Окръжност

Права и окръжност

1. Окръжност има радиус 6 cm, а точка A е на разстояние 4 cm от центъра ѝ. Как е разположена A спрямо окръжността?

   • външна точка
   • лежи на окръжността
   • вътрешна точка
   • не може да се определи

   Отговор: вътрешна точка

   Разстоянието до центъра е по-малко от радиуса, затова точката е вътрешна.

2. Как се нарича права, която има две общи точки с окръжност?

   • допирателна
   • радиус
   • секуща
   • диаметър

   Отговор: секуща

   Права с две общи точки с окръжността е секуща.

3. Как се нарича права, която има точно една обща точка с окръжност?

   • допирателна
   • секуща
   • хорда
   • диаметър

   Отговор: допирателна

   Права с една обща точка с окръжността е допирателна.

4. Радиусът на окръжност е 5 cm, а разстоянието от центъра ѝ до правата g е 7 cm. Колко общи точки имат правата и окръжността?

   • 1
   • 0
   • 2
   • безброй много

   Отговор: 0

   Разстоянието е по-голямо от радиуса, затова правата не пресича окръжността.

5. Колко е най-дългата хорда в окръжност с радиус 9 cm?

   • 18 cm
   • 9 cm
   • 12 cm
   • 36 cm

   Отговор: 18 cm

   Най-дългата хорда е диаметърът: 2·9 = 18 cm.

6. Точка A е на разстояние 9 cm от центъра на окръжност с диаметър 18 cm. Как е разположена A?

   • вътрешна точка
   • лежи на окръжността
   • външна точка
   • в центъра

   Отговор: лежи на окръжността

   Радиусът е 18 : 2 = 9 cm, равен на разстоянието, значи A е на окръжността.

7. Права пресича окръжност с радиус 10 cm и отсича от нея хорда с дължина 12 cm. Намерете разстоянието от центъра до правата.

   • 8 cm
   • 6 cm
   • 2 cm
   • 4 cm

   Отговор: 8 cm

   Перпендикулярът от центъра разполовява хордата: d = √(10² − 6²) = 8 cm.

8. Права пресича окръжност с радиус 7 cm в две точки. Кое може да е разстоянието от центъра до правата?

   • 7 cm
   • 9 cm
   • 12 cm
   • 5 cm

   Отговор: 5 cm

   Правата пресича окръжността, когато разстоянието от центъра е по-малко от радиуса, т.е. по-малко от 7 cm.

9. Перпендикулярът от центъра на окръжност към хорда я дели:

   • на две равни части
   • в отношение 1 : 2
   • не я дели
   • в отношение 1 : 3

   Отговор: на две равни части

   Триъгълникът от центъра и краищата на хордата е равнобедрен, а височината му е и медиана.

10. Разстоянието от центъра на окръжност с радиус 17 cm до права е 8 cm. Намерете дължината на хордата, която окръжността отсича от правата.

    • 15 cm
    • 18 cm
    • 25 cm
    • 30 cm

    Отговор: 30 cm

    Половината от хордата е √(17² − 8²) = 15 cm, цялата е 30 cm.

11. Диаметърът AB на окръжност е перпендикулярен на хордата CD и я пресича в точка M, AM = 2 cm и MB = 8 cm. Колко е CD?

    • 4 cm
    • 8 cm
    • 10 cm
    • 16 cm

    Отговор: 8 cm

    Радиусът е 5 cm, а OM = 5 − 2 = 3 cm. CM = √(5² − 3²) = 4 cm и CD = 8 cm.

12. В окръжност с радиус 10 cm от двете страни на центъра са прекарани успоредни хорди с дължини 12 cm и 16 cm. Колко е разстоянието между хордите?

    • 2 cm
    • 10 cm
    • 14 cm
    • 28 cm

    Отговор: 14 cm

    Разстоянията от центъра са √(100 − 36) = 8 cm и √(100 − 64) = 6 cm. Сборът им е 14 cm.

13. Точка A е на разстояние 13 cm от центъра на окръжност с радиус 5 cm. Намерете най-малкото и най-голямото разстояние от A до точка от окръжността.

    • 5 cm и 13 cm
    • 12 cm и 18 cm
    • 8 cm и 18 cm
    • 8 cm и 13 cm

    Отговор: 8 cm и 18 cm

    Двете точки лежат на правата през A и центъра: 13 − 5 = 8 cm и 13 + 5 = 18 cm.

14. Права a пресича окръжност с радиус 13 cm и отсича хорда 10 cm. На какво разстояние от a е най-отдалечената от нея точка на окръжността?

    • 12 cm
    • 25 cm
    • 13 cm
    • 1 cm

    Отговор: 25 cm

    Разстоянието от центъра до a е √(13² − 5²) = 12 cm. Най-отдалечената точка е от другата страна на центъра: 12 + 13 = 25 cm.

15. Точка A е на разстояние 5 cm от центъра на окръжност с радиус 13 cm. Колко е най-късата хорда, минаваща през A?

    • 26 cm
    • 12 cm
    • 16 cm
    • 24 cm

    Отговор: 24 cm

    Най-късата хорда е перпендикулярна на OA: 2·√(169 − 25) = 2·12 = 24 cm.

Допирателни

1. Какъв ъгъл сключва допирателната с радиуса към допирната точка?

   • 45°
   • 90°
   • 180°
   • 60°

   Отговор: 90°

   Допирателната е перпендикулярна на радиуса в допирната точка.

2. Колко допирателни към окръжност могат да се построят от външна точка?

   • 1
   • 3
   • безброй много
   • 2

   Отговор: 2

   От външна точка към окръжност минават точно две допирателни.

3. Колко допирателни към окръжност минават през точка от окръжността?

   • 0
   • 1
   • 2
   • безбройно много

   Отговор: 1

   През точка от окръжността минава точно една допирателна: перпендикулярът на радиуса.

4. От точка A към окръжност са построени допирателните AB и AC (B и C са допирни точки), AB = 7 cm. Намерете AC.

   • 7 cm
   • 14 cm
   • 3,5 cm
   • 49 cm

   Отговор: 7 cm

   Допирателните отсечки от една външна точка са равни.

5. AT е допирателна към окръжност с център O (T е допирната точка) и ∠TAO = 30°. Колко е ∠AOT?

   • 60°
   • 30°
   • 90°
   • 120°

   Отговор: 60°

   ∠ATO = 90°, затова ∠AOT = 180° − 90° − 30° = 60°.

6. Две допирателни към окръжност с радиус 5 cm са успоредни. Колко е разстоянието между тях?

   • 5 cm
   • 2,5 cm
   • 10 cm
   • 20 cm

   Отговор: 10 cm

   Допирните точки са краища на диаметър, затова разстоянието е 2·5 = 10 cm.

7. Точка A е на разстояние 10 cm от центъра на окръжност с радиус 6 cm. Намерете дължината на допирателната отсечка от A.

   • 4 cm
   • 2√34 cm
   • 16 cm
   • 8 cm

   Отговор: 8 cm

   Триъгълникът с върхове A, центъра и допирната точка е правоъгълен: √(100 − 36) = 8 cm.

8. Окръжност е вписана в ъгъл (допира се до двете му рамена). Къде лежи центърът ѝ?

   • на едното рамо
   • на симетралата на едното рамо
   • на ъглополовящата на ъгъла
   • във върха на ъгъла

   Отговор: на ъглополовящата на ъгъла

   Центърът е на равни разстояния (радиуса) от двете рамена, затова лежи на ъглополовящата.

9. От точка A са построени допирателните AB и AC към окръжност с център O. Кое е вярно?

   • AO е ъглополовяща на ∠BAC
   • AO е перпендикулярна на AB
   • AO = AB
   • AO е успоредна на BC

   Отговор: AO е ъглополовяща на ∠BAC

   Триъгълниците ABO и ACO са еднакви, затова ∠BAO = ∠CAO.

10. От точка A са построени допирателните AB и AC към окръжност с център O, ∠BAC = 70°. Намерете ∠BOC.

    • 70°
    • 140°
    • 110°
    • 35°

    Отговор: 110°

    В четириъгълника ABOC ъглите при B и C са прави: ∠BOC = 360° − 90° − 90° − 70° = 110°.

11. От точка A към окръжност с радиус 4 cm са построени допирателните AB и AC (B и C са допирни точки) и ∠BAC = 90°. Колко е AB?

    • 8 cm
    • 4√2 cm
    • 2 cm
    • 4 cm

    Отговор: 4 cm

    Четириъгълникът ABOC има три прави ъгъла и OB = OC, затова е квадрат и AB = 4 cm.

12. От точка A са построени допирателните AB и AC към окръжност с център O, ∠BOC = 120° и OA = 10 cm. Колко е AB?

    • 5 cm
    • 5√3 cm
    • 10√3 cm
    • 10 cm

    Отговор: 5√3 cm

    ∠AOB = 60°, значи ∠OAB = 30° и OB = OA/2 = 5 cm. AB = √(100 − 25) = 5√3 cm.

13. Окръжност с радиус 5 cm е вписана в ъгъл 60° (допира се до двете му рамена). Намерете разстоянието от върха на ъгъла до центъра на окръжността.

    • 5√3 cm
    • 10 cm
    • 5 cm
    • 5√2 cm

    Отговор: 10 cm

    Центърът е на ъглополовящата. В правоъгълния триъгълник с ъгъл 30° катетът 5 cm е срещу него, затова хипотенузата е 10 cm.

14. Допирателната в точка T на окръжност с център O и радиус 4 cm пресича продължението на диаметъра AB след B в точка P, ∠TPO = 30°. Колко е PB?

    • 8 cm
    • 4 cm
    • 12 cm
    • 4√3 cm

    Отговор: 4 cm

    Триъгълникът OTP е правоъгълен (∠T = 90°), а OT лежи срещу ъгъл 30°, затова OP = 2·4 = 8 cm и PB = 8 − 4 = 4 cm.

15. От A към окръжност са построени допирателните AB и AC, AB = 10 cm. Допирателна към по-малката дъга BC пресича AB и AC в M и N. Колко е периметърът на триъгълника AMN?

    • 10 cm
    • 15 cm
    • не може да се определи
    • 20 cm

    Отговор: 20 cm

    Ако K е допирната точка на MN, то MK = MB и NK = NC. Периметърът е AB + AC = 20 cm.

Хорди и дъги

1. Централен ъгъл се опира на дъга 80°. Колко градуса е ъгълът?

   • 80°
   • 40°
   • 160°
   • 100°

   Отговор: 80°

   Централният ъгъл е равен на дъгата, на която се опира.

2. Диаметърът е хорда, която минава през:

   • допирната точка
   • средата на радиуса
   • центъра
   • външна точка

   Отговор: центъра

   Диаметърът е хорда, която минава през центъра на окръжността.

3. Колко градуса е цялата окръжност?

   • 180°
   • 360°
   • 90°
   • 270°

   Отговор: 360°

   Пълната окръжност отговаря на пълен ъгъл: 360°.

4. Хорда е равна на радиуса на окръжността. Под какъв ъгъл се вижда тя от центъра?

   • 90°
   • 30°
   • 120°
   • 60°

   Отговор: 60°

   Хордата и двата радиуса образуват равностранен триъгълник.

5. Колко градуса е дъга, която е една четвърт от окръжността?

   • 90°
   • 45°
   • 180°
   • 120°

   Отговор: 90°

   Цялата окръжност е 360°, а 360° : 4 = 90°.

6. Две хорди на една окръжност са на равни разстояния от центъра. Какви са хордите?

   • равни
   • успоредни
   • перпендикулярни
   • различни

   Отговор: равни

   В една окръжност хорди на равни разстояния от центъра са равни.

7. Радиусът на окръжност е 15 cm, а хорда в нея е 18 cm. Намерете разстоянието от центъра до хордата.

   • 9 cm
   • 6 cm
   • 12 cm
   • 3 cm

   Отговор: 12 cm

   Диаметърът, перпендикулярен на хордата, я разполовява: √(15² − 9²) = 12 cm.

8. Какви дъги отсичат две равни хорди от една окръжност?

   • различни дъги
   • винаги полуокръжности
   • винаги дъги от 60°
   • равни дъги

   Отговор: равни дъги

   В една окръжност равните хорди отсичат равни дъги (и се виждат от центъра под равни ъгли).

9. Диаметърът AB е перпендикулярен на хордата CD. Какво е вярно за дъгите AC и AD (несъдържащи B)?

   • AC е два пъти по-голяма
   • сборът им е 90°
   • равни са
   • нищо определено

   Отговор: равни са

   Диаметър, перпендикулярен на хорда, разполовява и хордата, и дъгите, които тя отсича.

10. Точките A, B и C делят окръжност на три дъги, които се отнасят както 2 : 3 : 4. Колко градуса е най-голямата дъга?

    • 120°
    • 160°
    • 80°
    • 200°

    Отговор: 160°

    Частите са 9, всяка по 40°. Най-голямата дъга е 4·40° = 160°.

11. Хордата AB в окръжност с радиус 6 cm се вижда от центъра под ъгъл 90°. Колко е AB?

    • 6 cm
    • 6√2 cm
    • 12 cm
    • 3√2 cm

    Отговор: 6√2 cm

    Триъгълникът AOB е правоъгълен и равнобедрен с катети 6 cm: AB = 6√2 cm.

12. В окръжност с радиус 13 cm хордата AB е 24 cm. Колко е разстоянието от средата на AB до средата на по-малката дъга AB?

    • 5 cm
    • 8 cm
    • 12 cm
    • 13 cm

    Отговор: 8 cm

    Разстоянието от центъра до хордата е √(169 − 144) = 5 cm. Търсеното разстояние е 13 − 5 = 8 cm.

13. В окръжност с радиус 8 cm хордата AB се вижда от центъра под ъгъл 120°. Намерете разстоянието от центъра до AB.

    • 4 cm
    • 4√3 cm
    • 8 cm
    • 2 cm

    Отговор: 4 cm

    Перпендикулярът от центъра разполовява ъгъла: получаваме ъгъл 60° при центъра и 30° при A. Катетът срещу 30° е 8 : 2 = 4 cm.

14. Хорда с дължина 8 cm е на разстояние 3 cm от центъра на окръжност. Колко е дълга хорда в същата окръжност, която е на разстояние 4 cm от центъра?

    • 8 cm
    • 6 cm
    • 10 cm
    • 5 cm

    Отговор: 6 cm

    Радиусът е √(4² + 3²) = 5 cm. Втората хорда е 2·√(5² − 4²) = 6 cm.

15. Две успоредни хорди с дължини 6 cm и 8 cm са от една страна на центъра на окръжност и на разстояние 1 cm една от друга. Колко е радиусът?

    • 7 cm
    • √41 cm
    • 4 cm
    • 5 cm

    Отговор: 5 cm

    Ако d е разстоянието до хордата 8 cm, то d² + 16 = (d + 1)² + 9, откъдето d = 3 и r = √(9 + 16) = 5 cm.

Вписани ъгли

1. Вписан ъгъл се опира на дъга 110°. Колко градуса е ъгълът?

   • 110°
   • 220°
   • 70°
   • 55°

   Отговор: 55°

   Вписаният ъгъл е половината от дъгата, на която се опира.

2. Къде лежи върхът на вписания ъгъл?

   • в центъра
   • вътре в окръжността, но не в центъра
   • вън от окръжността
   • на окръжността

   Отговор: на окръжността

   Вписаният ъгъл има връх на окръжността, а раменете му са хорди.

3. Какви са вписаните ъгли, които се опират на една и съща дъга?

   • равни
   • допълнителни
   • перпендикулярни
   • различни

   Отговор: равни

   Всеки от тях е равен на половината от дъгата, затова са равни.

4. Вписан ъгъл се опира на диаметър. Колко градуса е той?

   • 180°
   • 45°
   • 90°
   • 60°

   Отговор: 90°

   Дъгата е полуокръжност (180°), а вписаният ъгъл е половината от нея.

5. Ъгълът между хорда и допирателна (периферен ъгъл) обхваща дъга 100°. Колко е ъгълът?

   • 50°
   • 100°
   • 130°
   • 25°

   Отговор: 50°

   Периферният ъгъл е половината от обхванатата дъга: 100° : 2 = 50°.

6. Вписаният ъгъл ∠ACB е 30°, а радиусът на окръжността е 5 cm. Колко е хордата AB?

   • 10 cm
   • 5 cm
   • 2,5 cm
   • 5√3 cm

   Отговор: 5 cm

   Централният ъгъл ∠AOB = 60°, триъгълникът AOB е равностранен и AB = 5 cm.

7. Вписан ъгъл е 35°. Колко градуса е централният ъгъл, който се опира на същата дъга?

   • 35°
   • 70°
   • 17,5°
   • 145°

   Отговор: 70°

   Централният ъгъл е два пъти по-голям от вписания: 70°.

8. AB е диаметър на окръжност, C е точка от нея и AC = BC. Колко е ∠CAB?

   • 90°
   • 60°
   • 45°
   • 30°

   Отговор: 45°

   ∠ACB = 90°, защото се опира на диаметър, а триъгълникът ABC е равнобедрен: ∠CAB = 45°.

9. ∠AOB = 100°, където O е центърът, а C е точка от по-малката дъга AB. Колко е ∠ACB?

   • 50°
   • 100°
   • 130°
   • 260°

   Отговор: 130°

   ∠ACB се опира на по-голямата дъга AB, която е 360° − 100° = 260°, и е равен на 130°.

10. Две хорди се пресичат във вътрешна точка на окръжност. Един от ъглите между тях и противоположният му ъгъл заключват дъги 84° и 36°. Намерете този ъгъл.

    • 60°
    • 24°
    • 120°
    • 48°

    Отговор: 60°

    Ъгъл с връх вътрешна точка е равен на полусбора на дъгите: (84° + 36°)/2 = 60°.

11. Хорда AB дели окръжността на две дъги, които се отнасят както 1 : 5. Колко е вписаният ъгъл, който се опира на по-малката дъга?

    • 60°
    • 150°
    • 36°
    • 30°

    Отговор: 30°

    Дъгите са 60° и 300°. Вписаният ъгъл е половината от 60°, т.е. 30°.

12. Върховете на триъгълника ABC делят описаната окръжност на дъги AB, BC и CA, които се отнасят както 3 : 4 : 5. Колко е най-малкият ъгъл на триъгълника?

    • 90°
    • 30°
    • 60°
    • 45°

    Отговор: 45°

    Дъгите са 90°, 120° и 150°. Ъглите са половините им: 45°, 60° и 75°.

13. От външна точка са построени две секущи. Дъгите, заключени между тях, са 150° и 40°. Намерете ъгъла между секущите.

    • 95°
    • 110°
    • 45°
    • 55°

    Отговор: 55°

    Ъгъл с връх външна точка е равен на полуразликата на дъгите: (150° − 40°)/2 = 55°.

14. Триъгълникът ABC е вписан в окръжност с център O и ∠A = 40°. Колко е ∠OBC?

    • 40°
    • 50°
    • 80°
    • 45°

    Отговор: 50°

    ∠BOC = 2·40° = 80°, а триъгълникът BOC е равнобедрен: ∠OBC = (180° − 80°) : 2 = 50°.

15. Триъгълникът ABC е вписан в окръжност, ∠C = 45° и AB = 8 cm. Колко е радиусът на окръжността?

    • 4√2 cm
    • 8 cm
    • 4 cm
    • 8√2 cm

    Отговор: 4√2 cm

    Централният ъгъл ∠AOB = 90°, значи AB = R√2 = 8 и R = 4√2 cm.

Две окръжности

1. Две окръжности с радиуси 3 cm и 5 cm се допират външно. Намерете разстоянието между центровете им.

   • 2 cm
   • 15 cm
   • 8 cm
   • 4 cm

   Отговор: 8 cm

   При външно допиране разстоянието е равно на сбора на радиусите.

2. Две окръжности с радиуси 6 cm и 2 cm се допират вътрешно. Колко е разстоянието между центровете им?

   • 8 cm
   • 3 cm
   • 4 cm
   • 12 cm

   Отговор: 4 cm

   При вътрешно допиране разстоянието между центровете е разликата на радиусите: 6 − 2 = 4 cm.

3. Колко общи точки имат две окръжности, които се допират?

   • 0
   • 1
   • 2
   • 3

   Отговор: 1

   Допиращите се окръжности имат точно една обща точка.

4. Радиусите на две окръжности са 4 cm и 9 cm, а разстоянието между центровете им е 10 cm. Какво е взаимното им положение?

   • допират се външно
   • пресичат се
   • допират се вътрешно
   • нямат общи точки

   Отговор: пресичат се

   9 − 4 < 10 < 9 + 4, затова окръжностите се пресичат.

5. Колко общи точки имат две пресичащи се окръжности?

   • 2
   • 1
   • 0
   • 3

   Отговор: 2

   Две пресичащи се окръжности имат точно две общи точки.

6. Окръжности с радиуси 5 cm и 3 cm имат разстояние между центровете 2 cm. Какво е взаимното им положение?

   • пресичат се
   • допират се външно
   • допират се вътрешно
   • нямат общи точки

   Отговор: допират се вътрешно

   Разстоянието е равно на разликата на радиусите: 5 − 3 = 2.

7. Радиусите на две окръжности са 2 cm и 7 cm, а разстоянието между центровете им е 3 cm. Какво е взаимното им положение?

   • нямат общи точки
   • пресичат се
   • допират се вътрешно
   • допират се външно

   Отговор: нямат общи точки

   3 < 7 − 2, затова малката окръжност е вътре в голямата, без общи точки.

8. Две окръжности имат радиуси 3 cm и 5 cm, а разстоянието между центровете им е 10 cm. Какво е взаимното им положение?

   • пресичат се
   • допират се външно
   • едната е вътре в другата
   • нямат общи точки, всяка е вън от другата

   Отговор: нямат общи точки, всяка е вън от другата

   10 > 3 + 5 = 8, затова окръжностите нямат общи точки и всяка е вън от другата.

9. Колко общи допирателни имат две окръжности без общи точки, всяка от които е вън от другата?

   • 4
   • 2
   • 3
   • 0

   Отговор: 4

   Имат 2 външни и 2 вътрешни общи допирателни.

10. Колко общи допирателни имат две окръжности, които се допират външно?

    • 2
    • 4
    • 1
    • 3

    Отговор: 3

    Две външни общи допирателни и една обща допирателна в допирната точка.

11. Колко общи допирателни имат две пресичащи се окръжности?

    • 1
    • 2
    • 3
    • 4

    Отговор: 2

    Две пресичащи се окръжности имат само две общи външни допирателни.

12. Две окръжности се пресичат в точките A и B. Как е разположена правата през центровете им спрямо AB?

    • успоредна е на AB
    • перпендикулярна е на AB и я разполовява
    • съвпада с AB
    • сключва ъгъл 45° с AB

    Отговор: перпендикулярна е на AB и я разполовява

    Всеки център е на равни разстояния от A и B, значи лежи на симетралата на AB.

13. Две окръжности с радиуси 9 cm и 4 cm се допират външно. Намерете дължината на отсечката от общата им външна допирателна между допирните точки.

    • 13 cm
    • 5 cm
    • 12 cm
    • 6 cm

    Отговор: 12 cm

    Разстоянието между центровете е 13 cm, разликата на радиусите е 5 cm: √(13² − 5²) = 12 cm.

14. Три окръжности с радиуси 1 cm, 2 cm и 3 cm се допират външно две по две. Колко е периметърът на триъгълника с върхове центровете им?

    • 6 cm
    • 12 cm
    • 24 cm
    • 9 cm

    Отговор: 12 cm

    Страните са сборовете на радиусите: 1 + 2 = 3, 1 + 3 = 4 и 2 + 3 = 5 cm. Периметърът е 12 cm.

15. Окръжности с радиуси 5 cm и 3 cm се пресичат, а общата им хорда е 6 cm. Колко е разстоянието между тях?

    • 8 cm
    • 2 cm
    • √34 cm
    • 4 cm

    Отговор: 4 cm

    Половината хорда е 3 cm. Разстоянията до хордата са √(25 − 9) = 4 cm и √(9 − 9) = 0 cm. Общо 4 cm.

Финален въпрос