Уравнения: задачи за упражнение

Еквивалентни уравн.

1. Кое число е корен на уравнението 3x − 2 = 10?

   • 4
   • 3
   • −4
   • 8/3

   Отговор: 4

   3 · 4 − 2 = 10.

2. Корен ли е −2 на уравнението x + 5 = 3?

   • Не
   • Само при x > 0
   • Да
   • Не може да се провери

   Отговор: Да

   −2 + 5 = 3, равенството е вярно.

3. Кое уравнение е еквивалентно на 2x = 6?

   • x − 3 = 3
   • 2x + 1 = 6
   • x + 1 = 4
   • x = 6

   Отговор: x + 1 = 4

   И двете имат единствен корен 3.

4. Кое действие НЕ води винаги до еквивалентно уравнение?

   • Умножаване на двете страни с 0
   • Прибавяне на 5 към двете страни
   • Деление на двете страни с 2
   • Пренасяне на член с противоположен знак

   Отговор: Умножаване на двете страни с 0

   Умножаване с 0 превръща всяко уравнение в 0 = 0 и така може да се появят нови корени.

5. Колко корена има уравнението 4x − (x + 5) = 3x − 5?

   • Безбройно много
   • Нито един
   • Един
   • Два

   Отговор: Безбройно много

   Лявата страна е 4x − x − 5 = 3x − 5, т.е. равенството е вярно за всяко x.

6. Кое уравнение няма корени?

   • x + 2 = x − 2
   • 2x = 0
   • x − 2 = 2 − x
   • 5x = 5

   Отговор: x + 2 = x − 2

   x + 2 = x − 2 води до 2 = −2, невярно.

7. Колко корена има уравнението 3x − 1 = 3(x + 2)?

   • Един
   • Нито един
   • Безбройно много
   • Два

   Отговор: Нито един

   3x − 1 = 3x + 6 води до −1 = 6, което е невярно.

8. Кое от числата е корен на (x − 1)(x + 5) = 0?

   • −5
   • 5
   • −1
   • 0

   Отговор: −5

   (−5 − 1)(−5 + 5) = −6 · 0 = 0.

9. За коя стойност на a уравненията 2x − 5 = 3 и ax + 2 = 14 са еквивалентни?

   • 4
   • 2
   • 3
   • 12

   Отговор: 3

   Коренът на първото е x = 4. Заместваме във второто: 4a + 2 = 14, a = 3.

10. За коя стойност на m числото 2 е корен на уравнението mx − 3 = x + m?

    • 1
    • −5
    • 5
    • 3

    Отговор: 5

    Заместваме x = 2: 2m − 3 = 2 + m, затова m = 5.

Свеждащи се до лин.

1. Решете (x + 2)² − x² = 12.

   • 2
   • 3
   • −2
   • 4

   Отговор: 2

   x² + 4x + 4 − x² = 12, 4x = 8, x = 2.

2. Решете x(x + 4) = x² + 8.

   • 4
   • 2
   • −2
   • 8

   Отговор: 2

   x² + 4x = x² + 8, 4x = 8, x = 2.

3. Решете (x − 3)(x + 3) = x² − 3x.

   • −3
   • 0
   • 3
   • 9

   Отговор: 3

   x² − 9 = x² − 3x, затова 3x = 9, x = 3.

4. Решете x/3 + x/4 = 7.

   • 7
   • 84
   • 3
   • 12

   Отговор: 12

   Умножаваме по 12: 4x + 3x = 84, x = 12.

5. Решете (x + 1)/2 − (x − 2)/3 = 2.

   • 5
   • 7
   • 1
   • −5

   Отговор: 5

   Умножаваме по 6: 3(x + 1) − 2(x − 2) = 12, x + 7 = 12, x = 5.

6. Решете (x − 4)² = (x + 2)².

   • −1
   • 2
   • 1
   • 0

   Отговор: 1

   x² − 8x + 16 = x² + 4x + 4, −12x = −12, x = 1.

7. Решете (2x − 1)² = 4x(x + 2) − 7.

   • 2/3
   • −2/3
   • 1/2
   • 2

   Отговор: 2/3

   4x² − 4x + 1 = 4x² + 8x − 7, затова −12x = −8, x = 2/3.

8. Решете (3x − 1)/5 = (x + 3)/2.

   • −17
   • 1
   • 13
   • 17

   Отговор: 17

   2(3x − 1) = 5(x + 3), 6x − 2 = 5x + 15, x = 17.

9. Решете (x + 1)³ − x(x² + 3x) = 10.

   • 3
   • 1
   • 9
   • −3

   Отговор: 3

   x³ + 3x² + 3x + 1 − x³ − 3x² = 10, 3x + 1 = 10, x = 3.

10. Решете (x − 1)(x² + x + 1) − x³ = 2x + 5.

    • 3
    • −3
    • −2
    • 2

    Отговор: −3

    Лявата страна е x³ − 1 − x³ = −1. Тогава −1 = 2x + 5, x = −3.

Моделиране

1. Едно число, увеличено с 15, е 42. Кое е числото?

   • 57
   • 28
   • 2,8
   • 27

   Отговор: 27

   x + 15 = 42, x = 27.

2. Утроено число е 51. Кое е числото?

   • 153
   • 48
   • 17
   • 54

   Отговор: 17

   3x = 51, x = 17.

3. Сборът на три последователни естествени числа е 72. Кое е най-малкото?

   • 24
   • 23
   • 22
   • 25

   Отговор: 23

   x + (x + 1) + (x + 2) = 72, 3x = 69, x = 23.

4. Сборът на две числа е 50, а едното е с 8 по-голямо от другото. Кое е по-малкото?

   • 29
   • 25
   • 21
   • 42

   Отговор: 21

   x + (x + 8) = 50, 2x = 42, x = 21.

5. Бащата е на 40 години, а синът на 10. След колко години бащата ще е 3 пъти по-възрастен от сина?

   • 5
   • 10
   • 3
   • 20

   Отговор: 5

   40 + x = 3(10 + x), 40 + x = 30 + 3x, x = 5.

6. Майката е 4 пъти по-възрастна от дъщеря си, а заедно са на 45 години. На колко години е дъщерята?

   • 9
   • 11
   • 36
   • 15

   Отговор: 9

   x + 4x = 45, x = 9.

7. В клас има 28 ученици. Момичетата са с 4 повече от момчетата. Колко са момчетата?

   • 16
   • 14
   • 24
   • 12

   Отговор: 12

   x + (x + 4) = 28, 2x = 24, x = 12.

8. Числител на дроб е с 3 по-малък от знаменателя. Ако прибавим 1 към числителя, дробта става 1/2. Кой е знаменателят?

   • 6
   • 4
   • 3
   • 8

   Отговор: 4

   (x − 3 + 1)/x = 1/2, 2(x − 2) = x, x = 4. Дробта е 1/4.

9. Периметърът на правоъгълник е 54 cm, а дължината му е 2 пъти по-голяма от ширината. Колко е лицето му?

   • 81 cm²
   • 162 cm²
   • 108 cm²
   • 144 cm²

   Отговор: 162 cm²

   2(2x + x) = 54, x = 9. Страните са 9 cm и 18 cm, лицето е 162 cm².

10. В кутия има монети по 10 и по 20 цента, общо 30 монети на стойност 4,50 евро. Колко са монетите по 20 цента?

    • 10
    • 20
    • 12
    • 15

    Отговор: 15

    Нека x са по 20 цента: 20x + 10(30 − x) = 450, 10x = 150, x = 15.

Движение: задачи

1. Кола изминава 240 km за 3 h. Каква е скоростта ѝ?

   • 720 km/h
   • 80 km/h
   • 60 km/h
   • 120 km/h

   Отговор: 80 km/h

   v = 240 : 3 = 80 km/h.

2. Пешеходец върви с 5 km/h. Колко време ще му трябва за 12,5 km?

   • 2 h
   • 62,5 h
   • 3 h
   • 2,5 h

   Отговор: 2,5 h

   t = 12,5 : 5 = 2,5 h.

3. Два влака тръгват един срещу друг от гари на 360 km разстояние със скорости 70 km/h и 50 km/h. След колко часа ще се срещнат?

   • 2
   • 4
   • 3
   • 6

   Отговор: 3

   Сближават се със 120 km/h: 360 : 120 = 3 h.

4. Двама тръгват едновременно от едно място в противоположни посоки с 4 km/h и 6 km/h. След колко часа ще са на 25 km един от друг?

   • 5
   • 2
   • 12,5
   • 2,5

   Отговор: 2,5

   (4 + 6)t = 25, t = 2,5 h.

5. Камион тръгва с 60 km/h. След 1 h по същия път тръгва кола с 90 km/h. След колко часа колата ще настигне камиона?

   • 1
   • 3
   • 2
   • 1,5

   Отговор: 2

   90t = 60(t + 1), 30t = 60, t = 2 h.

6. Мотор се движи с 72 km/h. Колко метра изминава за 1 секунда?

   • 72 m
   • 7,2 m
   • 1 200 m
   • 20 m

   Отговор: 20 m

   72 km/h = 72 000 m : 3 600 s = 20 m/s.

7. Лодка изминава разстоянието между две пристанища по течението за 2 h, а срещу течението за 3 h. Скоростта на течението е 2 km/h. Колко е разстоянието?

   • 12 km
   • 20 km
   • 30 km
   • 24 km

   Отговор: 24 km

   2(v + 2) = 3(v − 2), v = 10 km/h. Разстоянието е 2 · 12 = 24 km.

8. Автобус пътува 2 h с определена скорост и още 3 h с 10 km/h по-голяма. Общо изминава 330 km. Каква е първата скорост?

   • 70 km/h
   • 60 km/h
   • 66 km/h
   • 55 km/h

   Отговор: 60 km/h

   2v + 3(v + 10) = 330, 5v = 300, v = 60 km/h.

9. Велосипедист изминава пътя от A до B с 15 km/h, а обратно с 10 km/h. Общо пътува 5 h. Колко е разстоянието AB?

   • 25 km
   • 30 km
   • 60 km
   • 37,5 km

   Отговор: 30 km

   x/15 + x/10 = 5, 2x + 3x = 150, x = 30 km.

10. Кола и мотор тръгват едновременно от A и B един срещу друг. Колата е с 20 km/h по-бърза. Срещат се след 2 h, а AB = 280 km. Каква е скоростта на мотора?

    • 60 km/h
    • 80 km/h
    • 70 km/h
    • 50 km/h

    Отговор: 60 km/h

    2(v + v + 20) = 280, 4v + 40 = 280, v = 60 km/h.

Лихва и капитал

1. Колко е 4% от 1 500 евро?

   • 600 евро
   • 6 евро
   • 60 евро
   • 40 евро

   Отговор: 60 евро

   0,04 · 1 500 = 60 евро.

2. Вложени са 800 евро при 5% проста лихва. Каква е лихвата за 1 година?

   • 40 евро
   • 400 евро
   • 4 евро
   • 80 евро

   Отговор: 40 евро

   800 · 0,05 = 40 евро.

3. Каква сума ще има след 2 години, ако са вложени 3 000 евро при 5% проста лихва?

   • 3 150 евро
   • 3 307,50 евро
   • 3 600 евро
   • 3 300 евро

   Отговор: 3 300 евро

   Лихвата е 3 000 · 0,05 · 2 = 300 евро, сумата е 3 300 евро.

4. Колко години трябва да стоят 1 000 евро при 4% проста лихва, за да донесат 200 евро лихва?

   • 4
   • 5
   • 2
   • 50

   Отговор: 5

   1 000 · 0,04 · n = 200, 40n = 200, n = 5.

5. При какъв годишен процент 2 000 евро носят 240 евро проста лихва за 3 години?

   • 12%
   • 4%
   • 6%
   • 8%

   Отговор: 4%

   2 000 · p/100 · 3 = 240, 60p = 240, p = 4.

6. Какъв е капиталът, ако 3% годишна проста лихва носи 90 евро за година?

   • 2 700 евро
   • 300 евро
   • 30 000 евро
   • 3 000 евро

   Отговор: 3 000 евро

   0,03K = 90, K = 3 000 евро.

7. Каква сума е вложена при 6% проста лихва, ако след 4 години е станала 6 200 евро?

   • 5 828 евро
   • 5 000 евро
   • 4 712 евро
   • 5 500 евро

   Отговор: 5 000 евро

   K + K · 0,06 · 4 = 6 200, 1,24K = 6 200, K = 5 000 евро.

8. Сума 5 000 евро е вложена при 2,5% проста лихва. Колко евро ще има след 6 години?

   • 5 125 евро
   • 6 500 евро
   • 5 750 евро
   • 5 150 евро

   Отговор: 5 750 евро

   Лихвата е 5 000 · 0,025 · 6 = 750 евро, сумата е 5 750 евро.

9. Иван вложил част от 10 000 евро при 3%, а останалите при 5% проста лихва. След 1 година получил 420 евро лихва. Колко евро е вложил при 3%?

   • 6 000 евро
   • 5 000 евро
   • 3 000 евро
   • 4 000 евро

   Отговор: 4 000 евро

   0,03x + 0,05(10 000 − x) = 420, 500 − 0,02x = 420, x = 4 000.

10. Цена на стока се увеличава с 20%, а после новата цена намалява с 20%. Каква е крайната цена, ако началната е 100 евро?

    • 100 евро
    • 104 евро
    • 96 евро
    • 80 евро

    Отговор: 96 евро

    100 · 1,2 = 120; 120 · 0,8 = 96 евро.

Финален въпрос