Ъгъл, чийто връх е вътрешна точка за окръжност
Когато две хорди се пресичат във вътрешна точка на окръжността, ъгълът между тях се измерва с половината от сбора на двете дъги, заключени между раменете му и техните продължения. Връхът не е нито в центъра, нито на окръжността, затова формулата е различна от тази за централен и вписан ъгъл. Двата съседни ъгъла при пресечната точка имат сбор 180°.
Какво да запомним
- ∠AMC = (дъга AC + дъга BD)/2, когато хордите AB и CD се пресичат в M.
- Връзката се доказва с външен ъгъл на триъгълник и вписани ъгли.
- Съседните ъгли при M имат сбор 180°.
- Ако M е центърът, формулата дава централния ъгъл.
Пример
Хорди се пресичат и заключват дъги 100° и 40°: ъгълът е (100° + 40°) : 2 = 70°.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Две хорди се пресичат във вътрешна точка на окръжност. Един от ъглите между тях и противоположният му ъгъл заключват дъги 84° и 36°. Намерете този ъгъл.
- 60°
- 24°
- 120°
- 48°
Отговор: 60°
Ъгъл с връх вътрешна точка е равен на полусбора на дъгите: (84° + 36°)/2 = 60°.
Хордите AB и CD се пресичат в точка M. Ъгълът AMC заключва дъгите AC и BD, равни на 100° и 40°. Колко е ∠AMC?
- 60°
- 70°
- 140°
- 30°
Отговор: 70°
∠AMC = (100° + 40°)/2 = 70°.
Как се намира ъгъл, чийто връх е вътрешна точка за окръжността?
- половината от разликата на дъгите
- сборът на дъгите
- половината от едната дъга
- половината от сбора на дъгите, заключени между раменете му и продълженията им
Отговор: половината от сбора на дъгите, заключени между раменете му и продълженията им
Ъгъл с връх вътрешна точка е равен на полусбора на двете заключени дъги.
Хордите AB и CD се пресичат под прав ъгъл в M. Дъгата AC, заключена в ∠AMC, е 110°. Колко е дъгата BD?
- 70°
- 80°
- 90°
- 20°
Отговор: 70°
(110° + x)/2 = 90°, откъдето x = 70°.
Хордите AB и CD се пресичат в M, ∠AMD = 75°, а дъгата AD, заключена в този ъгъл, е 100°. Колко е дъгата BC?
- 25°
- 50°
- 75°
- 150°
Отговор: 50°
(100° + BC)/2 = 75°, затова BC = 150° − 100° = 50°.
Две хорди се пресичат в точка M, която не е на окръжността. Къде е M?
- вътре в окръжността
- вън от окръжността
- на окръжността
- винаги в центъра
Отговор: вътре в окръжността
Всяка хорда е вътре в кръга, затова пресечната точка е вътрешна за окръжността.
Две хорди се пресичат в центъра на окръжността. Какъв е ъгълът между тях?
- вписан
- периферен
- външен
- централен
Отговор: централен
Ъгъл с връх в центъра е централен.
Един от ъглите между две пресичащи се хорди е 65°. Колко е съседният му ъгъл?
- 65°
- 25°
- 115°
- 130°
Отговор: 115°
Съседните ъгли имат сбор 180°: 180° − 65° = 115°.
Хордите AB и CD се пресичат в M и ∠AMC = 45°. Колко е сборът на дъгите AC и BD?
- 45°
- 90°
- 22,5°
- 135°
Отговор: 90°
∠AMC = (дъга AC + дъга BD) : 2, затова сборът е 2 · 45° = 90°.
Ъгълът между две хорди е 60°, а заключените дъги са 2x и x. Колко е x?
- 40°
- 20°
- 60°
- 30°
Отговор: 40°
(2x + x) : 2 = 60°, 3x = 120°, x = 40°.
Хордите AB и CD се пресичат в M. Дъгите AC и BD, заключени от ∠AMC, са 110° и 50°. Колко е ∠AMD?
- 80°
- 60°
- 30°
- 100°
Отговор: 100°
∠AMC = (110° + 50°) : 2 = 80°, а съседният ∠AMD = 180° − 80° = 100°.
Диагоналите на вписания четириъгълник ABCD се пресичат в M. Дъгите AB и CD (без другите върхове) са 120° и 70°. Колко е ∠AMB?
- 85°
- 25°
- 95°
- 190°
Отговор: 95°
∠AMB заключва дъгите AB и CD: (120° + 70°) : 2 = 95°.
Точките A, B, C и D делят окръжността (в този ред) на дъги AB = 60°, BC = 80° и CD = 100°. Колко е острият ъгъл между хордите AC и BD?
- 100°
- 80°
- 70°
- 60°
Отговор: 80°
DA = 360° − 240° = 120°. Ъгълът, заключващ AB и CD, е (60° + 100°) : 2 = 80°, а другият е 100°. Острият е 80°.
Хордите AB и CD се пресичат под прав ъгъл. Дъгата AC (в ∠AMC) е 3 пъти по-голяма от дъгата BD. Колко е дъгата AC?
- 135°
- 45°
- 90°
- 120°
Отговор: 135°
AC + BD = 2 · 90° = 180°, 3x + x = 180°, x = 45°, AC = 135°.
Хордите AB и CD се пресичат в M, ∠BAD = 30° и ∠ADC = 45°. Колко е ∠AMC?
- 105°
- 60°
- 15°
- 75°
Отговор: 75°
∠AMC е външен ъгъл на триъгълника AMD: 30° + 45° = 75°.