Взаимно положение на две окръжности
Положението на две окръжности с радиуси R ≥ r се определя от разстоянието d между центровете им. Ако d > R + r, всяка е вън от другата; ако d = R + r, те се допират външно; ако R − r < d < R + r, се пресичат в две точки. Ако d = R − r, се допират вътрешно, а ако d < R − r, по-малката е вътре в по-голямата без общи точки.
Какво да запомним
- d > R + r: нямат общи точки, всяка е вън от другата.
- d = R + r: външно допиране.
- R − r < d < R + r: пресичат се в две точки.
- d = R − r: вътрешно допиране; d < R − r: едната е вътре в другата.
Пример
R = 9 cm, r = 4 cm, d = 10 cm: 5 < 10 < 13, затова окръжностите се пресичат.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Две окръжности с радиуси 3 cm и 5 cm се допират външно. Намерете разстоянието между центровете им.
- 2 cm
- 15 cm
- 8 cm
- 4 cm
Отговор: 8 cm
При външно допиране разстоянието е равно на сбора на радиусите.
Радиусите на две окръжности са 4 cm и 9 cm, а разстоянието между центровете им е 10 cm. Какво е взаимното им положение?
- допират се външно
- пресичат се
- допират се вътрешно
- нямат общи точки
Отговор: пресичат се
9 − 4 < 10 < 9 + 4, затова окръжностите се пресичат.
Радиусите на две окръжности са 2 cm и 7 cm, а разстоянието между центровете им е 3 cm. Какво е взаимното им положение?
- нямат общи точки
- пресичат се
- допират се вътрешно
- допират се външно
Отговор: нямат общи точки
3 < 7 − 2, затова малката окръжност е вътре в голямата, без общи точки.
Две окръжности с радиуси 6 cm и 2 cm се допират вътрешно. Колко е разстоянието между центровете им?
- 8 cm
- 3 cm
- 4 cm
- 12 cm
Отговор: 4 cm
При вътрешно допиране разстоянието между центровете е разликата на радиусите: 6 − 2 = 4 cm.
Колко общи точки имат две пресичащи се окръжности?
- 2
- 1
- 0
- 3
Отговор: 2
Две пресичащи се окръжности имат точно две общи точки.
Две окръжности имат радиуси 3 cm и 5 cm, а разстоянието между центровете им е 10 cm. Какво е взаимното им положение?
- пресичат се
- допират се външно
- едната е вътре в другата
- нямат общи точки, всяка е вън от другата
Отговор: нямат общи точки, всяка е вън от другата
10 > 3 + 5 = 8, затова окръжностите нямат общи точки и всяка е вън от другата.
Три окръжности с радиуси 1 cm, 2 cm и 3 cm се допират външно две по две. Колко е периметърът на триъгълника с върхове центровете им?
- 6 cm
- 12 cm
- 24 cm
- 9 cm
Отговор: 12 cm
Страните са сборовете на радиусите: 1 + 2 = 3, 1 + 3 = 4 и 2 + 3 = 5 cm. Периметърът е 12 cm.
Как се наричат окръжности с общ център и различни радиуси?
- допиращи се
- пресичащи се
- концентрични
- равни
Отговор: концентрични
Окръжности с общ център се наричат концентрични.
Окръжности с радиуси 7 cm и 3 cm имат разстояние между центровете 10 cm. Какво е взаимното им положение?
- допират се вътрешно
- допират се външно
- пресичат се
- едната е в другата
Отговор: допират се външно
d = 10 = 7 + 3 = R + r, затова се допират външно.
Окръжности с радиуси 8 cm и 5 cm имат разстояние между центровете 3 cm. Какво е взаимното им положение?
- допират се вътрешно
- допират се външно
- пресичат се
- нямат общи точки
Отговор: допират се вътрешно
d = 3 = 8 − 5 = R − r, затова се допират вътрешно.
Окръжности с радиуси 5 cm и r cm (r < 5) се допират вътрешно, а разстоянието между центровете е 2 cm. Колко е r?
- 7 cm
- 2,5 cm
- 10 cm
- 3 cm
Отговор: 3 cm
При вътрешно допиране d = R − r: 2 = 5 − r, r = 3 cm.
Окръжности с радиуси 6 cm и 4 cm се пресичат. В какви граници е разстоянието d между центровете им?
- d < 2 cm
- d > 10 cm
- 2 cm < d < 10 cm
- d = 10 cm
Отговор: 2 cm < d < 10 cm
Пресичане: R − r < d < R + r, т.е. 2 < d < 10.
Центровете на две окръжности са на 12 cm едни от други. Едната има радиус 5 cm. Колко е радиусът на другата, ако се допират външно?
- 17 cm
- 7 cm
- 6 cm
- 12 cm
Отговор: 7 cm
d = R + r: 12 = 5 + r, r = 7 cm.
Две равни окръжности с радиус 5 cm се пресичат, а общата им хорда е 8 cm. Колко е разстоянието между центровете?
- 6 cm
- 3 cm
- 8 cm
- 10 cm
Отговор: 6 cm
Линията на центровете е симетрала на общата хорда. Всеки център е на √(25 − 16) = 3 cm от хордата: d = 3 + 3 = 6 cm.
Окръжности с радиуси 2 cm и 3 cm се допират външно, а двете се допират вътрешно до трета окръжност и трите центъра са на една права. Колко е радиусът на третата?
- 6 cm
- 4 cm
- 10 cm
- 5 cm
Отговор: 5 cm
Диаметърът на голямата окръжност е сборът на двата малки диаметъра: 4 + 6 = 10 cm, затова R = 5 cm.