ТърсиУченик? Влез с код30 дни безплатноБезплатно
Класове
Начален етап
Прогимназиален етап
Гимназиален етап
Всички игриНВО и матуриЦениСтатииВидеоЗа родителиЗа училищаВход за учителиУченик? Влез с код
Математика · 8 клас · урок 5 от 11

Диаметър, перпендикулярен на хорда

Диаметър, перпендикулярен на хорда, я разполовява и разполовява и двете дъги, които хордата отсича. Обратно, диаметър, който минава през средата на хорда (различна от диаметър), е перпендикулярен на нея. Затова перпендикулярът от центъра към хордата дава правоъгълен триъгълник с хипотенуза радиуса. Така намираме разстоянието от центъра до хордата или дължината ѝ.

Играйте само този урок:Вярно или невярноТаблоБомбаНадбягванеОтборен тест А/Б/В/ГГорещ стол

Работен лист за печат

Какво да запомним

  • Диаметър ⊥ хорда ⇒ хордата се разполовява.
  • Същият диаметър разполовява и дъгите на хордата.
  • r2 = d2 + (AB/2)2, където d е разстоянието от центъра до хордата.
  • Симетралата на всяка хорда минава през центъра.

Пример

r = 15 cm, хорда 18 cm: d = √(225 − 81) = √144 = 12 cm.

Проверете се: 15 въпроса

Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.

  1. Радиусът на окръжност е 15 cm, а хорда в нея е 18 cm. Намерете разстоянието от центъра до хордата.
    • 9 cm
    • 6 cm
    • 12 cm
    • 3 cm

    Отговор: 12 cm

    Диаметърът, перпендикулярен на хордата, я разполовява: √(152 − 92) = 12 cm.

  2. В окръжност с радиус 8 cm хордата AB се вижда от центъра под ъгъл 120°. Намерете разстоянието от центъра до AB.
    • 4 cm
    • 4√3 cm
    • 8 cm
    • 2 cm

    Отговор: 4 cm

    Перпендикулярът от центъра разполовява ъгъла: получаваме ъгъл 60° при центъра и 30° при A. Катетът срещу 30° е 8 : 2 = 4 cm.

  3. Хорда с дължина 8 cm е на разстояние 3 cm от центъра на окръжност. Колко е дълга хорда в същата окръжност, която е на разстояние 4 cm от центъра?
    • 8 cm
    • 6 cm
    • 10 cm
    • 5 cm

    Отговор: 6 cm

    Радиусът е √(42 + 32) = 5 cm. Втората хорда е 2·√(52 − 42) = 6 cm.

  4. Диаметърът AB на окръжност е перпендикулярен на хордата CD и я пресича в точка M, AM = 2 cm и MB = 8 cm. Колко е CD?
    • 4 cm
    • 8 cm
    • 10 cm
    • 16 cm

    Отговор: 8 cm

    Радиусът е 5 cm, а OM = 5 − 2 = 3 cm. CM = √(52 − 32) = 4 cm и CD = 8 cm.

  5. Диаметър е перпендикулярен на хорда AB с дължина 14 cm. На какви отсечки той дели хордата?
    • 4 cm и 10 cm
    • 7 cm и 7 cm
    • 5 cm и 9 cm
    • 6 cm и 8 cm

    Отговор: 7 cm и 7 cm

    Диаметър, перпендикулярен на хорда, я разполовява: 14 : 2 = 7 cm.

  6. Какво прави диаметър, перпендикулярен на хорда, с двете дъги, които хордата отсича?
    • удвоява ги
    • разполовява ги
    • не ги променя
    • прави ги по 90°

    Отговор: разполовява ги

    Диаметърът, перпендикулярен на хорда, разполовява хордата и двете ѝ дъги.

  7. Откъде минава симетралата на всяка хорда в окръжност?
    • през центъра
    • през края на хордата
    • успоредно на хордата
    • извън окръжността

    Отговор: през центъра

    Центърът е на равни разстояния от краищата на хордата, затова лежи на симетралата ѝ.

  8. Диаметър минава през средата на хорда, която не е диаметър. Какъв ъгъл сключва той с хордата?
    • 45°
    • 60°
    • 180°
    • 90°

    Отговор: 90°

    Диаметър през средата на хорда (различна от диаметър) е перпендикулярен на нея.

  9. Диаметърът CD е перпендикулярен на хордата AB, а по-малката дъга AB е 100°. C е средата на тази дъга. Колко е дъгата AC?
    • 100°
    • 25°
    • 50°
    • 80°

    Отговор: 50°

    Диаметърът разполовява дъгата: 100° : 2 = 50°.

  10. M е средата на хордата AB в окръжност с център O. Кои отсечки са катети в правоъгълния триъгълник OMA?
    • OA и OM
    • OM и AM
    • OA и AM
    • AB и OM

    Отговор: OM и AM

    OM ⊥ AB, затова ъгълът при M е прав, а OA (радиусът) е хипотенуза.

  11. Хорда с дължина 40 cm е на разстояние 15 cm от центъра на окръжност. Колко е радиусът?
    • 25 cm
    • 20 cm
    • 35 cm
    • 55 cm

    Отговор: 25 cm

    r2 = 152 + 202 = 225 + 400 = 625, r = 25 cm.

  12. Хордата AB = 18 cm се вижда от центъра O под прав ъгъл. Колко е разстоянието от O до AB?
    • 18 cm
    • 6 cm
    • 12 cm
    • 9 cm

    Отговор: 9 cm

    Триъгълникът AOB е равнобедрен правоъгълен, а височината към хипотенузата е половината от нея: 18 : 2 = 9 cm.

  13. Две успоредни хорди с дължини 6 cm и 8 cm са в окръжност с радиус 5 cm, от двете страни на центъра. Колко е разстоянието между тях?
    • 1 cm
    • 5 cm
    • 7 cm
    • 14 cm

    Отговор: 7 cm

    Разстоянията до центъра са √(25 − 9) = 4 cm и √(25 − 16) = 3 cm. Хордите са от двете страни: 4 + 3 = 7 cm.

  14. Хордата AB = 48 cm е в окръжност с радиус 25 cm. Диаметърът, перпендикулярен на AB, я пресича в M. Колко е разстоянието от M до по-близкия край на този диаметър?
    • 7 cm
    • 18 cm
    • 24 cm
    • 32 cm

    Отговор: 18 cm

    OM = √(625 − 576) = 7 cm, а търсеното разстояние е r − OM = 25 − 7 = 18 cm.

  15. Диаметърът CD е перпендикулярен на хордата AB в точка M, AB = 6 cm и CM = 1 cm (C е по-близкият до M край). Колко е радиусът?
    • 5 cm
    • 3 cm
    • 4 cm
    • 6 cm

    Отговор: 5 cm

    OM = r − 1 и AM = 3. r2 = 9 + (r − 1)2, 0 = 10 − 2r, r = 5 cm.