Пропорции

Отношение

1. Кое е отношението на 15 към 25 в несъкратим вид?

   • 5 : 3
   • 1 : 10
   • 3 : 5
   • 3 : 25

   Отговор: 3 : 5

   Делим двата члена на 5: 15 : 25 = 3 : 5.

2. Колко е стойността на отношението 18 : 6?

   • 12
   • 1/3
   • 3
   • 108

   Отговор: 3

   18 : 6 = 3.

3. В кошница има 6 ябълки и 9 круши. Кое е отношението на ябълките към крушите?

   • 2 : 3
   • 3 : 2
   • 1 : 3
   • 2 : 5

   Отговор: 2 : 3

   6 : 9 = 2 : 3 след съкращаване с 3.

4. Запишете отношението 0,6 : 1,5 с най-малки естествени числа.

   • 6 : 15
   • 3 : 5
   • 5 : 2
   • 2 : 5

   Отговор: 2 : 5

   Умножаваме по 10: 6 : 15, после делим на 3: 2 : 5.

5. Запишете отношението 2/3 : 4/9 с най-малки естествени числа.

   • 3 : 2
   • 2 : 3
   • 8 : 27
   • 6 : 4

   Отговор: 3 : 2

   (2/3) : (4/9) = 2/3·9/4 = 3/2, т.е. 3 : 2.

6. Кое отношение е равно на 4 : 6?

   • 6 : 4
   • 10 : 15
   • 8 : 10
   • 2 : 4

   Отговор: 10 : 15

   4 : 6 = 2 : 3 и 10 : 15 = 2 : 3.

7. Кое е отношението на 40 cm към 2 m?

   • 1 : 5
   • 20 : 1
   • 2 : 40
   • 1 : 50

   Отговор: 1 : 5

   2 m = 200 cm, затова 40 : 200 = 1 : 5.

8. В клас има 12 момчета и 16 момичета. Кое е отношението на момчетата към всички ученици?

   • 3 : 4
   • 4 : 7
   • 7 : 3
   • 3 : 7

   Отговор: 3 : 7

   Всички са 28, а 12 : 28 = 3 : 7.

9. Две числа се отнасят както 5 : 2, а по-малкото е 14. Кое е по-голямото?

   • 28
   • 70
   • 35
   • 7

   Отговор: 35

   Една част е 14 : 2 = 7. По-голямото е 5·7 = 35.

10. Мащабът на карта е 1 : 50 000. Разстоянието между две селища на картата е 6 cm. Колко е то в действителност?

    • 3 km
    • 30 km
    • 300 m
    • 12 km

    Отговор: 3 km

    6·50 000 = 300 000 cm = 3 000 m = 3 km.

11. Мащабът на карта е 1 : 200 000. Действителното разстояние между два града е 18 km. Колко е то на картата?

    • 36 cm
    • 9 cm
    • 90 cm
    • 0,9 cm

    Отговор: 9 cm

    18 km = 1 800 000 cm и 1 800 000 : 200 000 = 9 cm.

12. Числото a е 25% от числото b. Кое е отношението a : b?

    • 1 : 4
    • 4 : 1
    • 1 : 25
    • 25 : 1

    Отговор: 1 : 4

    25% = 1/4, затова a : b = 1 : 4.

13. Две числа се отнасят както 4 : 7, а разликата им е 18. Кое е по-голямото?

    • 24
    • 66
    • 42
    • 28

    Отговор: 42

    Числата са 4k и 7k, разликата е 3k = 18, k = 6. По-голямото е 7·6 = 42.

14. Две числа се отнасят както 3 : 5. Ако към всяко от тях прибавим 4, отношението става 2 : 3. Кое е по-голямото число?

    • 12
    • 20
    • 15
    • 25

    Отговор: 20

    (3k + 4) : (5k + 4) = 2 : 3, 9k + 12 = 10k + 8, k = 4. Числата са 12 и 20.

15. Две положителни числа се отнасят както 2 : 5. Кое е отношението на сбора им към разликата им (по-голямото минус по-малкото)?

    • 3 : 7
    • 5 : 2
    • 7 : 5
    • 7 : 3

    Отговор: 7 : 3

    Числата са 2k и 5k. Сборът е 7k, разликата е 3k, отношението е 7 : 3.

Пропорция

1. Кое равенство е пропорция?

   • 2 : 3 = 3 : 2
   • 2 : 3 = 8 : 12
   • 4 : 5 = 5 : 6
   • 1 : 2 = 3 : 5

   Отговор: 2 : 3 = 8 : 12

   Двете отношения са равни: 2/3 = 8/12. Проверка: 2·12 = 3·8 = 24.

2. Кои са средните членове на пропорцията 3 : 7 = 9 : 21?

   • 3 и 21
   • 3 и 9
   • 7 и 21
   • 7 и 9

   Отговор: 7 и 9

   Средните членове са вторият и третият: 7 и 9.

3. Кое число липсва в пропорцията 1 : 2 = 5 : ?

   • 7
   • 10
   • 2,5
   • 5

   Отговор: 10

   Стойността на отношението 1 : 2 е 1/2, затова 5 : 10 = 1/2.

4. Намерете x от пропорцията x : 4 = 15 : 12.

   • 45
   • 5
   • 3,2
   • 7

   Отговор: 5

   12x = 4·15 = 60, x = 5.

5. Кое е основното свойство на пропорцията a : b = c : d?

   • a·d = b·c
   • a·b = c·d
   • a·c = b·d
   • a + d = b + c

   Отговор: a·d = b·c

   Произведението на крайните членове е равно на произведението на средните.

6. Колко е произведението на средните членове на пропорцията 3 : 4 = 6 : 8?

   • 12
   • 18
   • 24
   • 48

   Отговор: 24

   Средните членове са 4 и 6, произведението им е 24.

7. Намерете x от пропорцията 3,5 : x = 7 : 0,4.

   • 5
   • 0,8
   • 61,25
   • 0,2

   Отговор: 0,2

   7x = 3,5·0,4 = 1,4, x = 0,2.

8. Намерете x от пропорцията 2/3 : x = 4 : 9.

   • 6
   • 2/27
   • 1,5
   • 3/8

   Отговор: 1,5

   4x = 2/3·9 = 6, x = 6 : 4 = 1,5.

9. Намерете положителното число x от пропорцията 5 : x = x : 20.

   • 10
   • 4
   • 25
   • 100

   Отговор: 10

   По основното свойство x·x = 5·20 = 100, значи x = 10.

10. Намерете x от пропорцията (x + 2) : 3 = (x − 1) : 2.

    • 7
    • −7
    • 1
    • 5

    Отговор: 7

    2(x + 2) = 3(x − 1), 2x + 4 = 3x − 3, x = 7.

11. Числата a и b са различни от 0 и 5a = 3b. На какво е равно a : b?

    • 5 : 3
    • 15 : 1
    • 1 : 15
    • 3 : 5

    Отговор: 3 : 5

    От 5a = 3b по основното свойство следва a : b = 3 : 5.

12. От пропорцията a : b = c : d следва, че:

    • a : d = b : c
    • b : a = c : d
    • a + b = c + d
    • a : c = b : d

    Отговор: a : c = b : d

    От a·d = b·c следва и a : c = b : d (размяна на средните членове).

13. Ако a : b = 3 : 5, на колко е равно (a + b) : b?

    • 3 : 8
    • 8 : 5
    • 5 : 8
    • 8 : 3

    Отговор: 8 : 5

    Нека a = 3k и b = 5k. Тогава (a + b) : b = 8k : 5k = 8 : 5.

14. Дадено е a : b = 2 : 7. На какво е равно (3a + b) : (a + b)?

    • 9 : 13
    • 13 : 9
    • 5 : 9
    • 3 : 1

    Отговор: 13 : 9

    Нека a = 2k, b = 7k. Тогава (6k + 7k) : (2k + 7k) = 13 : 9.

15. Пропорцията x : 6 = 10 : y е вярна. Колко е x·y?

    • 16
    • 60
    • 1,67
    • 36

    Отговор: 60

    По основното свойство произведението на крайните е равно на произведението на средните: x·y = 6·10 = 60.

Права зависимост

1. Кои величини са правопропорционални?

   • скорост и време при един и същ път
   • брой работници и време за една и съща работа
   • цена и количество при еднаква единична цена
   • възраст и ръст на човек

   Отговор: цена и количество при еднаква единична цена

   Колкото пъти се увеличи количеството, толкова пъти се увеличава цената.

2. x и y са правопропорционални. Как се променя y, ако x се увеличи 2 пъти?

   • намалява 2 пъти
   • увеличава се 4 пъти
   • увеличава се 2 пъти
   • не се променя

   Отговор: увеличава се 2 пъти

   При права пропорционалност y = k·x, затова y се променя толкова пъти, колкото и x.

3. При правата пропорционалност y = k·x как се нарича числото k?

   • коефициент на пропорционалност
   • показател
   • корен
   • аргумент

   Отговор: коефициент на пропорционалност

   Числото k в y = k·x е коефициентът на пропорционалност.

4. Дадено е y = 3x. На колко е равно y при x = −4?

   • 12
   • −1
   • −12
   • −7

   Отговор: −12

   y = 3·(−4) = −12.

5. През коя точка минава графиката на всяка права пропорционалност y = k·x?

   • (0; 0)
   • (1; 1)
   • (0; 1)
   • (1; 0)

   Отговор: (0; 0)

   При x = 0 стойността е y = k·0 = 0.

6. Кое от равенствата задава права пропорционалност?

   • y = x + 2
   • y = 5x
   • y = 10/x
   • y = x − 5

   Отговор: y = 5x

   Права пропорционалност се задава с y = k·x, тук k = 5.

7. 5 m плат струват 42 евро. Колко струват 8 m от същия плат?

   • 26,25 евро
   • 67,50 евро
   • 67,20 евро
   • 64 евро

   Отговор: 67,20 евро

   1 m струва 42 : 5 = 8,40 евро, а 8 m струват 8·8,40 = 67,20 евро.

8. Кола изразходва 6 l гориво на 100 km. Колко литра ще изразходва за 250 km?

   • 15 l
   • 12 l
   • 18 l
   • 25 l

   Отговор: 15 l

   6 : 100 = x : 250, x = 6·250 : 100 = 15 l.

9. 3 kg ябълки струват 4,50 евро. Колко килограма ще купим с 12 евро?

   • 6 kg
   • 9 kg
   • 8 kg
   • 10 kg

   Отговор: 8 kg

   1 kg струва 1,50 евро, 12 : 1,50 = 8 kg.

10. y е правопропорционално на x. При x = 6 стойността на y е 15. Колко е коефициентът на пропорционалност?

    • 0,4
    • 2,5
    • 9
    • 90

    Отговор: 2,5

    k = y : x = 15 : 6 = 2,5.

11. y е правопропорционално на x и при x = 2 стойността на y е −7. С коя формула се задава зависимостта?

    • y = 3,5x
    • y = −14x
    • y = −3,5x
    • y = −5x

    Отговор: y = −3,5x

    k = y : x = −7 : 2 = −3,5.

12. В кои квадранти лежи графиката на y = −3x (без началото на координатната система)?

    • I и III
    • II и IV
    • I и II
    • III и IV

    Отговор: II и IV

    При x > 0 стойността y е отрицателна, а при x < 0 е положителна. Това са IV и II квадрант.

13. Коя точка лежи на графиката на y = −2x?

    • (3; 6)
    • (−3; −6)
    • (6; −3)
    • (−3; 6)

    Отговор: (−3; 6)

    При x = −3: y = −2·(−3) = 6.

14. От 8 kg мляко се получават 1,2 kg сирене. Колко килограма мляко са нужни за 4,5 kg сирене?

    • 24 kg
    • 30 kg
    • 36 kg
    • 0,675 kg

    Отговор: 30 kg

    8 : 1,2 = x : 4,5, x = 8·4,5 : 1,2 = 30 kg.

15. Принтер отпечатва 12 страници за 45 секунди. За колко минути ще отпечата 96 страници?

    • 8 min
    • 4,5 min
    • 5 min
    • 6 min

    Отговор: 6 min

    96 страници са 8 пъти по 12, затова времето е 8·45 = 360 s = 6 min.

Обратна зависимост

1. Кои величини са обратнопропорционални?

   • цена и количество
   • скорост и време при един и същ път
   • страна и обиколка на квадрат
   • път и време при постоянна скорост

   Отговор: скорост и време при един и същ път

   Колкото пъти се увеличи скоростта, толкова пъти намалява времето: v·t = s = const.

2. Каква зависимост задава формулата y = 12/x?

   • права пропорционалност
   • y не зависи от x
   • y = 12 при всяко x
   • обратна пропорционалност

   Отговор: обратна пропорционалност

   Произведението x·y = 12 е постоянно, значи зависимостта е обратна пропорционалност.

3. Торта се разделя на равни парчета. Как се променя големината на всяко парче, ако парчетата станат повече?

   • увеличава се
   • намалява
   • не се променя
   • удвоява се

   Отговор: намалява

   Колкото повече са парчетата, толкова по-малко е всяко. Това е обратна пропорционалност.

4. Дадено е y = 24/x. На колко е равно y при x = 6?

   • 4
   • 144
   • 18
   • 30

   Отговор: 4

   y = 24 : 6 = 4.

5. Какво е произведението x·y при обратна пропорционалност между x и y?

   • винаги 0
   • постоянно число
   • винаги 1
   • винаги отрицателно

   Отговор: постоянно число

   При обратна пропорционалност x·y = k, където k е постоянно.

6. x и y са обратнопропорционални. При x = 3 стойността на y е 8. Колко е коефициентът на пропорционалност?

   • 24
   • 11
   • 8/3
   • 5

   Отговор: 24

   При обратна пропорционалност x·y = k, т.е. k = 3·8 = 24.

7. Кола със скорост 90 km/h изминава разстояние за 4 часа. За колко часа ще го измине със 120 km/h?

   • 5 ч 20 мин
   • 2,5 часа
   • 3 часа
   • 4,5 часа

   Отговор: 3 часа

   Пътят е 90·4 = 360 km, а 360 : 120 = 3 часа.

8. 8 еднакви помпи изпомпват вода от басейн за 6 часа. За колко часа ще я изпомпат 12 такива помпи?

   • 9 часа
   • 3 часа
   • 4 часа
   • 2 часа

   Отговор: 4 часа

   8·6 = 48 помпа-часа; 48 : 12 = 4 часа.

9. Правоъгълници имат едно и също лице 48 cm². При дължина 12 cm ширината е 4 cm. Каква е ширината при дължина 16 cm?

   • 5 cm
   • 6 cm
   • 3 cm
   • 2 cm

   Отговор: 3 cm

   Дължината и ширината са обратнопропорционални: 48 : 16 = 3 cm.

10. 12 крана разтоварват кораб за 10 часа. Колко такива крана ще го разтоварят за 8 часа?

    • 15
    • 10
    • 14
    • 9,6

    Отговор: 15

    Работата е 12·10 = 120 кранчаса, а 120 : 8 = 15 крана.

11. x и y са обратнопропорционални и при x = 5 стойността на y е 12. Колко е y при x = −3?

    • 20
    • −36
    • 14
    • −20

    Отговор: −20

    k = 5·12 = 60, затова y = 60 : (−3) = −20.

12. Коя точка лежи на графиката на y = −12/x?

    • (3; 4)
    • (−3; −4)
    • (2; −6)
    • (−2; −6)

    Отговор: (2; −6)

    За точките от графиката x·y = −12. Само 2·(−6) = −12.

13. x и y са обратнопропорционални. Как се променя y, ако x се увеличи 3 пъти?

    • увеличава се 3 пъти
    • намалява 3 пъти
    • намалява с 3
    • не се променя

    Отговор: намалява 3 пъти

    Произведението x·y е постоянно, затова y трябва да намалее 3 пъти.

14. Храната в лагер стига за 30 деца за 20 дни. Пристигат още 10 деца. За колко дни ще стигне храната?

    • 15 дни
    • 10 дни
    • 25 дни
    • 30 дни

    Отговор: 15 дни

    Храната е 30·20 = 600 дневни дажби; 600 : 40 = 15 дни.

15. Зъбно колело с 40 зъба е свързано със зъбно колело с 24 зъба. Голямото прави 30 оборота в минута. Колко оборота в минута прави малкото?

    • 18
    • 40
    • 72
    • 50

    Отговор: 50

    Броят зъби и броят обороти са обратнопропорционални: 40·30 = 24·n, n = 50.

a : b : c и диаграми

1. Три числа се отнасят както 1 : 2 : 3, а сборът им е 48. Кое е най-малкото?

   • 8
   • 16
   • 24
   • 6

   Отговор: 8

   Числата са k, 2k и 3k: 6k = 48, k = 8.

2. На колко градуса отговаря целият кръг в кръгова диаграма?

   • 180°
   • 100°
   • 360°
   • 90°

   Отговор: 360°

   Целият кръг е 360° и отговаря на 100%.

3. Какъв вид диаграма показва частите от едно цяло като сектори от кръг?

   • стълбовидна
   • кръгова
   • линейна
   • точкова

   Отговор: кръгова

   Кръговата диаграма разделя кръга на сектори, пропорционални на частите.

4. Ъглите на триъгълник се отнасят както 2 : 3 : 4. Колко градуса е най-големият ъгъл?

   • 60°
   • 40°
   • 90°
   • 80°

   Отговор: 80°

   2k + 3k + 4k = 180°, k = 20°, най-големият е 4·20° = 80°.

5. В кръгова диаграма един сектор е 180°. Каква част от данните показва той?

   • половината
   • една четвърт
   • една трета
   • всички

   Отговор: половината

   180° е половината от 360°.

6. Числото 30 е разделено на две части в отношение 2 : 3. Колко е по-голямата част?

   • 18
   • 12
   • 15
   • 20

   Отговор: 18

   Частите са 5, всяка е 6. По-голямата е 3·6 = 18.

7. В кръгова диаграма 25% от учениците са избрали футбол. Колко градуса е секторът за футбол?

   • 90°
   • 25°
   • 45°
   • 100°

   Отговор: 90°

   Целият кръг е 360°, а 25% от 360° = 90°.

8. Обиколката на триъгълник е 36 cm, а страните му се отнасят както 3 : 4 : 5. Колко е най-дългата страна?

   • 12 cm
   • 9 cm
   • 20 cm
   • 15 cm

   Отговор: 15 cm

   3k + 4k + 5k = 36, k = 3. Най-дългата страна е 5·3 = 15 cm.

9. Сладкиш се прави от брашно, захар и масло в отношение 4 : 2 : 1. Колко грама захар са нужни при 600 g брашно?

   • 150 g
   • 200 g
   • 300 g
   • 400 g

   Отговор: 300 g

   Една част е 600 : 4 = 150 g. Захарта е 2·150 = 300 g.

10. Кръгова диаграма показва любимия спорт на 40 ученици. Секторът „баскетбол“ е 72°. Колко ученици са избрали баскетбол?

    • 72
    • 20
    • 10
    • 8

    Отговор: 8

    72° е 72/360 = 1/5 от кръга, а 1/5 от 40 = 8.

11. Сплав съдържа мед, цинк и олово в отношение 5 : 3 : 2. Колко килограма цинк има в 40 kg сплав?

    • 20 kg
    • 12 kg
    • 8 kg
    • 15 kg

    Отговор: 12 kg

    Частите са 10, една част е 4 kg, а цинкът е 3·4 = 12 kg.

12. На кръгова диаграма за три отбора секторите са 150°, 120° и 90°. В какво отношение е броят на привържениците им?

    • 3 : 4 : 5
    • 15 : 12 : 8
    • 2 : 3 : 4
    • 5 : 4 : 3

    Отговор: 5 : 4 : 3

    Броят е пропорционален на ъглите: 150 : 120 : 90 = 5 : 4 : 3.

13. Дадено е a : b = 2 : 3 и b : c = 4 : 5. Кое е отношението a : b : c?

    • 2 : 3 : 5
    • 2 : 7 : 5
    • 8 : 12 : 20
    • 8 : 12 : 15

    Отговор: 8 : 12 : 15

    Привеждаме b към едно число: 2 : 3 = 8 : 12 и 4 : 5 = 12 : 15. Тогава a : b : c = 8 : 12 : 15.

14. Числата a, b и c се отнасят както 2 : 5 : 6, а разликата c − a е 20. Колко е b?

    • 20
    • 25
    • 30
    • 10

    Отговор: 25

    c − a = 6k − 2k = 4k = 20, k = 5, b = 5·5 = 25.

15. Числото 120 е разделено на три части, обратнопропорционални на 2, 3 и 6. Колко е най-малката част?

    • 40
    • 20
    • 60
    • 30

    Отговор: 20

    Частите се отнасят както 1/2 : 1/3 : 1/6 = 3 : 2 : 1. Една част е 120 : 6 = 20, значи частите са 60, 40 и 20.

Финален въпрос