Класическа вероятност

Множества

1. Дадени са A = {1; 2; 3; 4; 5} и B = {4; 5; 6}. Намерете A ∩ B.

   • {1; 2; 3; 4; 5; 6}
   • {4; 5}
   • {1; 2; 3}
   • {6}

   Отговор: {4; 5}

   Сечението съдържа общите елементи на двете множества: 4 и 5.

2. Дадени са A = {1; 3; 5; 7} и B = {3; 4; 5}. Намерете разликата A \ B.

   • {4}
   • {1; 7}
   • {3; 5}
   • {1; 4; 7}

   Отговор: {1; 7}

   В A \ B са елементите на A, които не са в B: 1 и 7.

3. Кое множество е подмножество на {1; 2; 3; 4}?

   • {1; 5}
   • {0; 1}
   • {2; 4}
   • {3; 6}

   Отговор: {2; 4}

   Всеки елемент на {2; 4} е елемент и на {1; 2; 3; 4}.

4. Дадени са A = {2; 4; 6; 8} и B = {1; 2; 3; 4}. Колко елемента има A ∪ B?

   • 8
   • 2
   • 6
   • 4

   Отговор: 6

   A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 6; 8}, т.е. 6 елемента.

5. Колко елемента има множеството на двуцифрените числа, кратни на 10?

   • 10
   • 8
   • 90
   • 9

   Отговор: 9

   Това са 10, 20, ..., 90, т.е. 9 числа.

6. A е множеството на делителите на 12. Колко елемента има A?

   • 4
   • 5
   • 12
   • 6

   Отговор: 6

   Делителите на 12 са 1, 2, 3, 4, 6 и 12.

7. Множеството A има 7 елемента, B има 5 елемента, а A ∩ B има 3 елемента. Колко елемента има A ∪ B?

   • 12
   • 15
   • 10
   • 9

   Отговор: 9

   7 + 5 − 3 = 9, защото общите елементи се броят само веднъж.

8. A е множеството на целите числа x, за които −2 ≤ x < 3. Колко елемента има A?

   • 5
   • 6
   • 4
   • 3

   Отговор: 5

   A = {−2; −1; 0; 1; 2}, т.е. 5 елемента.

9. A е множеството на делителите на 12, а B на делителите на 18. Намерете A ∩ B.

   • {1; 2; 3; 6}
   • {1; 2; 3; 4; 6}
   • {6}
   • {2; 3; 6}

   Отговор: {1; 2; 3; 6}

   Общите делители на 12 и 18 са 1, 2, 3 и 6.

10. Колко подмножества (включително празното и самото множество) има множеството {a; b; c}?

    • 8
    • 6
    • 3
    • 9

    Отговор: 8

    Всеки от трите елемента или участва, или не: 2 · 2 · 2 = 8.

11. Едно множество има 4 елемента. Колко са двуелементните му подмножества?

    • 4
    • 8
    • 6
    • 12

    Отговор: 6

    За {a; b; c; d} те са ab, ac, ad, bc, bd, cd, т.е. 6.

12. U = {1; 2; ...; 10}, а A е множеството на числата от U, кратни на 3. Колко елемента има U \ A?

    • 3
    • 7
    • 6
    • 10

    Отговор: 7

    A = {3; 6; 9}, затова U \ A има 10 − 3 = 7 елемента.

13. В клас от 30 ученици 18 учат английски, 15 учат немски, а 4 не учат нито един от двата езика. Колко ученици учат и двата езика?

    • 3
    • 7
    • 11
    • 9

    Отговор: 7

    Поне един език учат 30 − 4 = 26 ученици. 18 + 15 − 26 = 7.

14. В клас 12 ученици играят футбол, 9 играят баскетбол, а 5 играят и двете игри. Колко ученици играят само една от двете игри?

    • 16
    • 21
    • 11
    • 7

    Отговор: 11

    Само футбол играят 12 − 5 = 7, само баскетбол 9 − 5 = 4, общо 11.

15. Колко от числата от 1 до 100 се делят на 2 или на 3?

    • 83
    • 66
    • 67
    • 50

    Отговор: 67

    На 2 се делят 50, на 3 се делят 33, а на 6 (и на двете) 16: 50 + 33 − 16 = 67.

Случайни събития

1. Хвърля се един зар. Колко са елементарните изходи на опита?

   • 3
   • 12
   • 6
   • 36

   Отговор: 6

   Възможните изходи са 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

2. Кое събитие е невъзможно при хвърляне на един зар?

   • пада се 7
   • пада се 6
   • пада се четно число
   • пада се число, по-малко от 7

   Отговор: пада се 7

   Зарът има точки от 1 до 6, затова 7 не може да се падне.

3. Кое събитие е достоверно при хвърляне на един зар?

   • пада се 6
   • пада се четно число
   • пада се 0
   • пада се число от 1 до 6

   Отговор: пада се число от 1 до 6

   При всяко хвърляне се пада число от 1 до 6, затова събитието винаги настъпва.

4. Хвърлят се две монети. Колко са елементарните изходи на опита?

   • 2
   • 3
   • 8
   • 4

   Отговор: 4

   ГГ, ГЛ, ЛГ и ЛЛ (Г е герб, Л е лице): 2 · 2 = 4.

5. Хвърлят се една монета и един зар. Колко са елементарните изходи на опита?

   • 8
   • 6
   • 36
   • 12

   Отговор: 12

   Монетата има 2 изхода, а зарът 6, общо 2 · 6 = 12.

6. От торба с топки с номера от 1 до 15 се тегли една. Колко изхода са благоприятни за събитието „номерът е нечетен“?

   • 8
   • 7
   • 15
   • 5

   Отговор: 8

   Нечетните числа от 1 до 15 са 1, 3, 5, ..., 15, т.е. 8.

7. Хвърлят се два зара. Колко от елементарните изходи са благоприятни за събитието „сборът от точките е 8“?

   • 5
   • 4
   • 3
   • 6

   Отговор: 5

   (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3) и (6; 2).

8. Случайно се избира двуцифрено число. Колко са елементарните изходи?

   • 99
   • 90
   • 100
   • 89

   Отговор: 90

   Двуцифрените числа са от 10 до 99, т.е. 90.

9. Буквите А, Б и В се подреждат случайно в редица. Колко са елементарните изходи?

   • 3
   • 6
   • 9
   • 8

   Отговор: 6

   Подредбите са 3 · 2 · 1 = 6.

10. От числата 1, 2, ..., 20 случайно се избира едно. Колко изхода са благоприятни за събитието „числото се дели на 3 или на 5“?

    • 10
    • 9
    • 8
    • 11

    Отговор: 9

    Кратни на 3 са 6 числа, кратни на 5 са 4, а на двете (15) е 1 число: 6 + 4 − 1 = 9.

11. Хвърлят се два зара. Колко изхода са благоприятни за събитието „произведението на точките е 12“?

    • 2
    • 3
    • 6
    • 4

    Отговор: 4

    Това са (2; 6), (6; 2), (3; 4) и (4; 3).

12. Хвърлят се два зара. Колко изхода са благоприятни за събитието „поне на единия зар се пада 1“?

    • 12
    • 10
    • 11
    • 6

    Отговор: 11

    Всички изходи са 36, а без единица са 5 · 5 = 25, затова 36 − 25 = 11.

13. Хвърлят се три монети. Колко от елементарните изходи са благоприятни за събитието „падат се точно два герба“?

    • 2
    • 4
    • 3
    • 6

    Отговор: 3

    ГГЛ, ГЛГ и ЛГГ.

14. От цифрите 1, 2, 3 и 4 се образува двуцифрено число с различни цифри. Колко от възможните числа са четни?

    • 4
    • 6
    • 8
    • 12

    Отговор: 6

    Числото е четно, ако завършва на 2 или 4. За всяка от тях първата цифра се избира по 3 начина: 2 · 3 = 6.

15. От 5 ученици случайно се избират двама дежурни. Колко са възможните двойки?

    • 5
    • 20
    • 25
    • 10

    Отговор: 10

    Наредените двойки са 5 · 4 = 20, но редът няма значение, затова 20 : 2 = 10.

Класическа вероятност

1. Хвърля се зар. Каква е вероятността да се падне число, по-голямо от 4?

   • 1/2
   • 2/3
   • 1/6
   • 1/3

   Отговор: 1/3

   Благоприятни са 5 и 6: P = 2/6 = 1/3.

2. Хвърля се монета. Каква е вероятността да се падне герб?

   • 1
   • 1/4
   • 1/2
   • 0

   Отговор: 1/2

   Изходите са 2 (герб и лице), а благоприятният е 1.

3. От буквите на думата КЛАС се избира случайно една. Каква е вероятността тя да е С?

   • 1/4
   • 1/3
   • 1/2
   • 1/5

   Отговор: 1/4

   Буквите са 4, а С е една от тях: P = 1/4.

4. В торба има 4 червени, 6 сини и 10 зелени топчета. Каква е вероятността случайно изтеглено топче да е синьо?

   • 3/10
   • 3/5
   • 1/5
   • 1/2

   Отговор: 3/10

   P = 6/20 = 3/10.

5. В клас има 12 момчета и 18 момичета. Каква е вероятността случайно избран ученик да е момче?

   • 2/5
   • 2/3
   • 3/5
   • 1/12

   Отговор: 2/5

   Учениците са 30, момчетата са 12: 12/30 = 2/5.

6. Избира се случайно число от 1 до 20. Каква е вероятността то да се дели на 4?

   • 1/5
   • 1/4
   • 1/10
   • 1/2

   Отговор: 1/4

   Кратните на 4 са 4, 8, 12, 16, 20, т.е. 5 от 20: P = 1/4.

7. Избира се случайно число от 1 до 30. Каква е вероятността то да е просто?

   • 3/10
   • 1/3
   • 11/30
   • 2/5

   Отговор: 1/3

   Простите числа до 30 са 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и 29, т.е. 10. P = 10/30 = 1/3.

8. Хвърлят се два зара. Каква е вероятността сборът от точките да е 10?

   • 1/12
   • 1/6
   • 1/18
   • 1/9

   Отговор: 1/12

   Благоприятни са (4; 6), (5; 5) и (6; 4): 3/36 = 1/12.

9. Хвърлят се две монети. Каква е вероятността да се паднат различни страни?

   • 1/4
   • 3/4
   • 1/2
   • 1/3

   Отговор: 1/2

   Изходите са ГГ, ГЛ, ЛГ, ЛЛ, а благоприятни са ГЛ и ЛГ: P = 2/4 = 1/2.

10. Хвърлят се два зара. Каква е вероятността двете числа да са равни?

    • 1/36
    • 1/12
    • 1/6
    • 1/3

    Отговор: 1/6

    Благоприятни са 6 от 36 изхода: P = 6/36 = 1/6.

11. От числата 1, 2, ..., 50 случайно се избира едно. Каква е вероятността то да е точен квадрат?

    • 1/10
    • 3/25
    • 7/50
    • 4/25

    Отговор: 7/50

    Точните квадрати са 1, 4, 9, 16, 25, 36 и 49, т.е. 7 от 50.

12. Числата 1, 2 и 3 се подреждат случайно в редица. Каква е вероятността да са подредени във възходящ ред?

    • 1/9
    • 1/3
    • 1/2
    • 1/6

    Отговор: 1/6

    Подредбите са 6, а възходящата е само 123: P = 1/6.

13. Избира се случайно двуцифрено число. Каква е вероятността сборът от цифрите му да е 5?

    • 1/15
    • 1/9
    • 5/99
    • 1/18

    Отговор: 1/18

    Числата са 14, 23, 32, 41 и 50: 5 от 90. P = 5/90 = 1/18.

14. Хвърлят се два зара. Каква е вероятността разликата между по-голямото и по-малкото число да е 2?

    • 1/6
    • 2/9
    • 1/9
    • 5/18

    Отговор: 2/9

    Благоприятни са (1; 3), (2; 4), (3; 5), (4; 6) и обратните им, т.е. 8 от 36: 8/36 = 2/9.

15. Хвърлят се два зара. Каква е вероятността сборът от точките да е просто число?

    • 5/12
    • 7/18
    • 1/3
    • 1/2

    Отговор: 5/12

    Сборовете 2, 3, 5, 7, 11 се получават съответно по 1, 2, 4, 6, 2 начина, общо 15 от 36: P = 15/36 = 5/12.

Противоположни събития

1. Вероятността утре да вали е 0,3. Каква е вероятността утре да не вали?

   • 0,7
   • 0,3
   • 1,3
   • 0,5

   Отговор: 0,7

   P(Ā) = 1 − P(A) = 1 − 0,3 = 0,7.

2. P(A) = 0,85. Каква е вероятността на противоположното на A събитие?

   • 0,85
   • 1,85
   • 0,5
   • 0,15

   Отговор: 0,15

   Сборът на вероятностите на събитие и на противоположното му е 1: 1 − 0,85 = 0,15.

3. На колко е равен сборът от вероятностите на едно събитие и на противоположното му събитие?

   • 0
   • 1
   • 1/2
   • 2

   Отговор: 1

   P(A) + P(Ā) = 1, защото точно едно от двете събития настъпва.

4. A и B са несъвместими събития, P(A) = 0,2 и P(B) = 0,45. Намерете P(A ∪ B).

   • 0,09
   • 0,65
   • 0,25
   • 0,55

   Отговор: 0,65

   За несъвместими събития P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0,65.

5. Хвърля се зар. Кое е противоположното събитие на „пада се число, по-голямо от 2“?

   • пада се 3
   • пада се 1 или 2
   • пада се число, по-малко от 2
   • пада се 6

   Отговор: пада се 1 или 2

   Всички изходи, които не са по-големи от 2, са 1 и 2.

6. Хвърля се зар. Каква е вероятността да не се падне 6?

   • 1/6
   • 1/2
   • 5/6
   • 1

   Отговор: 5/6

   P = 1 − 1/6 = 5/6.

7. Хвърлят се три монети. Каква е вероятността да се падне поне едно лице?

   • 1/8
   • 3/8
   • 7/8
   • 1/2

   Отговор: 7/8

   Противоположното събитие е „три герба“ с вероятност 1/8. P = 1 − 1/8 = 7/8.

8. Хвърлят се два зара. Каква е вероятността да не се падне нито една шестица?

   • 5/6
   • 11/36
   • 1/36
   • 25/36

   Отговор: 25/36

   И на двата зара трябва да се падне число от 1 до 5: 5 · 5 = 25 изхода от 36.

9. Избира се случайно двуцифрено число. Каква е вероятността цифрите му да са различни?

   • 8/9
   • 1/10
   • 4/5
   • 9/10

   Отговор: 9/10

   Двуцифрените числа са 90, с равни цифри са 9 (11, 22, ..., 99): P = 1 − 9/90 = 9/10.

10. Хвърлят се два зара. Каква е вероятността сборът от точките да е по-малък от 11?

    • 1/12
    • 5/6
    • 7/12
    • 11/12

    Отговор: 11/12

    Противоположното събитие е „сбор 11 или 12“: (5; 6), (6; 5), (6; 6), т.е. 3 от 36. P = 1 − 3/36 = 11/12.

11. От числата 1, 2, ..., 100 случайно се избира едно. Каква е вероятността то да не се дели нито на 2, нито на 5?

    • 2/5
    • 3/10
    • 3/5
    • 1/2

    Отговор: 2/5

    На 2 или на 5 се делят 50 + 20 − 10 = 60 числа. Противоположното събитие има вероятност 1 − 60/100 = 2/5.

12. Хвърлят се три зара. Каква е вероятността поне на единия да се падне 6?

    • 91/216
    • 1/2
    • 1/216
    • 125/216

    Отговор: 91/216

    Противоположното събитие „нито една шестица“ има вероятност (5/6)³ = 125/216, затова P = 1 − 125/216 = 91/216.

13. В кутия има 5 бели и 3 черни топки. Изтеглят се едновременно 2 топки. Каква е вероятността поне едната да е бяла?

    • 25/28
    • 3/28
    • 5/8
    • 15/28

    Отговор: 25/28

    Двойките топки са 8 · 7 : 2 = 28, а двойките черни са 3. P = 1 − 3/28 = 25/28.

14. Вероятността на събитието A е 3 пъти по-голяма от вероятността на противоположното му събитие. Намерете P(A).

    • 1/3
    • 2/3
    • 3/4
    • 1/4

    Отговор: 3/4

    Ако P(A) = p, то p = 3(1 − p), откъдето p = 3/4.

15. От 3 момчета и 3 момичета случайно се избират двама. Каква е вероятността поне единият да е момче?

    • 1/2
    • 4/5
    • 3/5
    • 1/5

    Отговор: 4/5

    Двойките са 15, двойките от две момичета са 3: P = 1 − 3/15 = 4/5.

Съвместими събития

1. P(A) = 0,6, P(B) = 0,5 и P(A ∩ B) = 0,3. Намерете P(A ∪ B).

   • 1,1
   • 0,8
   • 0,2
   • 0,5

   Отговор: 0,8

   P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0,6 + 0,5 − 0,3 = 0,8.

2. Кои две събития при хвърляне на един зар са несъвместими?

   • „пада се четно“ и „пада се 6“
   • „пада се над 3“ и „пада се 5“
   • „пада се 1“ и „пада се 6“
   • „пада се нечетно“ и „пада се 3“

   Отговор: „пада се 1“ и „пада се 6“

   Събитията са несъвместими, ако не могат да настъпят едновременно; 1 и 6 не се падат заедно на един зар.

3. Хвърля се зар. A е „пада се четно число“, B е „пада се число, по-голямо от 3“. Съвместими ли са A и B?

   • не, никога
   • само при 5
   • да, например при 4
   • само при 1

   Отговор: да, например при 4

   При 4 (и при 6) настъпват и двете събития, затова те са съвместими.

4. P(A) = 0,7 и P(A ∩ B) = 0,2. Каква е вероятността да настъпи A, но да не настъпи B?

   • 0,9
   • 0,14
   • 0,5
   • 0,35

   Отговор: 0,5

   P(A \ B) = P(A) − P(A ∩ B) = 0,7 − 0,2 = 0,5.

5. Избира се число от 1 до 10. A е събитието „числото е четно“, B е „числото е по-голямо от 6“. Намерете P(A ∩ B).

   • 1/5
   • 1/2
   • 2/5
   • 7/10

   Отговор: 1/5

   Четните числа, по-големи от 6, са 8 и 10: 2/10 = 1/5.

6. A и B са несъвместими събития, P(A) = 0,4 и P(B) = 0,3. Колко е P(A ∩ B)?

   • 0,12
   • 0,7
   • 0,1
   • 0

   Отговор: 0

   Несъвместимите събития не могат да настъпят едновременно, затова P(A ∩ B) = 0.

7. Избира се число от 1 до 20. A е събитието „числото е четно“, B е „числото се дели на 5“. Намерете P(A ∪ B).

   • 7/10
   • 1/2
   • 1/10
   • 3/5

   Отговор: 3/5

   Четните са 10, кратните на 5 са 4, общите (10 и 20) са 2. P = (10 + 4 − 2)/20 = 3/5.

8. P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 и P(A ∩ B) = 0,1. Каква е вероятността да настъпи точно едно от двете събития?

   • 0,8
   • 0,9
   • 0,6
   • 0,7

   Отговор: 0,7

   P(A ∪ B) = 0,5 + 0,4 − 0,1 = 0,8. От него изваждаме случая, когато настъпват и двете: 0,8 − 0,1 = 0,7.

9. Хвърлят се два зара. Каква е вероятността и на двата да се падне четно число?

   • 1/4
   • 1/2
   • 1/3
   • 1/6

   Отговор: 1/4

   Благоприятните изходи са 3 · 3 = 9 от 36: P = 9/36 = 1/4.

10. Хвърлят се два зара. Каква е вероятността поне на единия зар да се падне 6?

    • 11/36
    • 1/3
    • 1/36
    • 25/36

    Отговор: 11/36

    Без нито една шестица има 5 · 5 = 25 изхода. P = 1 − 25/36 = 11/36.

11. От тесте с 52 карти (13 от всяка от 4-те бои, 4 аса) се изтегля една карта. Каква е вероятността тя да е купа или асо?

    • 17/52
    • 4/13
    • 1/4
    • 5/13

    Отговор: 4/13

    Купите са 13, асата са 4, а асо купа се брои два пъти: 13 + 4 − 1 = 16, 16/52 = 4/13.

12. От тесте с 52 карти (26 черни, 4 дами) се изтегля една карта. Каква е вероятността тя да е дама или черна карта?

    • 15/26
    • 7/13
    • 8/13
    • 1/2

    Отговор: 7/13

    Черните дами са 2, затова благоприятните карти са 26 + 4 − 2 = 28: P = 28/52 = 7/13.

13. P(A ∪ B) = 0,9, P(A) = 0,6 и P(B) = 0,5. Намерете P(A ∩ B).

    • 0,3
    • 0,2
    • 0,4
    • 0,1

    Отговор: 0,2

    P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B) = 1,1 − 0,9 = 0,2.

14. Избира се число от 1 до 30. Каква е вероятността то да се дели на 2, на 3 или на 5?

    • 2/3
    • 4/5
    • 7/10
    • 11/15

    Отговор: 11/15

    15 + 10 + 6 − 5 − 3 − 2 + 1 = 22 числа, а 22/30 = 11/15.

15. P(A) = 0,5 и P(B) = 0,6. Колко е най-малката възможна стойност на P(A ∩ B)?

    • 0
    • 0,3
    • 0,1
    • 0,5

    Отговор: 0,1

    P(A ∩ B) = 0,5 + 0,6 − P(A ∪ B) ≥ 1,1 − 1 = 0,1.

Финален въпрос