Системи линейни уравнения

Линейни уравнения

1. Коя от точките е решение на уравнението 2x + y = 7?

   • (1; 3)
   • (2; 2)
   • (0; 5)
   • (3; 1)

   Отговор: (3; 1)

   2 · 3 + 1 = 7.

2. Кое от уравненията е линейно с две неизвестни?

   • x² + y = 1
   • 3x − y = 4
   • xy = 6
   • 1/x + y = 2

   Отговор: 3x − y = 4

   В линейното уравнение неизвестните са на първа степен и не се умножават помежду си.

3. Колко решения има уравнението x + y = 5?

   • безброй много
   • две
   • едно
   • нито едно

   Отговор: безброй много

   За всяко x има y = 5 − x, затова решенията са безброй много.

4. Двойката (2; −1) е решение на уравнението ax + 3y = 5. Намерете a.

   • a = 4
   • a = 1
   • a = −4
   • a = 2

   Отговор: a = 4

   2a − 3 = 5, a = 4.

5. Двойката (x; 2) е решение на уравнението 3x − 2y = 5. Намерете x.

   • 1
   • 2
   • −3
   • 3

   Отговор: 3

   3x − 4 = 5, 3x = 9, x = 3.

6. Коя двойка не е решение на уравнението x − y = 3?

   • (5; 2)
   • (1; 2)
   • (0; −3)
   • (3; 0)

   Отговор: (1; 2)

   1 − 2 = −1 ≠ 3, а останалите двойки дават 3.

7. Изразете y чрез x от уравнението 3x − 2y = 6.

   • y = 3 − 1,5x
   • y = 1,5x − 3
   • y = 1,5x + 3
   • y = 3x − 6

   Отговор: y = 1,5x − 3

   2y = 3x − 6, y = 1,5x − 3.

8. В коя точка графиката на уравнението 2x + y = 4 пресича оста Ox?

   • (2; 0)
   • (4; 0)
   • (0; 2)
   • (0; 4)

   Отговор: (2; 0)

   На оста Ox y = 0, затова 2x = 4 и x = 2.

9. Каква е графиката на уравнението 0 · x + 2y = 6?

   • права през началото
   • права, успоредна на Oy
   • права, успоредна на Ox
   • точка

   Отговор: права, успоредна на Ox

   Уравнението е еквивалентно на y = 3, а това е права, успоредна на Ox.

10. Колко решения в цели положителни числа има уравнението x + y = 6?

    • 6
    • 7
    • 5
    • безброй много

    Отговор: 5

    (1; 5), (2; 4), (3; 3), (4; 2) и (5; 1).

11. Правата 3x + 4y = 12 и координатните оси ограничават триъгълник. Колко е лицето му?

    • 12
    • 7
    • 6
    • 24

    Отговор: 6

    Правата пресича осите в (4; 0) и (0; 3), катетите са 4 и 3, лицето е 4 · 3 : 2 = 6.

12. Двойките (1; 4) и (3; 0) са решения на уравнението ax + y = c. Намерете c.

    • 4
    • 3
    • 2
    • 6

    Отговор: 6

    a + 4 = c и 3a = c, откъдето a = 2 и c = 6.

13. Колко решения в цели положителни числа има уравнението 3x + 5y = 40?

    • 3
    • 1
    • 0
    • 2

    Отговор: 2

    5y < 40 и 40 − 5y трябва да се дели на 3: y = 2 (x = 10) и y = 5 (x = 5).

14. Числата x и y удовлетворяват 2x + 3y = 12. Ако x се увеличи с 3, как трябва да се промени y, за да остане равенството вярно?

    • увеличава се с 2
    • намалява с 3
    • намалява с 2
    • намалява с 4,5

    Отговор: намалява с 2

    2x се увеличава с 6, затова 3y трябва да намалее с 6, т.е. y намалява с 2.

15. При коя стойност на a графиката на уравнението (a − 2)x + 3y = 5 е права, успоредна на оста Ox?

    • 2
    • 0
    • −2
    • 3

    Отговор: 2

    При a = 2 уравнението става 3y = 5, т.е. y = 5/3, права, успоредна на Ox.

Метод на заместването

1. Решете системата y = 2x, x + y = 9.

   • (3; 6)
   • (6; 3)
   • (2; 4)
   • (3; 3)

   Отговор: (3; 6)

   x + 2x = 9, x = 3, y = 6.

2. Решете системата x = 4, x + y = 7.

   • (4; 3)
   • (3; 4)
   • (4; 11)
   • (7; 4)

   Отговор: (4; 3)

   Заместваме x = 4: 4 + y = 7, y = 3.

3. Изразете x от уравнението x − 2y = 3.

   • x = 2y − 3
   • x = 2y + 3
   • x = 3 − 2y
   • x = (y + 3)/2

   Отговор: x = 2y + 3

   Прибавяме 2y към двете страни: x = 2y + 3.

4. Решете системата x = y + 3, 2x + y = 12.

   • (2; 5)
   • (5; 2)
   • (4; 1)
   • (6; 3)

   Отговор: (5; 2)

   2(y + 3) + y = 12, 3y = 6, y = 2, x = 5.

5. При решаване на системата y = x − 2, 3x + y = 10 чрез заместване се получава уравнението:

   • 3x + x + 2 = 10
   • 3x − x + 2 = 10
   • 3x + 2 = 10
   • 3x + x − 2 = 10

   Отговор: 3x + x − 2 = 10

   На мястото на y във второто уравнение заместваме x − 2.

6. Кое неизвестно е най-удобно да се изрази при решаване на системата 2x + y = 7, 3x − 4y = 5 чрез заместване?

   • x от първото
   • x от второто
   • y от първото
   • y от второто

   Отговор: y от първото

   В първото уравнение y е с коефициент 1, затова y = 7 − 2x без дроби.

7. Решете системата 3x − y = 1, 5x + 2y = 20.

   • (5; 2)
   • (1; 2)
   • (2; 5)
   • (3; 8)

   Отговор: (2; 5)

   y = 3x − 1: 5x + 6x − 2 = 20, x = 2, y = 5.

8. Решете системата 2x + y = 1, 3x − 2y = 12.

   • (−2; 5)
   • (2; −3)
   • (3; −5)
   • (2; 3)

   Отговор: (2; −3)

   y = 1 − 2x; 3x − 2 + 4x = 12, 7x = 14, x = 2 и y = −3.

9. Решете системата x + 2y = 7, 2x − y = 4.

   • (1; 3)
   • (5; 1)
   • (2; 3)
   • (3; 2)

   Отговор: (3; 2)

   x = 7 − 2y, 14 − 4y − y = 4, y = 2, x = 3.

10. Решете системата x/2 + y/3 = 4, x − y = 3.

    • (3; 6)
    • (5; 2)
    • (9; 6)
    • (6; 3)

    Отговор: (6; 3)

    3x + 2y = 24 и x = y + 3: 5y + 9 = 24, y = 3, x = 6.

11. Решете системата (x + y)/2 = 4, (x − y)/3 = 2.

    • (1; 7)
    • (5; 3)
    • (6; 2)
    • (7; 1)

    Отговор: (7; 1)

    x + y = 8 и x − y = 6; x = y + 6, 2y + 6 = 8, y = 1, x = 7.

12. Решете системата x/3 = y/2, x + y = 10.

    • (6; 4)
    • (3; 2)
    • (5; 5)
    • (4; 6)

    Отговор: (6; 4)

    x = 3k, y = 2k, 5k = 10, k = 2, затова x = 6, y = 4.

13. При какви стойности на a и b двойката (2; 1) е решение на системата ax + by = 7, bx − ay = 4?

    • a = 2, b = 3
    • a = 3, b = 2
    • a = 1, b = 5
    • a = 2, b = 1

    Отговор: a = 2, b = 3

    2a + b = 7 и 2b − a = 4. От второто a = 2b − 4: 5b − 8 = 7, b = 3, a = 2.

14. Решете системата 3(x − 1) = 2(y + 1), x + y = 5.

    • (2; 3)
    • (3; 2)
    • (5; 0)
    • (1; 4)

    Отговор: (3; 2)

    3x − 2y = 5 и y = 5 − x: 3x − 10 + 2x = 5, x = 3, y = 2.

15. Решете системата 2/x + 3/y = 2, 4/x − 3/y = 1, като положите u = 1/x и v = 1/y.

    • (1/2; 1/3)
    • (2; 3)
    • (3; 2)
    • (1; 1)

    Отговор: (2; 3)

    2u + 3v = 2, 4u − 3v = 1, откъдето u = 1/2, v = 1/3, т.е. x = 2, y = 3.

Метод на събирането

1. Решете системата x + y = 10, x − y = 4.

   • (3; 7)
   • (7; 3)
   • (6; 4)
   • (8; 2)

   Отговор: (7; 3)

   Събираме уравненията: 2x = 14, x = 7, y = 3.

2. Какво уравнение получаваме, като съберем уравненията на системата 2x + y = 5, 3x − y = 10?

   • 5x = 5
   • x = 15
   • 5x = 15
   • 5x + 2y = 15

   Отговор: 5x = 15

   y и −y се унищожават, остава 5x = 15.

3. Какво уравнение се получава, като извадим второто уравнение от първото в системата 3x + y = 8, x + y = 4?

   • 4x + 2y = 12
   • 2x + 2y = 4
   • 2x = 4
   • 2x = 12

   Отговор: 2x = 4

   (3x + y) − (x + y) = 8 − 4, т.е. 2x = 4.

4. Решете системата 3x + 2y = 16, x − 2y = 0.

   • (2; 4)
   • (4; −2)
   • (4; 2)
   • (8; 4)

   Отговор: (4; 2)

   Събираме: 4x = 16, x = 4, y = 2.

5. Решете системата x + 3y = 11, x − 3y = −1.

   • (5; 2)
   • (2; 5)
   • (5; −2)
   • (4; 3)

   Отговор: (5; 2)

   Събираме: 2x = 10, x = 5; тогава 3y = 6, y = 2.

6. Решете системата 2x + y = 9, 2x − y = 3.

   • (4; 1)
   • (3; −3)
   • (2; 5)
   • (3; 3)

   Отговор: (3; 3)

   Събираме: 4x = 12, x = 3, y = 3.

7. Решете системата 2x + 3y = 13, 4x − 3y = −1.

   • (3; 2)
   • (2; −3)
   • (1; 4)
   • (2; 3)

   Отговор: (2; 3)

   Събираме: 6x = 12, x = 2, 3y = 9, y = 3.

8. По кое число трябва да умножим второто уравнение на системата 3x + 4y = 10, x − 2y = 0, за да се унищожи y при събиране?

   • 2
   • −2
   • 4
   • 3

   Отговор: 2

   2(x − 2y) = 2x − 4y, а 4y − 4y = 0.

9. Решете системата 4x − 3y = 5, 2x + 5y = 9.

   • (2; 1)
   • (1; 2)
   • (2; −1)
   • (−2; −1)

   Отговор: (2; 1)

   Умножаваме второто по 2 и изваждаме първото: 13y = 13, y = 1, x = 2.

10. Решете системата 5x + 2y = 1, 3x + 4y = −5.

    • (1; −2)
    • (−1; 3)
    • (1; 2)
    • (−2; 1)

    Отговор: (1; −2)

    Умножаваме първото уравнение по 2 и изваждаме второто: 7x = 7, x = 1, y = −2.

11. Решете системата 3x + 2y = 7, 2x + 3y = 8.

    • (2; 1)
    • (3; −1)
    • (1; 2)
    • (−1; 5)

    Отговор: (1; 2)

    Събираме: 5x + 5y = 15, x + y = 3; изваждаме: x − y = −1. Оттук x = 1, y = 2.

12. Решете системата 3x − 2y = 4, 5x − 3y = 7.

    • (1; 2)
    • (2; 1)
    • (4; 4)
    • (2; −1)

    Отговор: (2; 1)

    9x − 6y = 12 и 10x − 6y = 14, изваждаме: x = 2, y = 1.

13. Решете системата 2(x + y) − 3(x − y) = 9, 3(x + y) + (x − y) = 8.

    • (2; 1)
    • (1; 2)
    • (3; −1)
    • (−1; 3)

    Отговор: (1; 2)

    Полагаме u = x + y, v = x − y: 2u − 3v = 9, 3u + v = 8, откъдето u = 3, v = −1. Тогава x = 1, y = 2.

14. Решете системата 0,5x + 0,2y = 2, 0,3x − 0,4y = −1,4.

    • (5; 2)
    • (2; 5)
    • (4; 0)
    • (−2; 15)

    Отговор: (2; 5)

    Умножаваме по 10: 5x + 2y = 20 и 3x − 4y = −14. Удвояваме първото и събираме: 13x = 26, x = 2, y = 5.

15. При какви стойности на a и b системата ax + by = 5, ax − by = 1 има решение (1; 2)?

    • a = 1, b = 3
    • a = 2, b = 1,5
    • a = 3, b = 1
    • a = 3, b = 2

    Отговор: a = 3, b = 1

    a + 2b = 5 и a − 2b = 1. Събираме: 2a = 6, a = 3, b = 1.

Брой решения

1. Колко решения има системата y = 2x + 1, y = 2x − 3?

   • точно едно
   • безброй много
   • нито едно
   • точно две

   Отговор: нито едно

   Правите имат равни ъглови коефициенти и различни пресечни точки с Oy, т.е. са успоредни.

2. Колко решения има система, чиито уравнения имат за графики две пресичащи се прави?

   • нито едно
   • две
   • безброй много
   • точно едно

   Отговор: точно едно

   Решението е координатите на пресечната точка, а пресичащите се прави имат една обща точка.

3. Колко решения има система, чиито уравнения имат за графики две успоредни различни прави?

   • точно едно
   • две
   • безброй много
   • нито едно

   Отговор: нито едно

   Успоредните различни прави нямат обща точка.

4. Колко решения има системата x − 3y = 2, 2x − 6y = 4?

   • нито едно
   • точно едно
   • точно две
   • безброй много

   Отговор: безброй много

   Второто уравнение е първото, умножено по 2: правите съвпадат.

5. Кое уравнение трябва да се добави към x − y = 1, за да няма системата решение?

   • x + y = 4
   • x − y = 4
   • 2x − 2y = 2
   • x = 1

   Отговор: x − y = 4

   Правите x − y = 1 и x − y = 4 са успоредни и различни.

6. Колко решения има системата x = 2, y = −1?

   • точно едно
   • безброй много
   • нито едно
   • две

   Отговор: точно едно

   Правите x = 2 и y = −1 се пресичат в една точка (2; −1).

7. Колко решения има системата y = 3x − 1, y = −x + 7?

   • точно едно
   • нито едно
   • безброй много
   • точно две

   Отговор: точно едно

   Ъгловите коефициенти 3 и −1 са различни: правите се пресичат в една точка, (2; 5).

8. Колко решения има системата 3x − y = 5, 6x + 2y = 10?

   • нито едно
   • безброй много
   • две
   • точно едно

   Отговор: точно едно

   Отношенията 3 : 6 и (−1) : 2 са различни, затова правите се пресичат.

9. Колко решения има системата 2x − y = 3, −4x + 2y = 6?

   • точно едно
   • нито едно
   • безброй много
   • две

   Отговор: нито едно

   Второто уравнение е 2x − y = −3, а това противоречи на първото: правите са успоредни.

10. При каква стойност на a системата 4x − 2y = 1, ax + y = 3 няма решение?

    • a = 2
    • a = −2
    • a = 8
    • a = −8

    Отговор: a = −2

    От първото y = 2x − 1/2, от второто y = −ax + 3. Правите са успоредни при −a = 2, т.е. a = −2.

11. При кои стойности на k системата kx + 3y = 5, 2x + y = 1 има единствено решение?

    • k ≠ 6
    • k = 6
    • k ≠ 3
    • k ≠ 2

    Отговор: k ≠ 6

    Единствено решение има, когато k : 2 ≠ 3 : 1, т.е. k ≠ 6.

12. При каква стойност на b системата 2x + 3y = b, 4x + 6y = 10 има безброй много решения?

    • 10
    • 2
    • 5
    • 20

    Отговор: 5

    Второто уравнение е 2 пъти първото, ако 2b = 10, т.е. b = 5.

13. При каква стойност на m системата mx + 4y = 8, x + my = 4 има безброй много решения?

    • m = −2
    • m = 4
    • m = 2
    • m = 0

    Отговор: m = 2

    При m = 2 първото уравнение е 2x + 4y = 8, т.е. x + 2y = 4, същото като второто. При m = −2 правите са успоредни.

14. При коя стойност на a системата (a − 1)x + 2y = 4, 3x + y = 2 има безброй много решения?

    • a = 6
    • a = 5
    • a = 7
    • няма такава стойност

    Отговор: a = 7

    Трябва (a − 1) : 3 = 2 : 1 = 4 : 2, т.е. a − 1 = 6, a = 7.

15. При коя стойност на a системата ax + y = 1, x + ay = 1 няма решение?

    • a = ±1
    • a = 0
    • a = 1
    • a = −1

    Отговор: a = −1

    При a = 1 двете уравнения съвпадат (безброй решения), а при a = −1 се получава −x + y = 1 и x − y = 1, което е противоречие.

Моделиране

1. Сборът на две числа е 20, а разликата им е 6. Кое е по-голямото число?

   • 14
   • 7
   • 12
   • 13

   Отговор: 13

   x + y = 20, x − y = 6: 2x = 26, x = 13.

2. Сборът на две числа е 15, а едното е 2 пъти по-голямо от другото. Кое е по-малкото число?

   • 10
   • 7,5
   • 5
   • 3

   Отговор: 5

   x + 2x = 15, x = 5.

3. В клас има 30 ученици, като момичетата са с 2 повече от момчетата. Колко са момичетата?

   • 16
   • 14
   • 15
   • 18

   Отговор: 16

   x + y = 30, x − y = 2, откъдето x = 16.

4. 3 тетрадки и 2 химикалки струват 9 евро, а 1 тетрадка и 2 химикалки струват 5 евро. Колко струва една тетрадка?

   • 2 евро
   • 1,5 евро
   • 3 евро
   • 1 евро

   Отговор: 2 евро

   Изваждаме: 2 тетрадки струват 4 евро, една струва 2 евро.

5. Сега бащата е 3 пъти по-възрастен от сина си, а след 12 години ще бъде 2 пъти по-възрастен. На колко години е синът сега?

   • 12
   • 24
   • 36
   • 6

   Отговор: 12

   3x + 12 = 2(x + 12), откъдето x = 12.

6. 4 ябълки и 2 круши тежат 1,4 kg, а 2 ябълки и 3 круши тежат 1,3 kg. Колко грама тежи една ябълка?

   • 300 g
   • 200 g
   • 250 g
   • 150 g

   Отговор: 200 g

   4a + 2p = 1400 и 4a + 6p = 2600, откъдето p = 300 g и a = 200 g.

7. В двор има кокошки и зайци, общо 17 глави и 48 крака. Колко са зайците?

   • 10
   • 7
   • 5
   • 12

   Отговор: 7

   k + z = 17 и 2k + 4z = 48: 2z = 14, z = 7.

8. Периметърът на правоъгълник е 34 cm, а едната му страна е с 5 cm по-дълга от другата. Колко е по-дългата страна?

   • 6 cm
   • 12 cm
   • 14,5 cm
   • 11 cm

   Отговор: 11 cm

   a + b = 17 и a − b = 5, затова a = 11 cm и b = 6 cm.

9. Сборът от възрастите на майка и дъщеря е 50 години, а преди 5 години майката е била 4 пъти по-възрастна. На колко години е дъщерята сега?

   • 12
   • 15
   • 13
   • 10

   Отговор: 13

   m + d = 50 и m − 5 = 4(d − 5), откъдето 5d = 65, d = 13.

10. Лодка изминава 36 km по течението на река за 2 h, а срещу течението за 3 h. Колко е скоростта на течението?

    • 15 km/h
    • 6 km/h
    • 3 km/h
    • 5 km/h

    Отговор: 3 km/h

    v + u = 18 и v − u = 12, откъдето v = 15 km/h и u = 3 km/h.

11. Колко литра 20% разтвор трябва да се смесят с 50% разтвор, за да се получат 30 l 30% разтвор?

    • 10 l
    • 20 l
    • 15 l
    • 18 l

    Отговор: 20 l

    x + y = 30 и 0,2x + 0,5y = 9, откъдето 0,3x = 6, x = 20 l.

12. Влак изминава разстоянието между две гари за 3 h. Ако скоростта му е с 20 km/h по-голяма, ще го измине за 2 h. Колко е разстоянието?

    • 180 km
    • 100 km
    • 60 km
    • 120 km

    Отговор: 120 km

    3v = 2(v + 20), v = 40 km/h, а разстоянието е 3 · 40 = 120 km.

13. Двуцифрено число има сбор на цифрите 11. Ако разменим цифрите му, се получава число, с 27 по-голямо. Кое е числото?

    • 74
    • 38
    • 56
    • 47

    Отговор: 47

    a + b = 11 и (10b + a) − (10a + b) = 27, т.е. b − a = 3. a = 4, b = 7.

14. Два автомобила тръгват едновременно един срещу друг от два града на разстояние 300 km и се срещат след 2 h. Скоростта на единия е с 10 km/h по-голяма. Колко е скоростта на по-бързия?

    • 70 km/h
    • 75 km/h
    • 90 km/h
    • 80 km/h

    Отговор: 80 km/h

    Сборът на скоростите е 300 : 2 = 150 km/h, а разликата е 10 km/h, затова 80 km/h и 70 km/h.

15. Вложени са 10 000 евро в две сметки с годишна лихва 3% и 5%. След година общата лихва е 380 евро. Колко евро са вложени при 5%?

    • 4000 евро
    • 6000 евро
    • 3800 евро
    • 5000 евро

    Отговор: 4000 евро

    x + y = 10 000 и 0,03x + 0,05y = 380, откъдето y = 4000 евро.

Финален въпрос