Код от учителяЗапочни безплатноЗапочни
Започни безплатно
Класове
Начален етап
Прогимназиален етап
Гимназиален етап
ИгриЗаниманияЗа родителиЦениУченик? Влез с код от учителя
Още
НВО и матуриСтатииВидеоЗа училища
Математика · 10 клас · По тема

Преговор: уравнения, системи, прогресии и тригонометрия

51 въпроса с отговори, 10 ключови понятия и 6 задачи за мислене. Вътре: Ирационални уравнения, Системи уравнения, Прогресии, Тригонометрия, Решаване на триъгълник.

Играй с класаТабло на проектора · 20-35 мин · безплатно
На телефонитеДруга игра (21)Работен лист за печат
  1. ПредметМатематикасмени
    МатематикаБългарски езикЛитератураАнглийскиИсторияГеографияБиологияХимияФизикаИТФилософия
  2. Клас10 классмени
    123456789101112
  3. ТемаПреговор: уравнения, системи, прогресии и тригонометриясмени
  4. Играизберете

Изберете игра според часа

Всички игри са с въпросите от тази тема. Времето е приблизително.

Добави в любими

На проектора с целия клас

Играта е на големия екран, класът играе на отбори или заедно.

Още 17 игри

У дома

Детето играе само или с родител, на телефон, таблет или компютър.

Още 8 игри

Табло и Вярно или невярно са безплатни. Всички игри и „На живо“: 30 дни безплатно за учители. Цени

Без интернет в класната стая?Без профил можете да свалите безплатните игри (Табло и Вярно или невярно). С профил се свалят всички игри по темата.
Всички 21 игри с картинки, по вид

Отборни битки

Класът е разделен на отбори, които се състезават за точки.
Табло5 теми по 5 въпроса, от 100 до 500 точки. Отборите избират поле, едно поле крие двойна стойност.БезплатноОтборен тест А/Б/В/ГВъпрос с четири отговора и таймер. Всеки отбор вдига карта с буква.15-25 минНадбягванеВсеки отбор има писта. Верният отговор движи колата напред, трудният въпрос дава турбо.10-20 минТеглене на въжеДва отбора един срещу друг. Всеки верен отговор дърпа въжето към твоя отбор.5-10 минМорски шахХ срещу О на поле 3 на 3. За да заемеш квадрат, трябва да отговориш на въпроса в него.10-15 минБомбаБомбата с неизвестен фитил минава от отбор на отбор при верен отговор. Не я задържай!5-10 минКолелотоЗавъртете колелото: то избира темата и наградата. Понякога носи бонус, понякога взима хода.15-25 минРазвален телефонПървият от реда вижда въпроса за миг и го шепне нататък. Ще стигне ли цял до последния?10-15 минЧетири в редицаВерен отговор пуска диск в колона по избор. Кой пръв ще нареди четири в редица?10-20 мин

Целият клас

Всички играят заедно или един по един пред класа.
Ескейп стаяПет заключени врати и часовник. Всяка решена врата дава цифра от кода за изход.20-30 минМилионер15 въпроса с нарастваща трудност, три жокера и сигурни суми.15-20 минГорещ столЕдин ученик, 60 секунди и колкото може повече верни отговори. Класът следи класацията.5-10 минБингоРазпечатайте картите. Учителят чете въпросите, учениците зачеркват отговорите.15-20 минВярно или невярноБързи твърдения. Класът гласува с палец нагоре или надолу.Безплатно

Думи и понятия

Ключовите понятия от темата: познай, свържи, запомни.
КръстословицаКръстословица от 10 ключови понятия. Решавате на екрана или я разпечатвате.15-20 минБесеницаПознайте понятието буква по буква, преди да свършат опитите.5-10 минТайният обектТри подсказки от трудна към лесна. Колкото по-рано познаеш, толкова повече точки.5-10 минМемориОбърнати карти с въпроси и отговори. Намерете двойките и запомнете къде са.10-15 минСвържи двойкитеШест въпроса и шест отговора, разбъркани. Отборите ги свързват на ред.10-15 мин

Мислене

Подреждане и откриване на грешки: разбиране, не наизуст.
ПодредиРазбъркани стъпки, събития или стойности. Класът ги подрежда в правилния ред.10-15 минНамери грешкатаРешение или бележки с един грешен ред. Кой ще го открие пръв?5-10 мин

Уроци в темата

Кратко обяснение, най-важното за запомняне и въпроси за всеки урок от учебната програма.

Урок 1 · 10 въпросаРационални и ирационални уравненияУрок 2 · 10 въпросаСистеми уравненияУрок 3 · 10 въпросаПрогресииУрок 4 · 10 въпросаТригонометрични функцииУрок 5 · 10 въпросаРешаване на триъгълник

Въпроси и отговори: Преговор: уравнения, системи, прогресии и тригонометрия

Всички въпроси от темата по математика за 10 клас. Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението. Удобно за преговор преди контролно и за подготовка у дома.

Ирационални уравнения

  1. Решете уравнението √(x + 5) = 3.
    • x = 4
    • x = −2
    • x = 9
    • x = 14

    Отговор: x = 4

    x + 5 = 9, x = 4. Проверка: √9 = 3.

  2. Кое число е корен на уравнението √x = 5?
    • √5
    • 25
    • 10
    • 5

    Отговор: 25

    x = 52 = 25.

  3. Решете уравнението (x2 − 9)/(x − 3) = 0.
    • x = 3
    • x = −3
    • няма решение
    • x = ±3

    Отговор: x = −3

    Числителят е 0 при x = ±3, но при x = 3 знаменателят е 0, затова остава x = −3.

  4. За кои x е определена лявата страна на уравнението √(6 − x) = x?
    • x > 0
    • x ≤ 6
    • за всяко x
    • x ≥ 6

    Отговор: x ≤ 6

    Подкоренната величина трябва да е неотрицателна: 6 − x ≥ 0.

  5. Решете уравнението √(2x + 7) = x + 2.
    • x = 1 и x = −3
    • x = 1
    • няма решение
    • x = −3

    Отговор: x = 1

    x2 + 2x − 3 = 0, x = 1 или x = −3; при x = −3 дясната страна е −1 < 0.

  6. Решете уравнението 2/(x − 1) = 3/(x + 1).
    • x = 5
    • x = 1/5
    • x = −5
    • x = 1

    Отговор: x = 5

    2(x + 1) = 3(x − 1), 2x + 2 = 3x − 3, x = 5.

  7. Решете уравнението 1/(x − 2) + 1/(x + 2) = 4/(x2 − 4).
    • x = 0
    • x = 2
    • x = −2
    • няма решение

    Отговор: няма решение

    След умножение по x2 − 4 се получава 2x = 4, x = 2, но при x = 2 знаменателят е 0.

  8. Решете уравнението √(x2 + 9) = x + 1.
    • няма решение
    • x = −4
    • x = 4
    • x = 5

    Отговор: x = 4

    x2 + 9 = x2 + 2x + 1, 2x = 8, x = 4. Проверка: √25 = 5.

  9. Решете уравнението √(x + 5) + √(x − 3) = 4.
    • x = 4
    • x = 4 и x = 12
    • x = 11
    • x = 3

    Отговор: x = 4

    √(x + 5) = 4 − √(x − 3), след повдигане на квадрат √(x − 3) = 1, x = 4. Проверка: 3 + 1 = 4.

  10. Решете уравнението x − 3√x − 4 = 0.
    • x = 16
    • x = 4
    • x = 16 и x = 1
    • x = 4 и x = −1

    Отговор: x = 16

    При t = √x ≥ 0: t2 − 3t − 4 = 0, t = 4 или t = −1 (отхвърля се). x = 16.

Системи уравнения

  1. Решете системата 3x + y = 11 и x − y = 1.
    • x = 2, y = 5
    • x = 3, y = 2
    • x = 1, y = 8
    • x = 4, y = −1

    Отговор: x = 3, y = 2

    Събираме уравненията: 4x = 12, x = 3, y = 2.

  2. Коя наредена двойка е решение на системата y = 2x и x + y = 9?
    • (6; 3)
    • (2; 4)
    • (4; 5)
    • (3; 6)

    Отговор: (3; 6)

    x + 2x = 9, x = 3, y = 6.

  3. Колко решения има системата x + y = 3 и 2x + 2y = 6?
    • безброй много
    • две
    • едно
    • нито едно

    Отговор: безброй много

    Второто уравнение е първото, умножено по 2, правите съвпадат.

  4. Колко решения има системата x + y = 1 и x + y = 3?
    • едно
    • безброй много
    • две
    • нито едно

    Отговор: нито едно

    Сборът x + y не може да е едновременно 1 и 3: правите са успоредни.

  5. Решете системата x − y = 3 и xy = 10.
    • (5; 2) и (−2; −5)
    • (5; 2)
    • (2; 5) и (−5; −2)
    • (10; 1) и (−1; −10)

    Отговор: (5; 2) и (−2; −5)

    x = y + 3, y2 + 3y − 10 = 0, y = 2 или y = −5.

  6. Периметърът на правоъгълник е 34 cm, а лицето му е 60 cm2. Колко са страните му?
    • 4 cm и 15 cm
    • 3 cm и 20 cm
    • 6 cm и 10 cm
    • 5 cm и 12 cm

    Отговор: 5 cm и 12 cm

    x + y = 17 и xy = 60, корените на t2 − 17t + 60 = 0 са 5 и 12.

  7. Решете системата x2 + y2 = 25 и x − y = 1.
    • (5; 0) и (0; −5)
    • (4; 3)
    • (4; 3) и (−3; −4)
    • (3; 4) и (−4; −3)

    Отговор: (4; 3) и (−3; −4)

    y = x − 1, 2x2 − 2x − 24 = 0, x2 − x − 12 = 0, x = 4 или x = −3.

  8. Решете системата x + y = 5 и x2 − y2 = 15.
    • x = 4, y = 1
    • x = 5, y = 0
    • x = 1, y = 4
    • x = 3, y = 2

    Отговор: x = 4, y = 1

    (x − y)(x + y) = 15, x − y = 3, а с x + y = 5: x = 4, y = 1.

  9. Сборът на две числа е 11, а сборът от квадратите им е 61. Кои са числата?
    • 4 и 7
    • 3 и 8
    • 5 и 6
    • 2 и 9

    Отговор: 5 и 6

    xy = (112 − 61) : 2 = 30, числата са корените на t2 − 11t + 30 = 0: 5 и 6.

  10. Колко решения има системата x2 + y2 = 10 и xy = 3?
    • 4
    • 2
    • 1
    • 0

    Отговор: 4

    (x + y)2 = 16 и (x − y)2 = 4, решенията са (3; 1), (1; 3), (−3; −1) и (−1; −3).

Прогресии

  1. Аритметична прогресия има a1 = 3 и d = 4. Колко е a5?
    • 15
    • 20
    • 19
    • 23

    Отговор: 19

    a5 = 3 + 4 · 4 = 19.

  2. Коя редица е геометрична прогресия?
    • 2, 3, 5, 8
    • 3, 6, 12, 24
    • 3, 6, 9, 12
    • 1, 4, 9, 16

    Отговор: 3, 6, 12, 24

    Всеки член е 2 пъти по-голям от предходния: q = 2.

  3. Геометрична прогресия има b1 = 5 и q = 2. Колко е b5?
    • 160
    • 80
    • 40
    • 50

    Отговор: 80

    b5 = 5 · 24 = 80.

  4. Колко е разликата на аритметичната прогресия 17, 13, 9, …?
    • 4
    • −3
    • −4
    • 13/17

    Отговор: −4

    d = 13 − 17 = −4.

  5. Колко е сборът на първите 20 члена на аритметичната прогресия 1, 3, 5, …?
    • 200
    • 420
    • 400
    • 380

    Отговор: 400

    a20 = 39, S20 = (1 + 39) · 20 : 2 = 400.

  6. Сборът на първите n члена на геометрична прогресия с b1 = 1 и q = 2 е 63. Колко е n?
    • 7
    • 32
    • 6
    • 5

    Отговор: 6

    Sn = 2n − 1 = 63, 2n = 64, n = 6.

  7. В аритметична прогресия a3 = 7 и a7 = 19. Колко е a10?
    • 25
    • 31
    • 30
    • 28

    Отговор: 28

    4d = 12, d = 3, a1 = 1, a10 = 1 + 27 = 28.

  8. В геометрична прогресия b2 = 6 и b5 = 48. Колко е частното q?
    • 42
    • 8
    • 2
    • 3

    Отговор: 2

    b5 : b2 = q3 = 8, q = 2.

  9. Числата x − 1, x + 1 и 2x + 2 са (в този ред) последователни членове на геометрична прогресия. Колко е x?
    • x = 1
    • x = 3
    • x = −1 и x = 3
    • x = −1

    Отговор: x = 3

    (x + 1)2 = 2(x − 1)(x + 1). При x = −1 членовете са −2, 0, 0, а в геометричната прогресия няма нули, затова x = 3 (числата 2, 4, 8).

  10. Три числа образуват аритметична прогресия, сборът им е 15, а произведението им е 80. Кое е най-голямото от тях?
    • 7
    • 5
    • 8
    • 10

    Отговор: 8

    Средното е 5, (5 − d) · 5 · (5 + d) = 80, 25 − d2 = 16, d = ±3: числата са 2, 5, 8.

Тригонометрия

  1. Колко е sin 30°?
    • √3/2
    • 1/2
    • 1
    • √2/2

    Отговор: 1/2

    sin 30° = 1/2 (катетът срещу ъгъл 30° е половината от хипотенузата).

  2. Колко е tg 45°?
    • √3
    • √3/3
    • 1
    • 0

    Отговор: 1

    sin 45° = cos 45°, затова tg 45° = 1.

  3. Колко е cos 135°?
    • −√2/2
    • −1/2
    • √2/2
    • −√3/2

    Отговор: −√2/2

    cos 135° = −cos 45° = −√2/2.

  4. Колко е tg 120°?
    • √3
    • −1/2
    • −√3/3
    • −√3

    Отговор: −√3

    tg 120° = sin 120° : cos 120° = (√3/2) : (−1/2) = −√3.

  5. За остър ъгъл α е дадено sin α = 3/5. Колко е cos α?
    • −4/5
    • 2/5
    • 3/4
    • 4/5

    Отговор: 4/5

    cos α = √(1 − 9/25) = 4/5 (положителен при остър ъгъл).

  6. Колко е cos 60° + sin 60° · tg 30°?
    • 1
    • 3/2
    • √3
    • 1/2

    Отговор: 1

    1/2 + (√3/2) · (√3/3) = 1/2 + 1/2 = 1.

  7. Колко е стойността на израза sin2 35° + cos2 35° + tg 45°?
    • 2
    • 0
    • 1
    • 3

    Отговор: 2

    sin2 35° + cos2 35° = 1, tg 45° = 1.

  8. α е остър ъгъл и tg α = 2. Колко е (sin α + cos α)/(sin α − cos α)?
    • 1/3
    • 3
    • −3
    • 2

    Отговор: 3

    Делим числителя и знаменателя на cos α: (2 + 1)/(2 − 1) = 3.

  9. За ъгъл α между 90° и 180° е дадено cos α = −5/13. Колко е tg α?
    • 12/5
    • −12/13
    • −12/5
    • −5/12

    Отговор: −12/5

    sin α = 12/13 (положителен), tg α = (12/13) : (−5/13) = −12/5.

  10. Колко е sin 120° · cos 150°?
    • −1/4
    • 3/4
    • −√3/4
    • −3/4

    Отговор: −3/4

    sin 120° = √3/2, cos 150° = −√3/2, произведението е −3/4.

Решаване на триъгълник

  1. Кое равенство е синусовата теорема?
    • a2 = b2 + c2 − 2bc cos α
    • sin2 α + cos2 α = 1
    • S = 1/2 · ab sin γ
    • a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R

    Отговор: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R

    Синусовата теорема свързва страните, срещулежащите ъгли и радиуса R на описаната окръжност.

  2. В ΔABC a2 + b2 = c2. Какъв е триъгълникът?
    • остроъгълен
    • равностранен
    • правоъгълен с γ = 90°
    • тъпоъгълен

    Отговор: правоъгълен с γ = 90°

    Тогава cos γ = 0 и γ = 90° (обратната Питагорова теорема).

  3. В ΔABC a = 5 cm, b = 8 cm и γ = 60°. Колко е c?
    • √129 cm
    • √89 cm
    • 7 cm
    • 6 cm

    Отговор: 7 cm

    c2 = 25 + 64 − 2 · 5 · 8 · 1/2 = 49, c = 7 cm.

  4. В ΔABC α = 45°, β = 60° и a = 4√2 cm. Колко е b?
    • 2√6 cm
    • 4√3 cm
    • 4 cm
    • 8 cm

    Отговор: 4√3 cm

    b = a sin β : sin α = 4√2 · (√3/2) : (√2/2) = 4√3 cm.

  5. В ΔABC a = 6 cm и α = 30°. Колко е радиусът на описаната окръжност?
    • 6√3 cm
    • 12 cm
    • 3 cm
    • 6 cm

    Отговор: 6 cm

    a = 2R sin α, 6 = 2R · 1/2, R = 6 cm.

  6. Страните на триъгълник са 4 cm, 5 cm и 7 cm. Какъв е той според ъглите си?
    • тъпоъгълен
    • равнобедрен
    • остроъгълен
    • правоъгълен

    Отговор: тъпоъгълен

    72 = 49 > 42 + 52 = 41, затова ъгълът срещу 7 cm е тъп.

  7. Две страни на триъгълник са 8 cm и 5 cm, а ъгълът между тях е 30°. Колко е лицето му?
    • 20 cm2
    • 40 cm2
    • 10√3 cm2
    • 10 cm2

    Отговор: 10 cm2

    S = 1/2 · 8 · 5 · sin 30° = 20 · 1/2 = 10 cm2.

  8. Колко е лицето на триъгълник със страни 5 cm, 5 cm и 6 cm?
    • 16 cm2
    • 15 cm2
    • 24 cm2
    • 12 cm2

    Отговор: 12 cm2

    p = 8, S = √(8 · 3 · 3 · 2) = √144 = 12 cm2.

  9. Страните на триъгълник са 7 cm, 8 cm и 13 cm. Колко е най-големият му ъгъл?
    • 150°
    • 90°
    • 135°
    • 120°

    Отговор: 120°

    cos γ = (49 + 64 − 169)/(2 · 7 · 8) = −56/112 = −1/2, γ = 120°.

  10. Страните на успоредник са 4 cm и 6 cm, а ъгълът между тях е 60°. Колко е по-дългият му диагонал?
    • 2√7 cm
    • 2√19 cm
    • 10 cm
    • √52 cm

    Отговор: 2√19 cm

    По-дългият диагонал е срещу тъпия ъгъл 120°: d2 = 16 + 36 + 24 = 76, d = 2√19 cm.

Финален въпрос

В ΔABC b = 8 cm, c = 5 cm и α = 60°. Колко са страната a и лицето на триъгълника?

Отговор: a = 7 cm, S = 10√3 cm2

a2 = 64 + 25 − 2 · 8 · 5 · 1/2 = 49, a = 7 cm. S = 1/2 · 8 · 5 · sin 60° = 20 · √3/2 = 10√3 cm2.

Ключови понятия по темата

Прогресия
Редица, в която всеки член се получава от предходния по едно и също правило
Частно
Числото q, по което се умножава всеки член на геометрична редица
Синус
Отношение на срещулежащия катет към хипотенузата
Косинус
Отношение на прилежащия катет към хипотенузата
Тангенс
Отношение на sin към cos на ъгъл
Херон
Древногръцки учен с формула за лице по три страни
Система
Няколко уравнения, които трябва да са изпълнени едновременно
Корен
Число, което превръща уравнението във вярно равенство
Член
Всяко от числата в една редица
Радиус
В синусовата теорема 2R е два пъти тази величина

Често задавани въпроси

Как да проведа час по темата „Преговор: уравнения, системи, прогресии и тригонометрия“ с игра?

Натиснете „Играй с класа“ и Табло се пуска на проектора или интерактивната дъска. Другите игри са подредени по ситуация: на проектора с целия клас, на телефоните, у дома и бързо за 5 минути. Ескейп стая е подходяща преди контролно, а Вярно или невярно е бърза загрявка в началото на часа. Не е нужно нищо за инсталиране.

По учебната програма ли са въпросите за 10 клас?

Да. Въпросите следват учебната програма на МОН по математика за 10 клас (първи гимназиален етап) и покриват: Ирационални уравнения, Системи уравнения, Прогресии, Тригонометрия, Решаване на триъгълник.

Могат ли учениците да отговарят от телефоните си?

Да. С режим „На живо“ всеки ученик влиза с код от телефона си, отговаря на въпросите и вижда класацията в реално време.

Може ли детето да упражнява темата у дома?

Да. В раздел „У дома“ детето играе със същите въпроси, събира звезди и повтаря грешките си, а родителят вижда напредъка.

Още теми по математика

10 клас · I срокМатематика 10 клас: преговор първи срок10 клас · II срокМатематика 10 клас: преговор втори срок10 клас · По темаИрационални изрази и уравнения10 клас · По темаПрогресии10 клас · По темаСтатистика и обработка на данни10 клас · По темаРешаване на триъгълник10 клас · По темаЕлементи от стереометрията10 клас · По темаПреговор по възлови теми9 клас · I срокМатематика 9 клас: преговор първи срок9 клас · II срокМатематика 9 клас: преговор втори срок11 клас · I срокМатематика 11 клас: преговор първи срок11 клас · II срокМатематика 11 клас: преговор втори срок

Всички теми по математика за 10 клас · Теми по математика за 11 клас · Всички игри

Идеи за часа

СтатияКак да направим преговора интересен: 7 игри за часСтатияЕскейп стая в класната стая: стъпка по стъпкаСтатияФормиращо оценяване с игри: как да видите кой какво не знае