ТърсиУченик? Влез с код30 дни безплатноБезплатно
Класове
Начален етап
Прогимназиален етап
Гимназиален етап
Всички игриНВО и матуриЦениСтатииВидеоЗа родителиЗа училищаВход за учителиУченик? Влез с код
Математика · 8 клас · урок 2 от 11

Взаимни положения на права и окръжност

Положението на права спрямо окръжност зависи от разстоянието d от центъра до правата. Ако d > r, правата няма общи точки с окръжността; ако d = r, има една обща точка и е допирателна; ако d < r, правата е секуща и пресича окръжността в две точки. Секущата отсича хорда, а перпендикулярът от центъра към нея я разполовява, затова дължината ѝ се намира с Питагоровата теорема.

Играйте само този урок:Вярно или невярноТаблоБомбаНадбягванеОтборен тест А/Б/В/ГГорещ стол

Работен лист за печат

Какво да запомним

  • d > r: няма общи точки.
  • d = r: една обща точка (допирателна).
  • d < r: две общи точки (секуща).
  • Половината от хордата, d и r образуват правоъгълен триъгълник: (AB/2)2 + d2 = r2.

Пример

r = 10 cm, хорда 12 cm: d2 = 102 − 62 = 64, d = 8 cm.

Проверете се: 15 въпроса

Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.

  1. Радиусът на окръжност е 5 cm, а разстоянието от центъра ѝ до правата g е 7 cm. Колко общи точки имат правата и окръжността?
    • 1
    • 0
    • 2
    • безброй много

    Отговор: 0

    Разстоянието е по-голямо от радиуса, затова правата не пресича окръжността.

  2. Права пресича окръжност с радиус 10 cm и отсича от нея хорда с дължина 12 cm. Намерете разстоянието от центъра до правата.
    • 8 cm
    • 6 cm
    • 2 cm
    • 4 cm

    Отговор: 8 cm

    Перпендикулярът от центъра разполовява хордата: d = √(102 − 62) = 8 cm.

  3. Разстоянието от центъра на окръжност с радиус 17 cm до права е 8 cm. Намерете дължината на хордата, която окръжността отсича от правата.
    • 15 cm
    • 18 cm
    • 25 cm
    • 30 cm

    Отговор: 30 cm

    Половината от хордата е √(172 − 82) = 15 cm, цялата е 30 cm.

  4. Как се нарича права, която има две общи точки с окръжност?
    • допирателна
    • радиус
    • секуща
    • диаметър

    Отговор: секуща

    Права с две общи точки с окръжността е секуща.

  5. Права пресича окръжност с радиус 7 cm в две точки. Кое може да е разстоянието от центъра до правата?
    • 7 cm
    • 9 cm
    • 12 cm
    • 5 cm

    Отговор: 5 cm

    Правата пресича окръжността, когато разстоянието от центъра е по-малко от радиуса, т.е. по-малко от 7 cm.

  6. Права a пресича окръжност с радиус 13 cm и отсича хорда 10 cm. На какво разстояние от a е най-отдалечената от нея точка на окръжността?
    • 12 cm
    • 25 cm
    • 13 cm
    • 1 cm

    Отговор: 25 cm

    Разстоянието от центъра до a е √(132 − 52) = 12 cm. Най-отдалечената точка е от другата страна на центъра: 12 + 13 = 25 cm.

  7. Кое сравнение показва, че правата пресича окръжността в две точки (d е разстоянието от центъра до правата)?
    • d = r
    • d > r
    • d < r
    • d = 2r

    Отговор: d < r

    Правата е секуща точно когато разстоянието от центъра до нея е по-малко от радиуса.

  8. Колко най-много общи точки може да има права с окръжност?
    • 1
    • 2
    • 3
    • безброй много

    Отговор: 2

    Права и окръжност имат 0, 1 или 2 общи точки, никога повече.

  9. Окръжност има радиус 6 cm, а права е на разстояние 4 cm от центъра ѝ. Какво е взаимното им положение?
    • правата пресича окръжността
    • правата се допира до нея
    • нямат общи точки
    • правата минава през центъра

    Отговор: пресича окръжността

    d = 4 < 6 = r, затова правата е секуща.

  10. Права минава през центъра на окръжност с радиус 5 cm. Колко е дълга хордата, която окръжността отсича от правата?
    • 5 cm
    • 2,5 cm
    • 25 cm
    • 10 cm

    Отговор: 10 cm

    Хордата през центъра е диаметър: 2 · 5 = 10 cm.

  11. Окръжност има диаметър 6 cm, а права е на разстояние 3 cm от центъра ѝ. Каква е правата спрямо окръжността?
    • секуща
    • без общи точки
    • допирателна
    • минава през центъра

    Отговор: допирателна

    r = 6 : 2 = 3 cm = d, затова правата има една обща точка с окръжността.

  12. Окръжност има център O(0; 0) и радиус 5. В коя точка правата x = 5 се допира до окръжността?
    • (0; 5)
    • (5; 0)
    • (5; 5)
    • (−5; 0)

    Отговор: (5; 0)

    Разстоянието от O до правата x = 5 е 5 = r, а перпендикулярът от O пада в точката (5; 0).

  13. Права е на разстояние d от центъра на окръжност с радиус 4 cm и отсича от нея хорда. Кои стойности може да има d?
    • 0 ≤ d < 4 cm
    • d = 4 cm
    • d > 4 cm
    • d ≥ 4 cm

    Отговор: 0 ≤ d < 4 cm

    Права отсича хорда, когато е секуща, т.е. d < r = 4 cm (d = 0, ако минава през центъра).

  14. Права a е на разстояние 4 cm от центъра на окръжност с радиус 5 cm. Колко точки от окръжността са на разстояние 1 cm от правата a?
    • 2
    • 4
    • 1
    • 3

    Отговор: 3

    Търсените точки са на двете успоредни на a прави на разстояние 1 cm. Едната е на 5 cm от центъра (допирателна, 1 точка), другата на 3 cm (секуща, 2 точки): общо 3.

  15. Хордата AB е на разстояние 6 cm от центъра O на окръжност с радиус 10 cm. Колко е лицето на триъгълника ABO?
    • 60 cm2
    • 96 cm2
    • 48 cm2
    • 30 cm2

    Отговор: 48 cm2

    AB/2 = √(100 − 36) = 8, AB = 16 cm. S = 16 · 6 : 2 = 48 cm2.