Валчести тела

Цилиндър

1. Каква фигура е основата на цилиндъра?

   • кръг
   • квадрат
   • правоъгълник
   • триъгълник

   Отговор: кръг

   Правият кръгов цилиндър има две основи, които са еднакви кръгове.

2. Колко основи има цилиндърът?

   • 2
   • 1
   • 3
   • 0

   Отговор: 2

   Цилиндърът има две еднакви основи, които са кръгове.

3. Какво тяло се получава при въртене на правоъгълник около една от страните му?

   • конус
   • цилиндър
   • кълбо
   • призма

   Отговор: цилиндър

   Въртящата се страна става ос, а правоъгълникът описва цилиндър.

4. Каква фигура е развивката на околната повърхнина на цилиндър?

   • правоъгълник
   • кръг
   • кръгов сектор
   • триъгълник

   Отговор: правоъгълник

   Едната страна на правоъгълника е височината, а другата е дължината на окръжността на основата.

5. Как се нарича отсечката, която свързва центровете на двете основи на цилиндъра?

   • образувателна
   • ос
   • радиус
   • диаметър

   Отговор: ос

   Отсечката между центровете на основите е оста на цилиндъра.

6. Как се нарича разстоянието между основите на цилиндъра?

   • височина
   • радиус
   • образувателна
   • диаметър

   Отговор: височина

   Разстоянието между двете основи е височината на цилиндъра.

7. Цилиндър има радиус 5 cm и височина 7 cm. Колко е лицето на околната му повърхнина?

   • 35π cm²
   • 70π cm²
   • 175π cm²
   • 140π cm²

   Отговор: 70π cm²

   S₁ = 2πrh = 2π·5·7 = 70π cm².

8. Развивката на околната повърхнина на цилиндър е правоъгълник със страни 12π cm и 5 cm, където 5 cm е височината. Колко е радиусът на основата?

   • 12 cm
   • 3 cm
   • 5 cm
   • 6 cm

   Отговор: 6 cm

   Едната страна е обиколката на основата: 2πr = 12π, откъдето r = 6 cm.

9. Цилиндър има радиус 2 cm и височина 5 cm. Колко е лицето на основата му?

   • 2π cm²
   • 20π cm²
   • 4π cm²
   • 10π cm²

   Отговор: 4π cm²

   Основата е кръг: π·2² = 4π cm².

10. Цилиндър има радиус 4 cm и височина 6 cm. Колко е лицето на пълната му повърхнина?

    • 48π cm²
    • 64π cm²
    • 96π cm²
    • 80π cm²

    Отговор: 80π cm²

    S = 2πr(r + h) = 2π·4·10 = 80π cm² (околна 48π и две основи по 16π).

11. Цилиндър има диаметър 10 cm и височина 8 cm. Колко е лицето на пълната му повърхнина?

    • 105π cm²
    • 80π cm²
    • 130π cm²
    • 160π cm²

    Отговор: 130π cm²

    r = 5 cm; S = 2πrh + 2πr² = 80π + 50π = 130π cm².

12. Колко квадратни метра ламарина са нужни за околната повърхнина на тръба с диаметър 0,2 m и дължина 5 m (π ≈ 3,14)?

    • 6,28 m²
    • 1,57 m²
    • 0,628 m²
    • 3,14 m²

    Отговор: 3,14 m²

    Околната повърхнина е π·d·h = 3,14·0,2·5 = 3,14 m².

13. Правоъгълник със страни 6 cm и 10 cm се завърта около по-дългата си страна. Колко е лицето на околната повърхнина на получения цилиндър?

    • 60π cm²
    • 120π cm²
    • 360π cm²
    • 100π cm²

    Отговор: 120π cm²

    Оста е страната 10 cm, затова h = 10 cm и r = 6 cm: 2π·6·10 = 120π cm².

14. Околната повърхнина на цилиндър е 60π cm², а височината му е 6 cm. Колко е лицето на пълната му повърхнина?

    • 85π cm²
    • 110π cm²
    • 60π cm²
    • 135π cm²

    Отговор: 110π cm²

    2πr·6 = 60π, значи r = 5 cm. Двете основи са 2·25π = 50π, общо 110π cm².

15. Квадрат със страна 4 cm се завърта около една от страните си. Колко е лицето на пълната повърхнина на полученото тяло?

    • 32π cm²
    • 64π cm²
    • 48π cm²
    • 16π cm²

    Отговор: 64π cm²

    Получава се цилиндър с r = 4 cm и h = 4 cm. Околната повърхнина е 2π·4·4 = 32π, двете основи са 2·16π = 32π. Общо 64π cm².

Обем на цилиндър

1. По коя формула се намира обемът на цилиндър с радиус r и височина h?

   • V = 2πrh
   • V = πr²h
   • V = πr²h : 3
   • V = 4πr²

   Отговор: V = πr²h

   Обемът е лицето на основата (πr²) по височината.

2. Обемът на цилиндър е равен на лицето на основата, умножено по:

   • радиуса
   • диаметъра
   • височината
   • обиколката на основата

   Отговор: височината

   V = B·h, където B е лицето на основата, а h е височината.

3. В какви единици се измерва обемът?

   • cm
   • cm²
   • cm³
   • градуси

   Отговор: cm³

   Обемът се измерва в кубични единици, например cm³.

4. Цилиндър има радиус 3 cm и височина 10 cm. Колко е обемът му?

   • 30π cm³
   • 90π cm³
   • 60π cm³
   • 900π cm³

   Отговор: 90π cm³

   V = π·3²·10 = 90π cm³.

5. Лицето на основата на цилиндър е 12 cm², а височината му е 5 cm. Колко е обемът?

   • 60 cm³
   • 17 cm³
   • 30 cm³
   • 120 cm³

   Отговор: 60 cm³

   V = B·h = 12·5 = 60 cm³.

6. Колко милилитра е 1 cm³?

   • 1 ml
   • 10 ml
   • 100 ml
   • 1000 ml

   Отговор: 1 ml

   1 l = 1 dm³ = 1000 cm³, а 1 l = 1000 ml, затова 1 cm³ = 1 ml.

7. Цилиндрична чаша има диаметър 8 cm и височина 10 cm. Колко милилитра побира (π ≈ 3,14)?

   • 2 009,6 ml
   • 251,2 ml
   • 125,6 ml
   • 502,4 ml

   Отговор: 502,4 ml

   r = 4 cm, V = 3,14·16·10 = 502,4 cm³ = 502,4 ml.

8. Цилиндър има диаметър 6 cm и височина 4 cm. Колко е обемът му?

   • 144π cm³
   • 24π cm³
   • 12π cm³
   • 36π cm³

   Отговор: 36π cm³

   r = 3 cm; V = π·3²·4 = 36π cm³.

9. Два цилиндъра имат еднакви радиуси, а височината на първия е 3 пъти по-голяма. Колко пъти обемът на първия е по-голям?

   • 9
   • 3
   • 6
   • 27

   Отговор: 3

   V = πr²h. При еднакъв радиус обемът е правопропорционален на височината.

10. Цилиндър има обем 72π cm³ и радиус 3 cm. Колко е височината му?

    • 24 cm
    • 4 cm
    • 12 cm
    • 8 cm

    Отговор: 8 cm

    πr²h = 72π, 9h = 72, h = 8 cm.

11. Цилиндрична цистерна има радиус 1 m и височина 2 m. Колко литра вода побира (π ≈ 3,14)?

    • 6280 l
    • 628 l
    • 3140 l
    • 62 800 l

    Отговор: 6280 l

    V = 3,14·1²·2 = 6,28 m³, а 1 m³ = 1000 l, значи 6280 l.

12. Цилиндричен съд с радиус 5 cm е напълнен с вода до височина 8 cm. Колко литра вода има в него (π ≈ 3,14)?

    • 6,28 l
    • 0,0628 l
    • 0,628 l
    • 62,8 l

    Отговор: 0,628 l

    V = 3,14·25·8 = 628 cm³ = 0,628 l.

13. Радиусът на цилиндър се увеличава 2 пъти, а височината не се променя. Колко пъти се увеличава обемът?

    • 2 пъти
    • 8 пъти
    • 4 пъти
    • 6 пъти

    Отговор: 4 пъти

    V = πr²h, а (2r)² = 4r².

14. Радиусът на цилиндър се увеличава 2 пъти, а височината се намалява 2 пъти. Как се променя обемът?

    • не се променя
    • увеличава се 4 пъти
    • намалява се 2 пъти
    • увеличава се 2 пъти

    Отговор: увеличава се 2 пъти

    r² става 4 пъти по-голямо, а h 2 пъти по-малко: 4 : 2 = 2.

15. Обемът на цилиндър е 125π cm³, а височината му е равна на радиуса. Колко е радиусът?

    • 25 cm
    • 10 cm
    • 15 cm
    • 5 cm

    Отговор: 5 cm

    πr²·r = 125π, r³ = 125, r = 5 cm.

Конус

1. Как се нарича отсечката, която свързва върха на конуса с точка от окръжността на основата?

   • образувателна
   • височина
   • радиус
   • апотема

   Отговор: образувателна

   Образувателната l е хипотенуза в правоъгълен триъгълник с катети r и h.

2. Каква фигура е основата на конуса?

   • триъгълник
   • квадрат
   • кръг
   • правоъгълник

   Отговор: кръг

   Основата на прав кръгов конус е кръг.

3. Какво тяло се получава при въртене на правоъгълен триъгълник около единия му катет?

   • цилиндър
   • конус
   • пирамида
   • сфера

   Отговор: конус

   Катетът става височина, другият катет става радиус, а хипотенузата описва околната повърхнина на конус.

4. Конус има радиус 6 cm и височина 5 cm. Колко е обемът му?

   • 180π cm³
   • 30π cm³
   • 20π cm³
   • 60π cm³

   Отговор: 60π cm³

   V = πr²h : 3 = π·36·5 : 3 = 60π cm³.

5. По коя формула се намира обемът на конус с радиус r и височина h?

   • V = πr²h
   • V = πr²h : 3
   • V = 2πrh
   • V = πr²h : 2

   Отговор: V = πr²h : 3

   Обемът на конуса е една трета от обема на цилиндър със същата основа и височина.

6. Колко основи има конусът?

   • 1
   • 2
   • 0
   • 3

   Отговор: 1

   Конусът има една основа (кръг) и връх.

7. Конус има радиус 5 cm и образувателна 12 cm. Колко е лицето на околната му повърхнина?

   • 120π cm²
   • 60π cm²
   • 85π cm²
   • 30π cm²

   Отговор: 60π cm²

   S₁ = πrl = π·5·12 = 60π cm².

8. Каква фигура е развивката на околната повърхнина на конус?

   • триъгълник
   • правоъгълник
   • кръгов сектор
   • кръг

   Отговор: кръгов сектор

   Околната повърхнина на конуса се развива в кръгов сектор с радиус образувателната.

9. Конус има радиус 3 cm и образувателна 5 cm. Колко е височината му?

   • 2 cm
   • 4 cm
   • 8 cm
   • 15 cm

   Отговор: 4 cm

   Височината, радиусът и образувателната образуват правоъгълен триъгълник: 5² − 3² = 16, h = 4 cm.

10. Конус има радиус 5 cm и височина 12 cm. Колко е лицето на пълната му повърхнина?

    • 90π cm²
    • 65π cm²
    • 85π cm²
    • 100π cm²

    Отговор: 90π cm²

    l² = 5² + 12² = 169, l = 13 cm. S = πr(r + l) = π·5·18 = 90π cm².

11. Конус има обем 48π cm³ и височина 9 cm. Колко е радиусът на основата?

    • 16 cm
    • 2 cm
    • 8 cm
    • 4 cm

    Отговор: 4 cm

    πr²·9 : 3 = 3πr² = 48π, значи r² = 16 и r = 4 cm.

12. Конус и цилиндър имат еднакви основи и еднакви височини. Обемът на цилиндъра е 90 cm³. Колко е обемът на конуса?

    • 45 cm³
    • 270 cm³
    • 30 cm³
    • 60 cm³

    Отговор: 30 cm³

    Обемът на конуса е 1/3 от обема на цилиндъра със същата основа и височина: 90 : 3 = 30.

13. Правоъгълен триъгълник с катети 6 cm и 8 cm се завърта около катета 8 cm. Колко е обемът на получения конус?

    • 128π cm³
    • 288π cm³
    • 96π cm³
    • 48π cm³

    Отговор: 96π cm³

    Оста е катетът 8 cm, затова h = 8 cm и r = 6 cm: V = π·36·8 : 3 = 96π cm³.

14. Цилиндър и конус имат еднакви основи и еднакви обеми. Височината на цилиндъра е 5 cm. Колко е височината на конуса?

    • 15 cm
    • 5 cm
    • 10 cm
    • 5/3 cm

    Отговор: 15 cm

    πr²·5 = πr²h : 3, откъдето h = 15 cm.

15. Развивката на околната повърхнина на конус е полукръг с радиус 10 cm. Колко е радиусът на основата на конуса?

    • 10 cm
    • 2,5 cm
    • 20 cm
    • 5 cm

    Отговор: 5 cm

    Дъгата на полукръга е 10π cm и е равна на дължината на окръжността на основата: 2πr = 10π, r = 5 cm.

Сфера

1. Кое твърдение за сферата е вярно?

   • тя има основа
   • тя има ръбове
   • всичките ѝ точки са на равно разстояние от центъра
   • тя е плоска фигура

   Отговор: всичките ѝ точки са на равно разстояние от центъра

   Сферата е множеството от точки в пространството на разстояние r от центъра.

2. Как се нарича отсечката, която свързва центъра на сферата с точка от нея?

   • диаметър
   • радиус
   • хорда
   • образувателна

   Отговор: радиус

   Радиусът свързва центъра с точка от сферата.

3. Кой предмет има повърхност с форма на сфера?

   • топка
   • кутия за обувки
   • фуния
   • кутия за консерви

   Отговор: топка

   Повърхността на топката е сфера. Фунията е като конус, а консервата като цилиндър.

4. По коя формула се намира лицето на сфера с радиус r?

   • S = πr²
   • S = 2πr
   • S = 4πr³ : 3
   • S = 4πr²

   Отговор: S = 4πr²

   Лицето на сферата е 4 пъти лицето на кръг със същия радиус.

5. Какво се получава при въртене на полуокръжност около диаметъра ѝ?

   • сфера
   • кръг
   • цилиндър
   • конус

   Отговор: сфера

   Всяка точка от полуокръжността описва окръжност и се получава сфера.

6. Как се нарича отсечка, която свързва две точки от сферата и минава през центъра ѝ?

   • радиус
   • образувателна
   • диаметър
   • ос

   Отговор: диаметър

   Хорда през центъра се нарича диаметър, тя е 2 пъти по-дълга от радиуса.

7. Колко е лицето на сфера с радиус 5 cm?

   • 25π cm²
   • 20π cm²
   • 500π cm²
   • 100π cm²

   Отговор: 100π cm²

   S = 4π·5² = 4π·25 = 100π cm².

8. Колко е лицето на сфера с диаметър 6 cm?

   • 144π cm²
   • 12π cm²
   • 24π cm²
   • 36π cm²

   Отговор: 36π cm²

   r = 3 cm; S = 4π·3² = 36π cm².

9. Колко е лицето на полусфера (без кръга на основата) с радиус 10 cm?

   • 400π cm²
   • 200π cm²
   • 100π cm²
   • 300π cm²

   Отговор: 200π cm²

   Сферата има лице 4π·100 = 400π cm², половината е 200π cm².

10. Лицето на сфера е 144π cm². Колко е радиусът ѝ?

    • 6 cm
    • 12 cm
    • 36 cm
    • 3 cm

    Отговор: 6 cm

    4πr² = 144π, r² = 36, r = 6 cm.

11. Колко пъти лицето на сфера с радиус r е по-голямо от лицето на кръг със същия радиус?

    • 2 пъти
    • 4 пъти
    • 3 пъти
    • π пъти

    Отговор: 4 пъти

    Лицето на сферата е 4πr², а на кръга πr².

12. Земята е почти сфера с радиус около 6400 km. Около колко километра е дължината на екватора (π ≈ 3,14)?

    • около 20 000 km
    • около 12 800 km
    • около 40 000 km
    • около 80 000 km

    Отговор: около 40 000 km

    Екваторът е голяма окръжност: 2·3,14·6400 ≈ 40 192 km.

13. Радиусът на сфера се увеличава 3 пъти. Колко пъти се увеличава лицето ѝ?

    • 9 пъти
    • 3 пъти
    • 27 пъти
    • 6 пъти

    Отговор: 9 пъти

    S = 4πr², а (3r)² = 9r².

14. Сфера с радиус 3 cm има лице, равно на околната повърхнина на цилиндър с радиус 3 cm. Колко е височината на цилиндъра?

    • 3 cm
    • 12 cm
    • 6 cm
    • 9 cm

    Отговор: 6 cm

    4π·3² = 36π и 2π·3·h = 36π, откъдето h = 6 cm.

15. Лицето на сфера е равно на лицето на кръг с радиус 10 cm. Колко е радиусът на сферата?

    • 2,5 cm
    • 10 cm
    • 20 cm
    • 5 cm

    Отговор: 5 cm

    4πr² = π·10² = 100π, r² = 25, r = 5 cm.

Кълбо

1. По коя формула се намира обемът на кълбо с радиус r?

   • V = 4πr²
   • V = πr²h
   • V = 4πr³ : 3
   • V = 4πr² : 3

   Отговор: V = 4πr³ : 3

   Обемът на кълбото е четири трети от π по куба на радиуса.

2. Как се нарича повърхнината, която ограничава кълбото?

   • кръг
   • окръжност
   • сфера
   • цилиндър

   Отговор: сфера

   Кълбото е тялото, а сферата е неговата повърхнина.

3. Какво тяло се получава при въртене на полукръг около диаметъра му?

   • сфера
   • кълбо
   • конус
   • цилиндър

   Отговор: кълбо

   Полукръгът (заедно с вътрешността) описва кълбо. Само полуокръжността описва сфера.

4. Колко е обемът на кълбо с радиус 3 cm?

   • 12π cm³
   • 108π cm³
   • 36π cm³
   • 27π cm³

   Отговор: 36π cm³

   V = 4π·27 : 3 = 36π cm³.

5. Как се нарича сечението на кълбо с равнина през центъра му?

   • сфера
   • кръгов сектор
   • окръжност
   • голям кръг

   Отговор: голям кръг

   Сечението през центъра е кръг с радиус, равен на радиуса на кълбото.

6. Каква фигура е всяко сечение на кълбо с равнина?

   • квадрат
   • кръг
   • триъгълник
   • правоъгълник

   Отговор: кръг

   Всяко сечение на кълбо с равнина е кръг. Най-голям е, когато равнината минава през центъра.

7. Колко е обемът на кълбо с радиус 6 cm?

   • 96π cm³
   • 288π cm³
   • 864π cm³
   • 144π cm³

   Отговор: 288π cm³

   V = 4π·216 : 3 = 288π cm³.

8. Обемът на кълбо е 32π/3 cm³. Колко е радиусът му?

   • 2 cm
   • 4 cm
   • 8 cm
   • 3 cm

   Отговор: 2 cm

   4πr³ : 3 = 32π : 3, значи r³ = 8 и r = 2 cm.

9. Колко е обемът на полукълбо с радиус 3 cm?

   • 36π cm³
   • 9π cm³
   • 18π cm³
   • 27π cm³

   Отговор: 18π cm³

   Кълбото има обем 4π·27/3 = 36π cm³, половината е 18π cm³.

10. Кълбо има радиус 1 dm. Приблизително колко литра е обемът му (π ≈ 3,14)?

    • 3,14
    • 12,56
    • 1
    • 4,19

    Отговор: 4,19

    V = 4·3,14·1 : 3 ≈ 4,19 dm³, а 1 dm³ = 1 литър.

11. Радиусът на кълбо се увеличава 2 пъти. Колко пъти се увеличава обемът?

    • 2 пъти
    • 8 пъти
    • 4 пъти
    • 6 пъти

    Отговор: 8 пъти

    Обемът зависи от r³, а 2³ = 8.

12. Обемът на кълбо е 36π cm³. Колко е лицето на сферата, която го ограничава?

    • 36π cm²
    • 9π cm²
    • 12π cm²
    • 108π cm²

    Отговор: 36π cm²

    4πr³/3 = 36π дава r³ = 27, r = 3 cm. Лицето е 4π·9 = 36π cm².

13. Около кълбо е описан цилиндър: основите и околната му повърхнина допират кълбото. В какво отношение са обемът на кълбото и обемът на цилиндъра?

    • 1 : 2
    • 3 : 4
    • 2 : 3
    • 1 : 3

    Отговор: 2 : 3

    Цилиндърът има радиус r и височина 2r: V = 2πr³. Кълбото: 4πr³ : 3. Отношението е 4/3 : 2 = 2 : 3.

14. Кълбо с радиус 3 cm е потопено изцяло в цилиндричен съд с вода с радиус 6 cm. С колко сантиметра се покачва водата?

    • 3 cm
    • 0,5 cm
    • 2 cm
    • 1 cm

    Отговор: 1 cm

    Обемът на кълбото е 36π cm³, основата на съда е 36π cm², значи водата се покачва с 1 cm.

15. Колко малки кълба с радиус 1 cm могат да се излеят от метално кълбо с радиус 3 cm (без загуби)?

    • 9
    • 3
    • 81
    • 27

    Отговор: 27

    Обемът е пропорционален на r³: (3 : 1)³ = 27.

Финален въпрос