Вероятности и статистика

Множества

1. С кой знак се записва „елементът x принадлежи на множеството A“?

   • x ⊂ A
   • x ∪ A
   • x ∈ A
   • x ∩ A

   Отговор: x ∈ A

   Знакът ∈ означава „принадлежи на“, а ⊂ означава „е подмножество на“.

2. Как се нарича множество, което няма елементи?

   • крайно множество
   • безкрайно множество
   • празно множество
   • подмножество

   Отговор: празно множество

   Множеството без елементи е празно и се означава с ∅.

3. Кое число е елемент на множеството A = {2; 5; 9}?

   • 3
   • 5
   • 7
   • 1

   Отговор: 5

   Елементите на A са изброени в скобите: 2, 5 и 9.

4. Колко елемента има множеството на цифрите, с които е записано числото 2 025?

   • 4
   • 2
   • 3
   • 5

   Отговор: 3

   Цифрите са 2, 0 и 5. В множеството всеки елемент се записва само веднъж.

5. Колко елемента има множеството на четните числа от 1 до 11?

   • 5
   • 6
   • 4
   • 11

   Отговор: 5

   Това са 2, 4, 6, 8 и 10: 5 елемента.

6. Колко елемента има множеството на буквите в думата „МАМА“?

   • 4
   • 2
   • 1
   • 3

   Отговор: 2

   Различните букви са само М и А. В множество всеки елемент се брои веднъж.

7. Колко подмножества има множеството A = {1; 2; 3}?

   • 8
   • 3
   • 6
   • 7

   Отговор: 8

   Това са ∅, {1}, {2}, {3}, {1; 2}, {1; 3}, {2; 3} и {1; 2; 3}.

8. Кое от множествата е безкрайно?

   • множеството на дните в седмицата
   • множеството на буквите в българската азбука
   • множеството на делителите на 100
   • множеството на естествените числа

   Отговор: множеството на естествените числа

   Естествените числа нямат край, а останалите множества имат краен брой елементи.

9. Кое е множеството на естествените делители на 10?

   • {2; 5}
   • {10; 20; 30}
   • {1; 2; 5; 10}
   • {1; 10}

   Отговор: {1; 2; 5; 10}

   10 се дели на 1, 2, 5 и 10.

10. Кое множество е подмножество на {2; 4; 6; 8}?

    • {4; 8}
    • {2; 3}
    • {1; 4}
    • {6; 10}

    Отговор: {4; 8}

    Всеки елемент на {4; 8} е елемент и на {2; 4; 6; 8}.

11. Дадено е A = {1; 2}. Кое е вярно?

    • A ⊂ ∅
    • ∅ ⊂ A
    • ∅ = A
    • 1 ⊂ A

    Отговор: ∅ ⊂ A

    Празното множество е подмножество на всяко множество. За елемент се пише 1 ∈ A, а не 1 ⊂ A.

12. Кое е вярно за множествата A = {1; 2; 3} и B = {3; 2; 1}?

    • A = B
    • B има повече елементи
    • A и B нямат общи елементи
    • A има повече елементи

    Отговор: A = B

    Двете множества имат едни и същи елементи. Редът на изброяване няма значение.

13. Колко подмножества с точно 2 елемента има множеството {a; b; c; d}?

    • 4
    • 8
    • 12
    • 6

    Отговор: 6

    Това са {a; b}, {a; c}, {a; d}, {b; c}, {b; d} и {c; d}.

14. Колко елемента има множеството на двуцифрените числа, кратни на 7?

    • 14
    • 13
    • 12
    • 15

    Отговор: 13

    Това са 14, 21, ..., 98, т.е. 7·2, ..., 7·14: общо 14 − 2 + 1 = 13.

15. Колко елемента има множеството на естествените числа x, за които 3 < 2x < 15?

    • 5
    • 7
    • 12
    • 6

    Отговор: 6

    Условието е изпълнено за x = 2, 3, 4, 5, 6, 7, т.е. 6 числа.

Операции с множества

1. A = {1; 3; 5} и B = {3; 4; 5}. Кое е обединението A ∪ B?

   • {3; 5}
   • {1; 3; 4; 5}
   • {1; 4}
   • {1; 3; 5}

   Отговор: {1; 3; 4; 5}

   Обединението съдържа всички елементи, които са поне в едното множество.

2. Как се нарича множеството от елементите, които принадлежат поне на едно от две множества?

   • сечение
   • подмножество
   • празно множество
   • обединение

   Отговор: обединение

   Обединението A ∪ B съдържа елементите, които са в A или в B.

3. A = {2; 4; 6} и B = {4; 6; 8}. Кое е сечението A ∩ B?

   • {4; 6}
   • {2; 8}
   • {2; 4; 6; 8}
   • ∅

   Отговор: {4; 6}

   Сечението съдържа общите елементи: 4 и 6.

4. Как се нарича множеството от общите елементи на две множества?

   • обединение
   • сечение
   • подмножество
   • празно множество

   Отговор: сечение

   Сечението A ∩ B съдържа елементите, които са и в A, и в B.

5. A = {a; b; c} и B = {d; e}. Кое е сечението A ∩ B?

   • ∅
   • {a; b; c; d; e}
   • {c; d}
   • {a; d}

   Отговор: ∅

   A и B нямат общи елементи, затова сечението им е празното множество.

6. С кой знак се означава обединението на две множества?

   • ∩
   • ∪
   • ∈
   • ⊂

   Отговор: ∪

   Обединението се бележи с ∪, а сечението с ∩.

7. A е множеството на делителите на 12, а B е множеството на делителите на 18. Колко елемента има A ∩ B?

   • 4
   • 6
   • 9
   • 2

   Отговор: 4

   A ∩ B = {1; 2; 3; 6}.

8. A е множеството на делителите на 8, а B е множеството на делителите на 6. Колко елемента има A ∪ B?

   • 8
   • 2
   • 6
   • 4

   Отговор: 6

   A = {1; 2; 4; 8}, B = {1; 2; 3; 6}, A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 6; 8}.

9. A е множеството на четните числа от 1 до 10, а B е множеството на числата от 1 до 10, кратни на 3. Кое е A ∩ B?

   • {3; 6; 9}
   • ∅
   • {6}
   • {2; 3; 4; 6; 8; 9; 10}

   Отговор: {6}

   A = {2; 4; 6; 8; 10}, B = {3; 6; 9}. Общ е само елементът 6.

10. В клас от 25 ученици 15 играят футбол, 12 играят баскетбол, а 5 играят и двете. Колко ученици не играят нито едното?

    • 3
    • 0
    • 8
    • 2

    Отговор: 3

    Поне един от спортовете играят 15 + 12 − 5 = 22 ученици, затова 25 − 22 = 3 не играят.

11. Множеството A е подмножество на B. На какво е равно A ∩ B?

    • B
    • ∅
    • A ∪ B
    • A

    Отговор: A

    Всички елементи на A са и в B, затова общите им елементи са точно елементите на A.

12. Дадени са A = {1; 2} и B = {2; 3}. Колко елемента има A ∪ (A ∩ B)?

    • 1
    • 2
    • 3
    • 4

    Отговор: 2

    A ∩ B = {2}, а A ∪ {2} = {1; 2}, което има 2 елемента.

13. A е множеството на целите числа x, за които −2 ≤ x < 3, а B е множеството на положителните цели числа. Колко елемента има A ∩ B?

    • 2
    • 3
    • 5
    • 1

    Отговор: 2

    A = {−2; −1; 0; 1; 2}. Общите елементи с B са 1 и 2.

14. Множеството A има 7 елемента, B има 5 елемента, а A ∩ B има 3 елемента. Колко елемента има A ∪ B?

    • 12
    • 9
    • 15
    • 2

    Отговор: 9

    Общите 3 елемента са преброени два пъти: 7 + 5 − 3 = 9.

15. Множеството A има 10 елемента, A ∪ B има 15 елемента, а A ∩ B има 4 елемента. Колко елемента има B?

    • 5
    • 11
    • 1
    • 9

    Отговор: 9

    Броят на елементите в A ∪ B е 10 + |B| − 4 = 15, откъдето B има 9 елемента.

Случайни събития

1. Кое събитие е сигурно при хвърляне на обикновен зар?

   • пада се 6
   • пада се число от 1 до 6
   • пада се 7
   • пада се четно число

   Отговор: пада се число от 1 до 6

   При всяко хвърляне се пада някое от числата 1, 2, 3, 4, 5, 6.

2. Кое събитие е невъзможно при хвърляне на обикновен зар?

   • пада се 6
   • пада се четно число
   • пада се 7
   • пада се 1

   Отговор: пада се 7

   Зарът има числата от 1 до 6, затова 7 не може да се падне.

3. Как се нарича събитие, което със сигурност ще настъпи?

   • случайно
   • сигурно
   • невъзможно
   • вероятно

   Отговор: сигурно

   Събитие, което настъпва при всеки опит, се нарича сигурно.

4. Кое от събитията е случайно?

   • утре Слънцето ще изгрее
   • от торба само с червени топки се изважда бяла
   • сборът 2 + 2 е равен на 4
   • при хвърляне на монета се пада ези

   Отговор: при хвърляне на монета се пада ези

   Ези може да се падне, а може и да не се падне, затова събитието е случайно.

5. Колко са възможните изходи при хвърляне на един зар?

   • 6
   • 2
   • 12
   • 36

   Отговор: 6

   Може да се падне всяко от числата 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

6. От торба само с червени топки се изважда една топка. Какво е събитието „топката е синя“?

   • сигурно
   • случайно
   • невъзможно
   • равновероятно

   Отговор: невъзможно

   В торбата няма сини топки, затова събитието не може да настъпи.

7. Колко са възможните изходи при хвърляне на две различни монети?

   • 2
   • 3
   • 4
   • 6

   Отговор: 4

   Изходите са ЕЕ, ЕТ, ТЕ и ТТ (Е = ези, Т = тура).

8. Колко са възможните изходи при хвърляне на два различни зара?

   • 36
   • 12
   • 6
   • 21

   Отговор: 36

   За всеки от 6-те изхода на първия зар има 6 изхода на втория: 6·6 = 36.

9. При хвърляне на зар колко изхода благоприятстват събитието „пада се четно число“?

   • 3
   • 2
   • 4
   • 6

   Отговор: 3

   Четните числа на зара са 2, 4 и 6.

10. Хвърлят се два различни зара. При колко от изходите сборът е 7?

    • 3
    • 5
    • 7
    • 6

    Отговор: 6

    Това са (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2) и (6; 1).

11. Хвърлят се монета и зар. Колко са всички възможни изходи?

    • 8
    • 6
    • 12
    • 36

    Отговор: 12

    Монетата има 2 изхода, а зарът 6: 2·6 = 12.

12. Хвърлят се два различни зара. При колко от изходите двете числа са еднакви?

    • 12
    • 6
    • 3
    • 36

    Отговор: 6

    Изходите са (1; 1), (2; 2), ..., (6; 6), т.е. 6.

13. Кое от събитията е най-вероятно при хвърляне на зар?

    • пада се 6
    • пада се число, по-голямо от 2
    • пада се нечетно число
    • пада се число, по-малко от 3

    Отговор: пада се число, по-голямо от 2

    Благоприятните изходи за вариантите са съответно 1, 4, 3 и 2 от общо 6.

14. Хвърлят се два различни зара. При колко от изходите произведението на падналите се числа е 12?

    • 2
    • 4
    • 3
    • 6

    Отговор: 4

    Това са (2; 6), (6; 2), (3; 4) и (4; 3).

15. Изтегля се една от 10 карти с номера от 1 до 10. Колко изхода благоприятстват събитието „номерът се дели на 2 или на 5“?

    • 7
    • 5
    • 6
    • 3

    Отговор: 6

    Четните са 2, 4, 6, 8, 10, а от кратните на 5 се добавя само 5. Общо 6 изхода.

Вероятност

1. В торба има 3 червени и 7 сини топки. Каква е вероятността случайно извадена топка да е червена?

   • 3/7
   • 7/10
   • 3/10
   • 1/3

   Отговор: 3/10

   Благоприятните изходи са 3 от общо 10.

2. Каква е вероятността на сигурно събитие?

   • 0
   • 1/2
   • 100
   • 1

   Отговор: 1

   Сигурното събитие настъпва винаги и вероятността му е 1.

3. Каква е вероятността на невъзможно събитие?

   • 1
   • 0
   • 1/2
   • −1

   Отговор: 0

   Невъзможното събитие няма благоприятни изходи, затова вероятността му е 0.

4. Каква е вероятността при хвърляне на зар да се падне число, което се дели на 3?

   • 1/2
   • 1/6
   • 1/3
   • 2/3

   Отговор: 1/3

   Благоприятни са 3 и 6, т.е. 2 от 6 изхода: 2/6 = 1/3.

5. Каква е вероятността при хвърляне на зар да се падне число, по-малко от 5?

   • 1/2
   • 2/3
   • 5/6
   • 1/3

   Отговор: 2/3

   Благоприятни са 1, 2, 3 и 4: 4/6 = 2/3.

6. Каква е вероятността при хвърляне на монета да се падне тура?

   • 1
   • 1/4
   • 1/2
   • 2

   Отговор: 1/2

   Изходите са 2 (ези и тура), благоприятен е 1.

7. От числата 1, 2, 3, ..., 20 се избира случайно едно. Каква е вероятността то да е просто?

   • 1/2
   • 2/5
   • 9/20
   • 7/20

   Отговор: 2/5

   Простите числа са 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19, т.е. 8 от 20: 8/20 = 2/5.

8. Избира се случайно една буква от думата „КАРТА“. Каква е вероятността тя да е А?

   • 1/5
   • 1/4
   • 2/5
   • 1/2

   Отговор: 2/5

   В думата има 5 букви, от които 2 са А: 2/5.

9. В клас има 12 момчета и 18 момичета. Избира се случайно един ученик. Каква е вероятността да е момче?

   • 2/5
   • 2/3
   • 3/5
   • 1/12

   Отговор: 2/5

   12 от 30 ученици са момчета: 12/30 = 2/5.

10. Хвърлят се две монети. Каква е вероятността да се падне поне едно ези?

    • 1/2
    • 1/4
    • 2/3
    • 3/4

    Отговор: 3/4

    От 4 изхода (ЕЕ, ЕТ, ТЕ, ТТ) само ТТ е без ези: 3/4.

11. Избира се случайно двуцифрено число. Каква е вероятността то да завършва на 0?

    • 1/9
    • 1/90
    • 9/100
    • 1/10

    Отговор: 1/10

    Двуцифрените числа са 90, а тези, завършващи на 0, са 9: 9/90 = 1/10.

12. Изтегля се случайно карта с номер от 1 до 50. Каква е вероятността номерът да е точен квадрат?

    • 1/10
    • 3/25
    • 7/50
    • 1/7

    Отговор: 7/50

    Точните квадрати са 1, 4, 9, 16, 25, 36 и 49, т.е. 7 от 50.

13. Хвърлят се два зара. Каква е вероятността сборът да е 10?

    • 1/6
    • 1/11
    • 1/12
    • 1/36

    Отговор: 1/12

    Благоприятни са (4; 6), (5; 5) и (6; 4), т.е. 3 от 36 изхода: 3/36 = 1/12.

14. Хвърлят се два зара. Каква е вероятността и двете числа да са четни?

    • 1/4
    • 1/2
    • 1/6
    • 1/3

    Отговор: 1/4

    Двойките от четни числа са 3·3 = 9 от общо 36: 9/36 = 1/4.

15. Хвърлят се два различни зара. Каква е вероятността сборът да е по-малък от 5?

    • 1/9
    • 5/36
    • 1/4
    • 1/6

    Отговор: 1/6

    Сбор 2: 1 изход, сбор 3: 2 изхода, сбор 4: 3 изхода. Общо 6 от 36, т.е. 1/6.

Средно и данни

1. Колко е средноаритметичното на числата 12, 15, 18 и 19?

   • 15
   • 64
   • 17
   • 16

   Отговор: 16

   (12 + 15 + 18 + 19) : 4 = 64 : 4 = 16.

2. Колко е средноаритметичното на 5 и 9?

   • 14
   • 4
   • 7
   • 6

   Отговор: 7

   (5 + 9) : 2 = 7.

3. Как се намира средноаритметичното на няколко числа?

   • сборът им се дели на броя им
   • най-голямото минус най-малкото
   • умножават се
   • сборът им се умножава по броя им

   Отговор: сборът им се дели на броя им

   Средноаритметичното е сборът на числата, разделен на броя им.

4. Ученик има оценки 6, 5, 5, 4, 6 и 4. Колко е средният му успех?

   • 5
   • 4,5
   • 5,5
   • 6

   Отговор: 5

   Сборът е 30, а оценките са 6: 30 : 6 = 5.

5. Колко е средноаритметичното на −4, 0 и 7?

   • 1
   • 3
   • −1
   • 11/3

   Отговор: 1

   (−4 + 0 + 7) : 3 = 3 : 3 = 1.

6. Коя оценка се среща най-често сред 5, 6, 4, 5, 3, 5, 6?

   • 6
   • 5
   • 4
   • 3

   Отговор: 5

   Оценката 5 се среща 3 пъти, 6 се среща 2 пъти, а 4 и 3 по веднъж.

7. Средноаритметичното на 5 числа е 8. Колко е сборът им?

   • 13
   • 8
   • 1,6
   • 40

   Отговор: 40

   Сборът е средноаритметичното по броя: 8·5 = 40.

8. Ученик има оценки 5, 6, 6, 4 и още една. Средният му успех е 5,20. Коя е последната оценка?

   • 6
   • 4
   • 3
   • 5

   Отговор: 5

   Сборът на 5 оценки е 5,2·5 = 26, а известните дават 21: 26 − 21 = 5.

9. Всяко от числата 3, 5, 7 и 9 се увеличава с 4. С колко се увеличава средноаритметичното им?

   • с 16
   • с 4
   • с 1
   • не се променя

   Отговор: с 4

   Сборът се увеличава с 4·4 = 16, а броят е 4, затова средното се увеличава с 4.

10. Сутрешните температури за 5 дни са −3 °C, −1 °C, 2 °C, 4 °C и −7 °C. Колко е средната температура?

    • 1 °C
    • −1 °C
    • −3 °C
    • 0 °C

    Отговор: −1 °C

    Сборът е −3 − 1 + 2 + 4 − 7 = −5, а −5 : 5 = −1.

11. В група 3 ученици имат оценка 6, 5 ученици имат 5 и 2 ученици имат 3. Колко е средният успех на групата?

    • 4,67
    • 4,90
    • 5,00
    • 4,50

    Отговор: 4,90

    (3·6 + 5·5 + 2·3) : 10 = 49 : 10 = 4,90.

12. За 6 месеца семейство е платило за ток 40, 35, 50, 45, 30 и 40 евро. Колко е средното месечно плащане?

    • 45 евро
    • 35 евро
    • 40 евро
    • 48 евро

    Отговор: 40 евро

    Сборът е 240 евро, 240 : 6 = 40 евро.

13. Средната възраст на 4 деца е 10 години. Когато към тях се присъедини пето дете, средната възраст става 11 години. На колко години е петото дете?

    • 11
    • 15
    • 12
    • 14

    Отговор: 15

    Сборът на възрастите на 4 деца е 40, а на 5 деца е 55. Петото дете е на 55 − 40 = 15 години.

14. Средната височина на 3 момчета е 150 cm, а на 2 момичета е 140 cm. Колко е средната височина на всичките 5 деца?

    • 145 cm
    • 146 cm
    • 144 cm
    • 148 cm

    Отговор: 146 cm

    (3·150 + 2·140) : 5 = 730 : 5 = 146 cm.

15. Средноаритметичното на 10 числа е 7. Оказва се, че едно число е записано като 25 вместо 5. Колко е вярното средноаритметично?

    • 6
    • 5,5
    • 4
    • 5

    Отговор: 5

    Сборът е 70, а верният сбор е 70 − 25 + 5 = 50. Средното е 50 : 10 = 5.

Финален въпрос