • 12
   • 10
   • 13
   • 11

   Отговор: 11

   Това са 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88 и 96, общо 11.

9. Колко кратни на 7 има между 50 и 100?

   • 6
   • 7
   • 8
   • 5

   Отговор: 7

   Това са 56, 63, 70, 77, 84, 91 и 98.

10. Дели ли се сборът 36 + 48 + 25 на 12?

    • Да, защото 36 и 48 се делят на 12
    • Не, защото 25 не се дели на 12
    • Да, защото сборът е четно число
    • Не може да се определи без пресмятане

    Отговор: Не се дели

    Ако две събираеми се делят на 12, а третото не се дели, сборът не се дели на 12 (сборът е 109).

11. Колко е сборът от всички делители на 18?

    • 39
    • 21
    • 38
    • 36

    Отговор: 39

    Делителите са 1, 2, 3, 6, 9, 18 и сборът им е 39.

12. Числото 24 е делител на a. На кое от числата със сигурност се дели a?

    • 9
    • 5
    • 8
    • 10

    Отговор: 8

    Щом a се дели на 24 = 8 · 3, то a се дели и на 8.

13. На кое от числата НЕ се дели произведението 14·15?

    • 21
    • 4
    • 35
    • 10

    Отговор: 4

    14·15 = 2·7·3·5 = 210. В разлагането има само една двойка, затова произведението не се дели на 4.

14. Кое е най-малкото естествено число, което има точно 3 делителя?

    • 3
    • 6
    • 4
    • 9

    Отговор: 4

    Делителите на 4 са 1, 2 и 4. Числата 2 и 3 имат по 2 делителя.

15. Колко делителя има числото 36?

    • 8
    • 6
    • 12
    • 9

    Отговор: 9

    Делителите са 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 и 36.

Признаци за делимост

1. Кое от числата се дели на 5?

   • 5 552
   • 3 501
   • 2 385
   • 4 054

   Отговор: 2 385

   На 5 се делят числата, които завършват на 0 или на 5.

2. Кое от числата се дели на 10?

   • 4 502
   • 4 205
   • 5 024
   • 4 520

   Отговор: 4 520

   Число се дели на 10, когато последната му цифра е 0.

3. Кое от числата се дели на 2?

   • 2 341
   • 1 234
   • 4 019
   • 777

   Отговор: 1 234

   Число се дели на 2, когато последната му цифра е четна.

4. Коя цифра може да се постави на мястото на * в числото 4*7, за да се дели то на 3?

   • 2
   • 3
   • 5
   • 4

   Отговор: 4

   Сборът от цифрите 4 + 4 + 7 = 15 се дели на 3, затова 447 се дели на 3.

5. Кое от числата се дели на 3?

   • 7 252
   • 7 253
   • 7 251
   • 7 255

   Отговор: 7 251

   Сборът от цифрите на 7 251 е 15, а 15 се дели на 3.

6. На коя цифра завършва всяко число, което се дели на 10?

   • 5
   • 1
   • 0
   • 2

   Отговор: 0

   Число се дели на 10, когато последната му цифра е 0.

7. Кое от числата се дели на 9?

   • 4 321
   • 5 843
   • 5 841
   • 7 205

   Отговор: 5 841

   Сборът от цифрите на 5 841 е 18, а 18 се дели на 9.

8. Коя цифра трябва да стои на мястото на * в числото 73*4, за да се дели то на 9?

   • 4
   • 0
   • 5
   • 9

   Отговор: 4

   7 + 3 + 4 = 14, а до 18 липсват 4. Числото 7344 се дели на 9.

9. Кое число се дели на 3, но НЕ се дели на 9?

   • 153
   • 243
   • 145
   • 111

   Отговор: 111

   Сборът от цифрите на 111 е 3: дели се на 3, но не на 9.

10. Кое е най-голямото трицифрено число, което се дели и на 2, и на 5?

    • 995
    • 999
    • 900
    • 990

    Отговор: 990

    Числото трябва да завършва на 0. Най-голямото такова трицифрено число е 990.

11. Кое от числата се дели едновременно на 2, 5 и 9?

    • 2 975
    • 2 970
    • 3 120
    • 4 509

    Отговор: 2 970

    2 970 завършва на 0 и сборът от цифрите му е 18.

12. Коя цифра трябва да стои на мястото на * в числото 38*, за да се дели то и на 2, и на 3?

    • 4
    • 1
    • 6
    • 2

    Отговор: 4

    Сборът 3 + 8 + * трябва да се дели на 3 (* = 1, 4, 7), а цифрата да е четна: * = 4.

13. Колко двуцифрени числа се делят на 5?

    • 19
    • 20
    • 17
    • 18

    Отговор: 18

    Това са 10, 15, 20, ..., 95, т.е. 2 числа във всеки от 9-те десетици: 9·2 = 18.

14. Колко трицифрени числа от вида 5*0 се делят на 3?

    • 3
    • 2
    • 4
    • 10

    Отговор: 3

    Сборът 5 + * трябва да се дели на 3, значи * е 1, 4 или 7.

15. Кое е най-малкото четирицифрено число, което се дели на 9?

    • 1 009
    • 1 008
    • 1 017
    • 1 000

    Отговор: 1 008

    Сборът от цифрите на 1 008 е 9, а за 1 001 до 1 007 сборът е от 2 до 8.

Прости и съставни

1. Кое е най-малкото просто число?

   • 1
   • 0
   • 2
   • 3

   Отговор: 2

   Числото 2 има точно два делителя (1 и 2). Числото 1 не е нито просто, нито съставно.

2. Кое от числата е просто?

   • 13
   • 15
   • 21
   • 9

   Отговор: 13

   13 се дели само на 1 и на себе си.

3. Кое от числата е съставно?

   • 7
   • 11
   • 13
   • 15

   Отговор: 15

   15 = 3 · 5, има повече от два делителя.

4. Колко прости числа има между 20 и 40?

   • 4
   • 3
   • 5
   • 6

   Отговор: 4

   Това са 23, 29, 31 и 37.

5. Колко прости числа има между 1 и 10?

   • 5
   • 3
   • 4
   • 6

   Отговор: 4

   Това са 2, 3, 5 и 7.

6. Колко делителя има всяко просто число?

   • 2
   • 1
   • 3
   • 4

   Отговор: 2

   Простото число се дели само на 1 и на себе си.

7. Кое е разлагането на 90 на прости множители?

   • 2·3·3·5
   • 2·5·9
   • 3·3·10
   • 2·3·5·5

   Отговор: 2·3·3·5

   90 = 2·45 = 2·3·15 = 2·3·3·5. В другите записи има съставни множители (9, 10) или произведението не е 90.

8. Кое е разлагането на 72 на прости множители?

   • 2·2·3·3·3
   • 8·9
   • 2·2·2·9
   • 2·2·2·3·3

   Отговор: 2·2·2·3·3

   72 = 8 · 9 = 2·2·2·3·3.

9. Кои две прости числа имат произведение 91?

   • 3 и 31
   • 7 и 13
   • 1 и 91
   • 9 и 11

   Отговор: 7 и 13

   91 = 7 · 13, а 7 и 13 са прости.

10. Колко е произведението на най-малкото двуцифрено просто число и най-голямото едноцифрено просто число?

    • 70
    • 99
    • 77
    • 91

    Отговор: 77

    Най-малкото двуцифрено просто число е 11, а най-голямото едноцифрено е 7: 11·7 = 77.

11. Кое е най-голямото двуцифрено просто число?

    • 97
    • 99
    • 91
    • 93

    Отговор: 97

    99 = 9 · 11, 93 = 3 · 31, 91 = 7 · 13, а 97 е просто.

12. Кое е най-малкото нечетно съставно число?

    • 15
    • 1
    • 9
    • 3

    Отговор: 9

    3, 5 и 7 са прости, а 9 = 3 · 3 е съставно.

13. Разлагането на едно число на прости множители е 2·2·2·3·5. Кое е числото?

    • 120
    • 30
    • 90
    • 60

    Отговор: 120

    2·2·2 = 8, а 8·3·5 = 120.

14. Сборът на две прости числа е 25. Колко е произведението им?

    • 66
    • 46
    • 150
    • 144

    Отговор: 46

    Нечетен сбор се получава само ако едното число е 2. Другото е 23, а 2 · 23 = 46.

15. Кое е най-малкото естествено число, което има точно три различни прости делителя?

    • 8
    • 12
    • 60
    • 30

    Отговор: 30

    Най-малките прости числа са 2, 3 и 5, а 2 · 3 · 5 = 30.

НОД и НОК

1. Намерете НОД(15, 25).

   • 25
   • 75
   • 3
   • 5

   Отговор: 5

   Делителите на 15 са 1, 3, 5, 15, а на 25 са 1, 5, 25. Най-големият общ е 5.

2. Намерете НОК(6, 9).

   • 18
   • 54
   • 3
   • 36

   Отговор: 18

   Кратните на 9 са 9, 18, ..., а 18 е първото, което се дели на 6.

3. Колко е НОД на две взаимно прости числа?

   • 0
   • 1
   • по-малкото число
   • произведението им

   Отговор: 1

   Взаимно простите числа нямат общ делител, различен от 1.

4. Намерете НОК(8, 12).

   • 96
   • 24
   • 48
   • 4

   Отговор: 24

   8 = 2·2·2, 12 = 2·2·3, НОК = 2·2·2·3 = 24.

5. Намерете НОД(18, 27).

   • 3
   • 9
   • 54
   • 6

   Отговор: 9

   Делителите на 18 са 1, 2, 3, 6, 9, 18, а най-големият, който дели и 27, е 9.

6. Колко е НОК(24, 8)?

   • 8
   • 48
   • 24
   • 192

   Отговор: 24

   24 се дели на 8, затова НОК е самото 24.

7. Кои две числа са взаимно прости?

   • 12 и 18
   • 8 и 15
   • 14 и 21
   • 9 и 15

   Отговор: 8 и 15

   Две числа са взаимно прости, когато НОД е 1. НОД(8, 15) = 1, а другите двойки имат общ делител 6, 7 или 3.

8. Намерете НОК(14, 21).

   • 294
   • 42
   • 7
   • 84

   Отговор: 42

   14 = 2 · 7, 21 = 3 · 7, НОК = 2 · 3 · 7 = 42.

9. Един автобус тръгва на всеки 10 минути, а друг на всеки 15 минути. В 8:00 тръгват заедно. Кога ще тръгнат заедно отново?

   • в 8:25
   • в 8:15
   • в 9:00
   • в 8:30

   Отговор: в 8:30

   НОК(10, 15) = 30, значи след 30 минути.

10. От 24 червени и 36 бели рози трябва да се направят възможно най-много еднакви букета, като се използват всички цветя. Колко букета ще има?

    • 12
    • 6
    • 72
    • 4

    Отговор: 12

    Броят на букетите трябва да дели и 24, и 36, и да е най-голям: НОД(24, 36) = 12.

11. Плочки са 12 cm на 18 cm. Колко е страната на най-малкия квадрат, който може да се покрие изцяло с такива плочки, наредени еднакво?

    • 6 cm
    • 72 cm
    • 36 cm
    • 216 cm

    Отговор: 36 cm

    Страната трябва да се дели и на 12, и на 18: НОК(12, 18) = 36 cm.

12. Колко е произведението НОД(12, 18) · НОК(12, 18)?

    • 216
    • 108
    • 72
    • 432

    Отговор: 216

    НОД = 6, НОК = 36, 6 · 36 = 216 = 12 · 18.

13. Намерете НОД(84, 126, 210).

    • 14
    • 21
    • 6
    • 42

    Отговор: 42

    84 = 2·2·3·7, 126 = 2·3·3·7, 210 = 2·3·5·7. Общите множители са 2, 3 и 7: 2·3·7 = 42.

14. НОД(a, b) = 6 и НОК(a, b) = 72. Числото a е 18. Кое е числото b?

    • 12
    • 36
    • 4
    • 24

    Отговор: 24

    НОД · НОК = a · b, значи b = 6 · 72 : 18 = 24. Проверка: НОД(18, 24) = 6, НОК(18, 24) = 72.

15. Кое е най-малкото естествено число, което се дели на 2, 3, 4, 5 и 6?

    • 120
    • 60
    • 30
    • 720

    Отговор: 60

    Търси се НОК(2, 3, 4, 5, 6) = 60.

Финален въпрос