Триъгълник и трапец

Делене на отсечки

1. Точка M дели отсечката AB = 12 cm в отношение AM : MB = 1 : 2. Колко е AM?

   • 6 cm
   • 8 cm
   • 3 cm
   • 4 cm

   Отговор: 4 cm

   Отсечката е разделена на 1 + 2 = 3 равни части по 4 cm, а AM е една част.

2. Точка M е средата на отсечката AB = 18 cm. Колко е AM?

   • 6 cm
   • 18 cm
   • 9 cm
   • 36 cm

   Отговор: 9 cm

   Средата дели отсечката на две равни части: 18 : 2 = 9 cm.

3. Точка M е средата на отсечката AB. В какво отношение M дели AB (AM : MB)?

   • 1 : 2
   • 2 : 1
   • 1 : 1
   • 1 : 3

   Отговор: 1 : 1

   Средата дели отсечката на две равни части: AM = MB.

4. Точка C лежи на отсечката AB = 20 cm и AC : CB = 3 : 2. Намерете CB.

   • 12 cm
   • 10 cm
   • 8 cm
   • 6 cm

   Отговор: 8 cm

   Частите са 3 + 2 = 5, всяка по 4 cm, а CB е 2 части: 8 cm.

5. Точка M лежи на отсечката AB, AM : MB = 2 : 5 и MB = 15 cm. Колко е AB?

   • 21 cm
   • 6 cm
   • 35 cm
   • 25 cm

   Отговор: 21 cm

   Една част е 15 : 5 = 3 cm, AM = 2·3 = 6 cm и AB = 6 + 15 = 21 cm.

6. Отсечката AB = 15 cm е разделена от точките M и N на три равни части, като M е по-близо до A. Колко е AN?

   • 5 cm
   • 10 cm
   • 7,5 cm
   • 12 cm

   Отговор: 10 cm

   Всяка част е 15 : 3 = 5 cm, а AN съдържа две части: 10 cm.

7. Точка M лежи на отсечката AB, AM = 6 cm и MB = 9 cm. В какво отношение M дели AB (AM : MB)?

   • 3 : 2
   • 2 : 3
   • 2 : 5
   • 1 : 3

   Отговор: 2 : 3

   6 : 9 = 2 : 3.

8. Точка M лежи на отсечката AB и AM : AB = 3 : 7. Намерете отношението AM : MB.

   • 3 : 7
   • 4 : 3
   • 3 : 10
   • 3 : 4

   Отговор: 3 : 4

   Ако AM = 3 части и AB = 7 части, то MB = 4 части и AM : MB = 3 : 4.

9. Точка M лежи на отсечката AB и AM : MB = 3 : 5. Каква част от AB е MB?

   • 5/3
   • 3/8
   • 5/8
   • 3/5

   Отговор: 5/8

   AB съдържа 3 + 5 = 8 равни части, от които MB е 5: MB = (5/8)AB.

10. Точка P лежи на правата AB, като B е между A и P. AB = 6 cm и PA : PB = 5 : 2. Намерете PB.

    • 4 cm
    • 10 cm
    • 2 cm
    • 6 cm

    Отговор: 4 cm

    PA = PB + 6 и 2(PB + 6) = 5·PB, откъдето PB = 4 cm.

11. Точка C дели отсечката AB = 16 cm в отношение AC : CB = 1 : 3, а D е средата на AB. Колко е CD?

    • 2 cm
    • 4 cm
    • 8 cm
    • 6 cm

    Отговор: 4 cm

    AC = 16 : 4 = 4 cm, AD = 8 cm, затова CD = 8 − 4 = 4 cm.

12. Точките M и N лежат на отсечката AB = 24 cm и AM : MN : NB = 1 : 2 : 3. Колко е MN?

    • 4 cm
    • 6 cm
    • 12 cm
    • 8 cm

    Отговор: 8 cm

    Частите са 1 + 2 + 3 = 6, всяка по 4 cm. MN = 2·4 = 8 cm.

13. Точка M дели отсечката AB в отношение AM : MB = 2 : 3, а точка N я дели в отношение AN : NB = 3 : 2. MN = 4 cm. Намерете AB.

    • 10 cm
    • 16 cm
    • 25 cm
    • 20 cm

    Отговор: 20 cm

    AM = 2/5 от AB, AN = 3/5 от AB, значи MN = 1/5 от AB = 4 cm и AB = 20 cm.

14. Точка M дели отсечката AB = 30 cm в отношение AM : MB = 1 : 2, а N е средата на MB. Колко е AN?

    • 15 cm
    • 20 cm
    • 25 cm
    • 10 cm

    Отговор: 20 cm

    AM = 10 cm, MB = 20 cm, MN = 10 cm, затова AN = 10 + 10 = 20 cm.

15. Точка M лежи на отсечката AB = 20 cm, а K и P са средите на AM и MB. Колко е KP?

    • 10 cm
    • 5 cm
    • не може да се определи
    • 15 cm

    Отговор: 10 cm

    KP = KM + MP = AM/2 + MB/2 = AB/2 = 10 cm.

Средна отсечка в Δ

1. Средната отсечка в триъгълник е успоредна на страна с дължина 14 cm. Колко е дълга средната отсечка?

   • 14 cm
   • 28 cm
   • 7 cm
   • 3,5 cm

   Отговор: 7 cm

   Средната отсечка е равна на половината от страната, на която е успоредна.

2. Средната отсечка в триъгълник свързва:

   • два върха
   • връх и средата на срещуположната страна
   • средата на страна с медицентъра
   • средите на две страни

   Отговор: средите на две страни

   По определение средната отсечка свързва средите на две страни на триъгълника.

3. M и N са средите на страните AB и AC на триъгълника ABC. На коя страна е успоредна MN?

   • AB
   • AC
   • BC
   • на никоя

   Отговор: BC

   Средната отсечка е успоредна на третата страна, т.е. на BC.

4. Страните на триъгълник са 6 cm, 8 cm и 10 cm. Намерете периметъра на триъгълника, образуван от трите му средни отсечки.

   • 24 cm
   • 12 cm
   • 6 cm
   • 48 cm

   Отговор: 12 cm

   Всяка средна отсечка е половината от съответната страна: 3 + 4 + 5 = 12 cm.

5. Колко средни отсечки има всеки триъгълник?

   • 3
   • 2
   • 1
   • 6

   Отговор: 3

   Всяка двойка страни дава една средна отсечка, а двойките са 3.

6. На колко еднакви триъгълника делят триъгълника трите му средни отсечки?

   • 2
   • 4
   • 3
   • 6

   Отговор: 4

   Средните отсечки образуват 4 еднакви триъгълника със страни, равни на половините от страните.

7. M и N са средите на AC и BC в триъгълника ABC, MN = 5 cm и ∠CAB = 50°. Намерете ∠CMN.

   • 50°
   • 130°
   • 25°
   • 40°

   Отговор: 50°

   MN ∥ AB, затова ∠CMN и ∠CAB са съответни ъгли и са равни.

8. Средната отсечка на равностранен триъгълник е 4 cm. Колко е периметърът на триъгълника?

   • 12 cm
   • 48 cm
   • 24 cm
   • 16 cm

   Отговор: 24 cm

   Страната е 2·4 = 8 cm, а периметърът е 3·8 = 24 cm.

9. В равнобедрения триъгълник ABC (AC = BC = 10 cm) M и N са средите на AC и BC, а MN = 4 cm. Колко е периметърът на ABC?

   • 28 cm
   • 24 cm
   • 18 cm
   • 32 cm

   Отговор: 28 cm

   AB = 2·MN = 8 cm, периметърът е 10 + 10 + 8 = 28 cm.

10. Диагоналите на изпъкнал четириъгълник са 10 cm и 16 cm. Намерете периметъра на четириъгълника с върхове средите на страните му.

    • 52 cm
    • 13 cm
    • 32 cm
    • 26 cm

    Отговор: 26 cm

    Страните му са средни отсечки в триъгълници с основа диагонал: 2·5 + 2·8 = 26 cm.

11. В триъгълника ABC точките M и N са средите на AB и AC, а лицето на ABC е 40 cm². Колко е лицето на триъгълника AMN?

    • 20 cm²
    • 8 cm²
    • 5 cm²
    • 10 cm²

    Отговор: 10 cm²

    Трите средни отсечки делят триъгълника на 4 еднакви триъгълника, единият от които е AMN: 40 : 4 = 10 cm².

12. M е средата на страната AB на триъгълника ABC. Права през M, успоредна на BC, пресича AC в N, а AC = 14 cm. Колко е AN?

    • 14 cm
    • 3,5 cm
    • не може да се определи
    • 7 cm

    Отговор: 7 cm

    Права през средата на страна, успоредна на друга страна, минава през средата на третата: AN = 7 cm.

13. M, N и P са средите на страните AB, BC и CA на триъгълника ABC. Периметърът на MNP е 15 cm, AB = 8 cm и BC = 10 cm. Намерете CA.

    • 6 cm
    • 7 cm
    • 12 cm
    • 24 cm

    Отговор: 12 cm

    Периметърът на ABC е 2·15 = 30 cm, затова CA = 30 − 8 − 10 = 12 cm.

14. В триъгълника ABC AB = 12 cm, M и N са средите на AC и BC, а K е средата на AB. Отсечките MN и CK се пресичат в P. Колко е MP?

    • 6 cm
    • 3 cm
    • 4 cm
    • 2 cm

    Отговор: 3 cm

    MN ∥ AB и минава през средата на CK, затова P е средата на MN. MN = 6 cm, а MP = 3 cm.

15. Диагоналите на четириъгълник са перпендикулярни, AC = 8 cm и BD = 6 cm. Какъв е четириъгълникът с върхове средите на страните и какво е лицето му?

    • ромб, 24 cm²
    • правоъгълник, 12 cm²
    • квадрат, 12 cm²
    • правоъгълник, 24 cm²

    Отговор: правоъгълник, 12 cm²

    Страните му са средни отсечки, успоредни на диагоналите: 4 cm и 3 cm, и са перпендикулярни. Правоъгълник с лице 4·3 = 12 cm².

Медицентър

1. Медицентърът на триъгълник е пресечната точка на неговите:

   • ъглополовящи
   • медиани
   • височини
   • симетрали на страните

   Отговор: медиани

   Трите медиани се пресичат в една точка, наречена медицентър.

2. Медианата на триъгълник свързва връх със:

   • средата на съседна страна
   • центъра на описаната окръжност
   • средата на срещуположната страна
   • петата на височината

   Отговор: средата на срещуположната страна

   По определение медианата свързва връх със средата на срещуположната страна.

3. В какво отношение, считано от върха, медицентърът дели всяка медиана?

   • 1 : 1
   • 2 : 1
   • 1 : 2
   • 3 : 1

   Отговор: 2 : 1

   Медицентърът дели медианата в отношение 2 : 1 от върха.

4. Медианата AM на триъгълник е 12 cm, а G е медицентърът. Намерете AG.

   • 8 cm
   • 4 cm
   • 6 cm
   • 9 cm

   Отговор: 8 cm

   Медицентърът дели медианата в отношение 2 : 1 от върха: AG = 2/3·12 = 8 cm.

5. Къде се намира медицентърът на всеки триъгълник?

   • вътре в триъгълника
   • вън от триъгълника
   • на една от страните
   • в един от върховете

   Отговор: вътре в триъгълника

   Трите медиани лежат вътре в триъгълника, затова и пресечната им точка е вътре.

6. В равнобедрения триъгълник ABC (AB = AC) медианата AM към основата е и:

   • височина и ъглополовяща
   • само височина
   • само ъглополовяща
   • средна отсечка

   Отговор: височина и ъглополовяща

   В равнобедрен триъгълник медианата към основата е и височина, и ъглополовяща.

7. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 18 cm. Намерете разстоянието от медицентъра до върха на правия ъгъл.

   • 9 cm
   • 3 cm
   • 12 cm
   • 6 cm

   Отговор: 6 cm

   Медианата към хипотенузата е половината от нея: 9 cm. От върха до медицентъра са 2/3 от нея: 6 cm.

8. Равностранен триъгълник има страна 6√3 cm. Колко е разстоянието от медицентъра до един от върховете?

   • 3 cm
   • 9 cm
   • 3√3 cm
   • 6 cm

   Отговор: 6 cm

   Медианата е и височина: 6√3·√3/2 = 9 cm. Разстоянието до върха е 2/3 от нея: 6 cm.

9. Медианата към хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 7 cm. Колко е хипотенузата?

   • 7 cm
   • 21 cm
   • 3,5 cm
   • 14 cm

   Отговор: 14 cm

   Медианата към хипотенузата е равна на половината от хипотенузата: 2·7 = 14 cm.

10. Лицето на триъгълника ABC е 36 cm², а G е медицентърът. Намерете лицето на триъгълника ABG.

    • 18 cm²
    • 9 cm²
    • 12 cm²
    • 24 cm²

    Отговор: 12 cm²

    Височината от G към AB е 1/3 от височината от C, затова лицето е 1/3 от 36, т.е. 12 cm².

11. Медианите AA₁ и BB₁ на триъгълника ABC се пресичат в G, AA₁ = 12 cm и BB₁ = 9 cm. Колко е GA₁ + GB₁?

    • 14 cm
    • 7 cm
    • 21 cm
    • 10,5 cm

    Отговор: 7 cm

    GA₁ = 12 : 3 = 4 cm и GB₁ = 9 : 3 = 3 cm, общо 7 cm.

12. В триъгълника ABC медианата AM е равна на половината от BC. Колко е ∠BAC?

    • 60°
    • 45°
    • 90°
    • 120°

    Отговор: 90°

    MA = MB = MC, значи A лежи на окръжност с диаметър BC и ∠BAC = 90°.

13. В триъгълника ABC AC = BC = 10 cm и AB = 16 cm. Намерете разстоянието от медицентъра до основата AB.

    • 4 cm
    • 2 cm
    • 3 cm
    • 6 cm

    Отговор: 2 cm

    Медианата към основата е и височина: √(100 − 64) = 6 cm. Медицентърът е на 1/3 от нея от основата: 2 cm.

14. Медианите AM и BN на триъгълника ABC са перпендикулярни, AM = 9 cm и BN = 12 cm. Колко е AB?

    • 15 cm
    • 10 cm
    • 21 cm
    • 12 cm

    Отговор: 10 cm

    AG = 2/3·9 = 6 cm, BG = 2/3·12 = 8 cm, а триъгълникът ABG е правоъгълен: AB = √(36 + 64) = 10 cm.

15. Медианата CM на триъгълника ABC е 9 cm, G е медицентърът, а K е средата на CG. Колко е KM?

    • 4,5 cm
    • 3 cm
    • 6 cm
    • 7,5 cm

    Отговор: 6 cm

    CG = 6 cm, GM = 3 cm, KG = 3 cm, значи KM = 3 + 3 = 6 cm.

Трапец

1. Трапец е четириъгълник, в който:

   • точно две страни са успоредни
   • всички страни са равни
   • има две двойки успоредни страни
   • диагоналите са перпендикулярни

   Отговор: точно две страни са успоредни

   По определение трапецът има точно една двойка успоредни страни (основи).

2. Как се наричат успоредните страни на трапеца?

   • бедра
   • диагонали
   • височини
   • основи

   Отговор: основи

   Успоредните страни на трапеца са основи, а другите две са бедра.

3. Как се наричат неуспоредните страни на трапеца?

   • бедра
   • основи
   • диагонали
   • катети

   Отговор: бедра

   Успоредните страни са основи, а другите две са бедра.

4. Един от ъглите на равнобедрен трапец е 65°. Колко градуса е тъпият му ъгъл?

   • 65°
   • 125°
   • 25°
   • 115°

   Отговор: 115°

   Ъглите при едно бедро са прилежащи и имат сбор 180°: 180° − 65° = 115°.

5. Кое е вярно за диагоналите на всеки равнобедрен трапец?

   • равни са
   • перпендикулярни са
   • разполовяват се
   • те са ъглополовящи

   Отговор: равни са

   В равнобедрения трапец диагоналите са равни.

6. Как се нарича трапец, в който едното бедро е перпендикулярно на основите?

   • равнобедрен
   • правоъгълен
   • разностранен
   • ромб

   Отговор: правоъгълен

   Трапец с прав ъгъл при бедро се нарича правоъгълен.

7. В трапеца ABCD (AB ∥ CD) ∠A = 70°. Намерете ∠D.

   • 70°
   • 20°
   • 110°
   • 140°

   Отговор: 110°

   ∠A и ∠D са при бедрото AD между успоредни прави: сборът им е 180°.

8. Равнобедрен трапец има основи 10 cm и 4 cm и остър ъгъл 60°. Колко е бедрото?

   • 3 cm
   • 7 cm
   • 6 cm
   • 3√3 cm

   Отговор: 6 cm

   Проекцията на бедрото върху голямата основа е (10 − 4) : 2 = 3 cm. Тя лежи срещу ъгъл 30°, затова бедрото е 2·3 = 6 cm.

9. Периметърът на равнобедрен трапец е 30 cm, а основите са 12 cm и 8 cm. Колко е бедрото?

   • 10 cm
   • 5 cm
   • 6 cm
   • 4 cm

   Отговор: 5 cm

   Двете бедра са 30 − 12 − 8 = 10 cm, всяко по 5 cm.

10. Основите на равнобедрен трапец са 14 cm и 6 cm, а бедрото е 5 cm. Намерете височината.

    • 4 cm
    • 3 cm
    • 5 cm
    • √21 cm

    Отговор: 3 cm

    Проекцията на бедрото върху голямата основа е (14 − 6)/2 = 4 cm, височината е √(25 − 16) = 3 cm.

11. Правоъгълен трапец има основи 9 cm и 5 cm и височина 3 cm. Колко е наклоненото бедро?

    • 4 cm
    • 7 cm
    • 6 cm
    • 5 cm

    Отговор: 5 cm

    Разликата на основите е 4 cm, а бедрото е хипотенуза: √(4² + 3²) = 5 cm.

12. Правоъгълен трапец има остър ъгъл 45°, височина 4 cm и малка основа 3 cm. Колко е голямата основа?

    • 11 cm
    • 8 cm
    • 7 cm
    • 4 cm

    Отговор: 7 cm

    Височината от върха отрязва равнобедрен правоъгълен триъгълник с катети 4 cm. Голямата основа е 3 + 4 = 7 cm.

13. В равнобедрен трапец диагоналът е ъглополовяща на острия ъгъл. Малката основа е 7 cm, а периметърът е 38 cm. Намерете голямата основа.

    • 17 cm
    • 10 cm
    • 24 cm
    • 14 cm

    Отговор: 17 cm

    ∠DCA = ∠CAB = ∠CAD, затова триъгълник ACD е равнобедрен и бедрото е 7 cm. Голямата основа е 38 − 3·7 = 17 cm.

14. В равнобедрения трапец ABCD (AB ∥ CD) ∠A = 60°, AB = 12 cm и диагоналът AC е перпендикулярен на бедрото BC. Колко е CD?

    • 8 cm
    • 6 cm
    • 4 cm
    • 9 cm

    Отговор: 6 cm

    В триъгълника ABC ∠C = 90°, ∠B = 60°, ∠BAC = 30°, затова BC = 6 cm. Проекцията на бедрото е 3 cm и CD = 12 − 2·3 = 6 cm.

15. В равнобедрен трапец бедрото е равно на малката основа, а голямата основа е два пъти по-голяма от малката. Колко е острият ъгъл?

    • 45°
    • 30°
    • 75°
    • 60°

    Отговор: 60°

    При малка основа b проекцията на бедрото е b/2, т.е. половината от бедрото. Значи ъгълът срещу височината е 60°.

Средна основа (трапец)

1. Основите на трапец са 12 cm и 8 cm. Намерете средната основа.

   • 20 cm
   • 4 cm
   • 2 cm
   • 10 cm

   Отговор: 10 cm

   Средната основа е полусбор от основите: (12 + 8)/2 = 10 cm.

2. Средната основа на трапеца е успоредна на:

   • бедрата
   • диагоналите
   • основите
   • нито една страна

   Отговор: основите

   Средната основа свързва средите на бедрата и е успоредна на основите.

3. Средната основа на трапец свързва:

   • средите на основите
   • средите на бедрата
   • средите на диагоналите
   • два срещуположни върха

   Отговор: средите на бедрата

   Средната основа е отсечката между средите на бедрата.

4. Средната основа на трапец е 15 cm, а едната основа е 11 cm. Намерете другата основа.

   • 4 cm
   • 26 cm
   • 19 cm
   • 7,5 cm

   Отговор: 19 cm

   Сборът на основите е 2·15 = 30 cm, другата е 30 − 11 = 19 cm.

5. Основите на трапец се отнасят както 1 : 3, а средната основа е 8 cm. Колко е голямата основа?

   • 12 cm
   • 4 cm
   • 6 cm
   • 16 cm

   Отговор: 12 cm

   Сборът на основите е 2·8 = 16 cm, т.е. 4 части по 4 cm. Голямата основа е 3·4 = 12 cm.

6. Средната основа на трапец е 7 cm. Колко е сборът на основите?

   • 14 cm
   • 7 cm
   • 3,5 cm
   • 21 cm

   Отговор: 14 cm

   Средната основа е полусборът на основите: сборът им е 2·7 = 14 cm.

7. Средната основа на трапец е 9 cm, а височината е 4 cm. Намерете лицето на трапеца.

   • 18 cm²
   • 36 cm²
   • 13 cm²
   • 72 cm²

   Отговор: 36 cm²

   S = (a + b)/2·h = 9·4 = 36 cm².

8. Средната основа на равнобедрен трапец е 10 cm, а бедрото е 6 cm. Колко е периметърът?

   • 22 cm
   • 26 cm
   • 40 cm
   • 32 cm

   Отговор: 32 cm

   Сборът на основите е 2·10 = 20 cm, а на бедрата 12 cm: P = 32 cm.

9. Едната основа на трапец е с 6 cm по-дълга от другата, а средната основа е 10 cm. Колко са основите?

   • 4 cm и 10 cm
   • 8 cm и 12 cm
   • 7 cm и 13 cm
   • 10 cm и 16 cm

   Отговор: 7 cm и 13 cm

   Сборът на основите е 20 cm, а разликата 6 cm: 7 cm и 13 cm.

10. Единият диагонал на трапец разделя средната основа на отсечки 4 cm и 7 cm. Намерете основите.

    • 8 cm и 14 cm
    • 4 cm и 7 cm
    • 11 cm и 22 cm
    • 3 cm и 11 cm

    Отговор: 8 cm и 14 cm

    Двете части са средни отсечки в триъгълниците, на които диагоналът разделя трапеца: основите са 2·4 и 2·7.

11. Средната основа на трапец е 14 cm, а разстоянието между средите на диагоналите е 4 cm. Намерете основите.

    • 14 cm и 4 cm
    • 18 cm и 10 cm
    • 16 cm и 12 cm
    • 20 cm и 8 cm

    Отговор: 18 cm и 10 cm

    a + b = 28 и (a − b)/2 = 4, т.е. a − b = 8, откъдето a = 18 cm и b = 10 cm.

12. Правоъгълен трапец има средна основа 9 cm, а наклоненото му бедро е 10 cm и сключва с голямата основа ъгъл 30°. Колко е лицето?

    • 90 cm²
    • 45 cm²
    • 50 cm²
    • 22,5 cm²

    Отговор: 45 cm²

    Височината е катет срещу ъгъл 30°: 10 : 2 = 5 cm. Лицето е 9·5 = 45 cm².

13. Равнобедрен трапец има перпендикулярни диагонали и височина 10 cm. Намерете средната основа.

    • 5 cm
    • 20 cm
    • 10√2 cm
    • 10 cm

    Отговор: 10 cm

    Диагоналите сключват с основите ъгли 45°, затова височината е равна на полусбора на основите.

14. Средната основа на трапец е 12 cm и диагоналите я делят на три равни части. Намерете основите.

    • 18 cm и 6 cm
    • 16 cm и 8 cm
    • 15 cm и 9 cm
    • 20 cm и 4 cm

    Отговор: 16 cm и 8 cm

    Крайните части са по b/2, а средната е (a − b)/2. Всяка е 4 cm, откъдето b = 8 cm и a = 16 cm.

15. Равнобедрен трапец има средна основа 12 cm, остър ъгъл 60° и периметър 40 cm. Колко са основите?

    • 18 cm и 6 cm
    • 14 cm и 10 cm
    • 20 cm и 4 cm
    • 16 cm и 8 cm

    Отговор: 16 cm и 8 cm

    Сборът на основите е 24 cm, бедрата са (40 − 24) : 2 = 8 cm. Проекцията на бедро е 4 cm, разликата на основите е 8 cm: 16 cm и 8 cm.

Финален въпрос